Схемы для уравнения движения. Периодические краевые условия

Задача:  
в случае периодических по x функций f(t, x) и g(x) с общим периодом имеет периодическое решение с тем же периодом (для определенности равным 1). Тогда эта задача в действительности является задачей на конечном  по x интервале (0, 1):
Задача:  
Явные схемы:

Разность назад по пространственной переменной:

  
Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
При  равномерная норма матрицы в левой части этого равенства равна единице, значит
.
Следовательно,  при .

Разность вперед по пространственной переменной:
  
Доказать, что схема неустойчива при .
Док-во. Применим спектральный критерий: будем искать решение однородного разностного уравнения

в виде . Так как , то . Подставляя решение в разностное уравнение, получим

Необходимым условием устойчивости является существование положительной постоянной C такой, что  при любом .
Но при легко видеть, что , а отношение , т.е. необходимое условие устойчивости не выполняется.

Центральная разность по пространственной переменной:
  
Доказать что, если , то схема устойчива в норме, являющейся разностным аналогом нормы :
 .
Док-во. Определим оператор .
Тогда .
Так как  то

Тогда , если .
Следовательно,

что и требовалось доказать.

Неявные схемы
Разность назад по пространственной переменной:
 
Доказать, что схема устойчива в равномерной норме при .
Док-во. Запишем переход со слоя на слой в виде, где

Матрица имеет положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы и строгое диагональное преобладание по строкам: ,
но тогда .

У нас .

Разность вперед по пространственной переменной:
  
Доказать, что при  не выполняется спектральный критерий устойчивости.


Центральная разность по пространственной переменной:
  
Доказать, что схема устойчива в норме, являющейся разностным аналогом нормы :
 
Док-во. Запишем переход со слоя на слой в виде , где

• кососимметрическая матрица, т.е. .


Дополнительная задача:
 
Определить порядок аппроксимации и исследовать на устойчивость.

Матричная запись схемы:
,
.
Для устойчивости схемы достаточно установить неравенства

Решим спектральную задачу: .
Очевидно, что, если , то

Заметим, что система собственных векторов

ортогональна и, следовательно, сферическая норма матрицы совпадает с ее спектральным радиусом.
Существование матрицы :

- условие существования обратной матрицы.
Норма матрицы
Норма матрицы  ,
т.к. , что легко проверить.
Следовательно,
,
если , т.е. схема условно устойчива.