Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Построение моделей идентификации поисковыми методами

При нелинейной параметризации дело обстоит сложнее. Приходится решать систему нелинейных уравнений. Для этого можно использовать методы последовательного приближения.

Предположим, что y (функция отклика) – доля химического вещества А, оставшаяся к моменту времени x1 в результате реакции типа А’В. Зависимая переменная y удовлетворяет дифференционному уравнению (известно из литературы): , где K– константа скорости. Решение этого уравнения при следующих начальных условиях: у=1 при х=0 имеет вид: у= exp (-К х1); K зависит от абсолютной температуры х2 следующим образом:

К= b1 ехр (-b2 / х2) , b1– предэкпоненциальный множитель, b2 – энергия активации. Модель процесса

(6.11)

нелинейна по параметрам b1, b2 .

Если ввести то

 

 

 

Начальные (нулевые) значения параметров b10,b20 могут быть получены методом линеаризации:

ln у = - b1х1 ехр ( -b2 / х2); ln у (- ln у) = ln b1 - b2 / х2 + ln х1 или

, где , , , .

Поисковые методы идентификации. В этих методах принятый критерий невязки (показатель качества идентификации) формируется из выходных характеристик объекта и его идентифицируемой модели и минимизируется с помощью численных методов. Итерационный процесс изменения вектора идентифицируемых параметров определяется используемым алгоритмом (методом) поиска и текущей ситуацией.


Математическое моделирование сложных технических систем

При построении математических моделей сложных технических систем эффективным оказывается их последовательное расчленение на подсистемы (декомпозиция системы) с сохранением связей между выявленными подсистемами. Процедура декомпозиции осуществляется до получения таких подсистем, которые в условиях рассматриваемой задачи будут признаны достаточно простыми и удобными для непосредственного математического описания. Эти подсистемы, не подлежащие дальнейшей декомпозиции, называются элементами сложной системы.

Таким образом, в общем случае сложная система является многоуровневой иерархической конструкцией из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Представление моделируемого объекта в виде многоуровневой системы называется его структуризацией. Математическая модель сложной системы образуется композицией (в рамках выделенной структуры) математических моделей элементов и взаимодействий между ними.

 

Математические модели элементов в технических устройствах

При построении математических моделей сложных технических систем эффективным оказывается их последовательное расчленение на подсистемы (декомпозиция системы) с сохранением связей между выявленными подсистемами. Процедура декомпозиции осуществляется до получения таких подсистем, которые в условиях рассматриваемой задачи будут признаны достаточно простыми и удобными для непосредственного математического описания. Эти подсистемы, не подлежащие дальнейшей декомпозиции, называются элементами сложной системы.

Таким образом, в общем случае сложная система является многоуровневой иерархической конструкцией из взаимодействующих элементов, объединяемых в подсистемы различных уровней. Представление моделируемого объекта в виде многоуровневой системы называется его структуризацией. Математическая модель сложной системы образуется композицией (в рамках выделенной структуры) математических моделей элементов и взаимодействий между ними.

Построение простой и изящной математической модели, достаточно точно описывающей процесс функционирования сложной системы, требует немалого искусства. Необходимо знать типичные математические схемы.

Математические модели широкого класса детерминированных объектов (при описании которых влияние случайных факторов не учитывается), функционирующих в непрерывном времени, описываются чаще всего дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных.

Детерминированные объекты, функционирующие в дискретном времени, описываются математическими моделями, сводящимися к различным типам конечных автоматов.

Автомат можно представить как некоторое устройство (черный ящик), на которое подаются дискретные входные воздействия (сигналы) и с которого снимаются дискретные выходные воздействия; оно имеет также некоторые внутренние состояния. Автомат функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т.е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигналов и внутренние состояния. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие t-тому такту при t = 0,1,2,… через z(t), x(t), y(t). При этом, по условию z(0) = z0, a z(t) Z, x(t)X, y(t)Y. Абстрактный конечный автомат имеет один входной и один выходной каналы. В каждый момент t = 0,1,2,…дискретного времени автомат находится в определенном состоянии z(t) из множества Z состояний автомата, причем в начальный момент времени t = 0 он всегда находится в начальном состоянии z(0) = z0. Конечным автоматом называется такой автомат, у которого множества входных сигналов, состояний и выходных сигналов являются конечными множествами. Абстрактно конечный автомат представляет собой математическую схему, характеризующуюся 6 элементами:

1. конечным множеством X входных сигналов (входной алфавит);

2. конечным множеством Z внутренних состояний (алфавитом состояний);

3. конечным множеством Y(выходным алфавитом);

4. начальным состоянием z0;

5. функцией переходов Ж (x,z);

6. функцией выходов (z,y).

В момент t, будучи в состоянии z(t-1), автомат способен воспринять на входном канале сигнал x(t)X и выдать на выходном канале сигнал y(t) = [z(t-1),x(t)], переходя в состояние z(t) = [z(t-1),x(t)], z(t) Z, y(t)Y. Сказанное выше можно описать следующими уравнениями: для автомата, называемого автоматом Мили

z(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (7.1)

y(t) = [z(t-1),x(t)], t = 1,2,… ; (7.2)

Автомат, для которого

y(t) = [z(t)], t = 1,2,3… (7.3)

т.е. функция выходов не зависит от входной переменной, называется автоматом Мура.

По числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более одного состояния, а автоматы без памяти (комбинационные или логические) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно (7.2) работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу x(t) определенный выходной сигнал, т.е. реализует логическую функцию вида

y(t) = [x(t)], t = 1,2,…

Это функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв.

По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями (7.1-7.3) происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из (7.1-7.3), несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое состояние, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

Чтобы задать конечный автомат, необходимо описать все элементы кортежа <Z,X,Y,z0>. Существует несколько способов задания работы автомата, но наиболее часто используются табличный, графический и матричный.

Простейший табличный способ задания конечного автомата основан на использовании таблиц переходов и выходов, строки которых соответствуют входным сигналам автомата, а столбцы – его состояниям. На пересечении i-той строки и k-того столбца помещаются соответствующие значения (zk,xi) и (zk,xi).

Для автомата Мура обе таблицы можно совместить, получив так называемую отмеченную таблицу переходов, в которой над каждым состоянием zk автомат, обозначающим столбец таблицы, стоит соответствующий этому состоянию, согласно (7.3), выходной сигнал (zk).

При другом способе задания конечного автомата используется понятие направленного графа. Граф автомата представляет собой набор вершин, соответствующих различным состояниям автомата и соединяющих вершины дуг графа, соответствующих тем или иным переходам автомата. Если входной сигнал xk вызывает переход из состояния zi в состояние zj, то на графе автомата дуга, соединяющая вершину zi с вершиной zj, обозначается xk. Для того, чтобы задать функцию выходов, дуги графа необходимо отметить соответствующими выходными сигналами. Для автоматов Мили – дуга из zi помечается парой xk и y = (zi,xk). Для автоматов Мура – дуга, направленная в zj, - парой xk и y = (zj,xk).

При решении задач моделирования систем часто более удобной формой является матричное задание конечного автомата. При этом матрица соединений автомата есть квадратная матрица C = , строки которой соответствуют исходным состояниям, а столбцы – состояниям перехода. Элемент cij =xk/ys, стоящий на пересечении i-той строки и j-того столбца, в случает автомата Мили соответствует входному сигналу xk, вызывающему переход из состояния zi в состояние zj, и выходному сигналу ys, выдаваемому при этом переходе. Если переход из состояния zi в состояние zj происходит под действием нескольких сигналов, элемент матрицы cij представляет собой множество пар «вход-выход» для этого перехода, соединенный знаком дизъюнкции.

Для автомата Мура элемент cij равен множеству входных сигналов на переходе (zi, zj), а выход описывается вектором выходов, i-тая компонента которого – выходной сигнал, отмечающий состояние zi.

Для детерминированных автоматов выполняется условие однозначности переходов: автомат, находящийся в некотором состоянии, под действием любого входного сигнала не может перейти более чем в одно состояние. Применительно к графическому способу задания автомата это означает, что в графе автомата из любой вершины не могут выходить два ребра и более, отмеченные одним и тем же входным сигналом. Аналогично этому в матрице соединений автомата С в каждой строке любой входной сигнал не должен встречаться более одного раза.

Понятие автомата в дискретно-детерминированном подходе к исследованию на моделях свойств объектов является математической абстракцией, удобной для описания широкого класса процессов функционирования реальных объектов в автоматизированных системах обработки информации и управления. В качестве таких объектов в первую очередь следует назвать элементы и узлы ЭВМ, устройства контроля, регулирования и управления, системы временной и пространственной коммутации в технике обмена информацией и т.д. Для всех перечисленных объектов характерно наличие дискретных состояний и дискретный характер работы во времени. Но эта схема не универсальна. Данный подход не применим для описания процесса принятия решений, процессов в динамических системах с наличием переходных процессов и стохастических элементов.

Стохастические объекты (при моделировании которых учитываются случайные факторы), функционирующие в дискретном времени, можно представить вероятностными автоматами. Для такого автомата состояние z(t-1) и входной сигнал x(t) определяют не конечное состояние z(t), а распределение вероятностей Pij перехода автомата из состояния zi = z(t-1) в одно из возможных состояний zj(t) в момент времени t под воздействием входного сигнала x(t) .

Функция переходов вероятностного автомата определяет не одно конкретное состояние, а лишь распределение вероятностей на множестве состояний (автомат со случайными переходами), а функция выходов – распределение вероятностей на множестве выходных сигналов (автомат со случайными выходами). Функционирование вероятностных автоматов изучается при помощи аппарата цепей Маркова.

Математическими моделями стохастических объектов с непрерывным временем являются системы массового обслуживания (представители марковских случайных процессов).

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:740

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.