Аналитическая механика. Классификация связей. Примеры. Возможные перемещения. Обобщенные координаты и обобщенные силы Обобщенные силы определение свойства краткое
Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которые действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение . Поскольку, согласно равенству (106), , а при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения), то вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,
Используя это равенство и формулу (42) из § 87, вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим Получим
Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно
где обозначено
По аналогии с равенством определяющим элементарную работу силы F, величину называют обобщенной силой, соответствующей координате
Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение
Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате , и т. д.
Очевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством
Формула (112) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.
Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины будут представлять собой обобщенные активные силы системы.
Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как произведение а следовательно, и имеет размерность работы, то
т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q - линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q - угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в и имеет размерность момента; если q - объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в и имеет размерность давления, и т. д.
Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).
Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (110), что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются
Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перечещрется по гладкой наклонной плсскссти, а груз В весом - по шероховатой горизолтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен
Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити и блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы положение определяется координатой (положительное направление отсчета показано стрелкой). Для определения сообщаем системе возможное перемещение при котором и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил остальные силы работы не совершают. Так как то
Следовательно,
Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень А В имеет длину l и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес . Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии а жесткость - с.
Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарика вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол и расстояние шарика от конца ненапряженной пружины положительные направления отсчета координат показаны стрелками.
Сообщаем сначала системе возможное перемещение, при котором угол получает приращение . На этом перемещении работу совершают» силы . По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению )
Следовательно,
Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая приращение , а угол . На этом перемещении работу совершают сила тяжести и сила упругости, модуль которой Тогда
Аналитическая механика. Классификация связей. Примеры. Возможные перемещения.
Связь – это соотношение связывающихся между собой координаты и скорости точек системы представляющихся в виде равенств или неравенств.
Классификация :
Геометрические – накладывает ограничения только на координаты точек системы (скорости не входят)
Кинематические – скорости входят в уравнения. Если от скоростей можно избавиться, то связь интегрируемая.
Голономные связи – геометрические и интегрируемые дифференциальные связи.
Связь называется удерживающие (налагаемые или ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие , которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может “освобождаться”
Возможное перемещение
Любое мысленное
Бесконечно малое
Перемещение точек системы, допускаемых
В данный момент времени
Наложенными на систему связями.
Действительное перемещение – зависит от сил, времени, связей, начальных условий.
Возможное перемещение – зависит только от связей.
Для стационарных связей действительное перемещение это одно из возможных.
Идеальные связи. Принцип возможных перемещений.
Идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ всех их реакций на любом возможном перемещении равна 0.
Принцип возможных перемещений.
Для равновесия механической системы с идеальными стационарными связями, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил на любом возможном перемещении равнялась 0. При этом для достаточности начальная скорость должна равняться нулю. Необходимое равновесие =>Достаточное =>равновесие.
Обобщенные координаты. Число степеней свободы системы. Обобщенные силы, способы их вычисления. Условия равновесия системы с голономными связями, выраженные в терминах обобщенных сил.
Обобщенные координаты – независимый параметр, который полностью определяет положение системы и через который могут быть выражены все декартовые координаты точек системы.
Число степеней свободы определяется количеством обобщенных координат
Число независимых между собой скалярных величин, однозначно определяющих положение механической системы в пространстве, называется числом степеней свободы.
Обобщенными координатами механической системы называются любые независимые между собой геометрические величины, однозначно определяющие положение системы в пространстве.
Q i = δA j /δq j или δA j = Q i ⋅ δq j .
Обобщенная сила – это такая сила, которая совершает на возможном перемещении по своей обобщенной координате такую же работу, как и все силы, приложенные к системе, на соответствующем перемещении точек их приложения.
Для нахождения обобщенной силы даем возможное перемещение по своей обобщенной координате, оставляя остальные координаты неизменными. Затем находим работу всех сил, приложенных к системе и делим на возможное перемещение.
Принцип возможных перемещений в терминах обобщенных сил.
Поскольку при равновесии сумма элементарных работы на любом возможном перемещении (бА= б q j , которые не зависит друг от друга, то для этого должно выполняться: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0
Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат
П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).
Замечания.
Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.
Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность
[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.
Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.
Рис.10
Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .
Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу
Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится
Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим 
и 
. Получается гораздо проще.
Уравнения равновесия Лагранжа
По определению (7) обобщенные силы 
, k
= 1,2,3,…,s
, где s
– число степеней свободы.
Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) 
. Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:
Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)
Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.
Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.
Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.
Рис.11
Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.
Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.
Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,
Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.
Рис.12
Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .
Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или
В положении равновесия должно быть 
. Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА
1 и ОА
2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , 
. Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.
Обобщенные силы инерции.
По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:
И, так как 
то
Немного математических преобразований.
Очевидно,
Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то
Значит, частная производная скорости по
Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:
Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим
Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим
где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.
Уравнения Лагранжа.
По определению (7) и (12) обобщенные силы
Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение
Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.
Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.
Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме
где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).
Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.
Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:
Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».
Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.
И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).
Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).
Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и 
.
Рис.13
Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .
Составляем два уравнения Лагранжа
то уравнения получаются такими:
Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.
Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .
В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).
Рис.14
Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).
Поэтому (см. рис.76) и .
Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)
Находим необходимые производные для уравнения и 
Составляем уравнение
или, окончательно,
Вопросы для самопроверки
Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?
Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?
Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?
Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.
Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?
Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?
Чему равно число степеней свободы механической системы?
В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?
Что называют возможными перемещениями механической системы?
Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?
Какие связи механической системы называют идеальными?
Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?
Как формулируется принцип возможных перемещений?
Какие виды может иметь уравнение работ?
Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?
Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?
Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?
Как формулируется золотое правило механики?
Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?
Какие связи называются голономными?
Что называется числом степеней свободы механической системы?
Что называется обобщенными координатами системы?
Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?
Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?
Что называется обобщенной силой?
Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.
Как определяется размерность обобщенной силы?
Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?
Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?
Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?
Что такое обобщенная сила инерции?
Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.
Какой вид имеет общее уравнение динамики?
Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?
Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?
Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?
Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?
Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?
Какие связи называются геометрическими?
Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.
Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.
Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?
Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.
Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?
Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?
Что называется кинетическим потенциалом системы?
Для каких механических систем существует функция Лагранжа?
Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?
Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?
Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?
Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?
Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?
Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?
Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?
В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?
Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.
Таблица 1
Вариант 1 Вариант 2
Вариант 3 Вариант 4
Вариант 5 Вариант 6
Вариант 7 Вариант 8
Рис.16 Рис.17
Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).
Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.
Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)
Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем
В результате получим зависимости:
Согласно принципу возможных перемещений
Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:
Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.
В аналитической механике наряду с понятием о силе как векторной величине, характеризующей воздействие на данное тело со стороны других материальных тел, используют понятие об обобщенной силе . Для определения обобщенной силы рассмотрим виртуальную работу сил, приложенных к точкам системы.
Если механическая система при наложенных на нее голономных удерживающих h
связях имеет s =3n-h
степеней свободы,
то положение этой системы определяется 
( i = s)
обобщенными координатами и (2.11):
Согласно (2.13), (2.14) виртуальное перемещение k –
й точки
(2.13)
(2.14)
Подставляя (2.14): в формулу для виртуальной работы сил
(2.24), получаем
Скалярную величину 
= (2.26)
называют обобщенной силой , соответствующей i -й обобщенной координате.
Обобщенной силой, соответствующей i -й обобщенной координате, называется величина, равная множителю при вариации данной обобщенной координаты в выражении виртуальной работы сил, действующих на механическую систему.
Виртуальная работа определяется от
¾ задаваемых активных сил, независящих от ограничений и
¾ реакций связей (если связи не идеальны, то для решения задачи необходимо дополнительно задать физическую зависимость T j от N j , (T j ¾это, как правило, силы трения или моменты сопротивления трению качения, которые мы умеем определять).
В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила ¾ скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы.
Пример 2.10.
Для диска радиусом r
и массой m
, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис.2.9), за обобщенную координату можно принять:
¾ либо q = s ¾ перемещение центра масс диска,
¾либо q = j ¾ угол поворота диска. Если пренебречь сопротивлением качению, то:
¾в первом случае обобщенной силой будет
Рис. 2.9 Q s = mg sina, а
¾во втором случае ¾ Q j = mg r cosa.
Обобщенная координата определяет и единицу измерения соответствующей обобщенной силы. Из выражения (2.25)
(2.27)
следует, что единица измерения обобщенной силы равна единице измерения работы, деленной на единицу измерения обобщенной координаты.
Если в качестве обобщенной координаты q принять q = s ¾ перемещение какой-либо точки, то единица измерения обобщенной силы Q s ¾ будет[ньютон ] ,
Если же в качестве q = j ¾ будет принят угол поворота (в радианах) тела, то единицей измерения обобщенной силы Q j ¾ будет [ньютон ´ метр ].
Рис.71
Рис.70
Рис.69
Положение точек кривошипно-шатунного механизма (рис.70) можно определить заданием угла поворота кривошипа или расстоянием s , определяющим положение ползуна В (при ).
Положение сферического маятника (рис.71) определяется заданием двух параметров, углов и .
Минимальное количество независимых друг от друга обобщенных координат, которых достаточно, чтобы полностью и однозначно определить положение всех точек системы, называют числом степеней свободы этой системы.
Вообще для любой материальной системы можно назначить несколько обобщенных координат. Например, у кривошипно-шатунного механизма (рис.70) указаны две обобщенные координаты и . Но это не значит, что у механизма две степени свободы, так как одну координату можно определить через другую:
А вот у маятника (рис.71) две степени свободы, т.к. определяется его положение двумя независимыми обобщенными координатами. Кстати, если длина маятника изменяется, то для определения положения точки М потребуется еще один параметр – обобщенная координата l , длина нити. И у маятника станут три степени свободы.
Обобщенные координаты в общем случае будем обозначать буквой q .
Пусть материальная система имеет s степеней свободы. Положение ее определяется обобщенными координатами: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k ,…, q s . .
Нетрудно убедиться, что декартовы координаты n точек системы можно определить как функции обобщенных координат и времени:
Так у маятника (рис.71) координаты точки М
есть функции координат l , и , и времени t , если l = l(t).
Соответственно, и радиус-вектор точек системы можно определить как функцию обобщенных координат и времени:
Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .
Вычисление производится по такому правилу.
Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :
где – перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k –той обобщенной координаты.
Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:
И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда
где координаты точек – функции обобщенных координат (5).
Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек – функции обобщенных координат, то
Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.
Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат
П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).
Замечания.
Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.
Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность
Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то = Нм; если [q ] = м 2 , то и т.п.
Пример 23. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.72). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.
