Задача: 
в случае периодических по x функций f(t, x) и g(x) с общим периодом имеет периодическое решение с тем же периодом (для определенности равным 1). Тогда эта задача в действительности является задачей на конечном по x интервале (0, 1):
Задача: 
Явные схемы:
Разность назад по пространственной переменной:
Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
При равномерная норма матрицы в левой части этого равенства равна единице, значит
.
Следовательно, при .
Разность вперед по пространственной переменной:
Доказать, что схема неустойчива при .
Док-во. Применим спектральный критерий: будем искать решение однородного разностного уравнения
в виде . Так как , то . Подставляя решение в разностное уравнение, получим
Необходимым условием устойчивости является существование положительной постоянной C такой, что при любом .
Но при легко видеть, что , а отношение , т.е. необходимое условие устойчивости не выполняется.
Центральная разность по пространственной переменной:

Доказать что, если , то схема устойчива в норме, являющейся разностным аналогом нормы :
.
Док-во. Определим оператор .
Тогда .
Так как то

Тогда , если .
Следовательно,

что и требовалось доказать.
Неявные схемы
Разность назад по пространственной переменной:
Доказать, что схема устойчива в равномерной норме при .
Док-во. Запишем переход со слоя на слой в виде , где
Матрица имеет положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы и строгое диагональное преобладание по строкам: ,
но тогда .
У нас .
Разность вперед по пространственной переменной:
Доказать, что при не выполняется спектральный критерий устойчивости.

Центральная разность по пространственной переменной:
Доказать, что схема устойчива в норме, являющейся разностным аналогом нормы :
Док-во. Запишем переход со слоя на слой в виде , где
- кососимметрическая матрица, т.е.
.

Дополнительная задача:
Определить порядок аппроксимации и исследовать на устойчивость.
Матричная запись схемы:
,
.
Для устойчивости схемы достаточно установить неравенства

Решим спектральную задачу: .
Очевидно, что, если , то

Заметим, что система собственных векторов

ортогональна и, следовательно, сферическая норма матрицы совпадает с ее спектральным радиусом.
Существование матрицы :

- условие существования обратной матрицы.
Норма матрицы 
Норма матрицы ,
т.к. , что легко проверить.
Следовательно,
,
если , т.е. схема условно устойчива.
|