Планы на латинских квадратах

ПЛАНЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ ВЛИЯНИЯ ФАКТОРОВ

При составлении планов поиска оптимальных значений функции и описания поверхности отклика предполагалось, что факторы представляют собой непрерывные величины. Однако некоторые параметры систем носят дискретный характер и принимают только относительно небольшое количество значений, например, емкость запоминающих устройств, тактовая частота системной шины персонального компьютера. Другие факторы по своей природе имеют не количественную, а качественную природу, в частности, однотипные изделия выпускаются целым рядом изготовителей. Этим изделиям можно приписать некоторые обозначения в номинативной шкале измерений.

Таким образом, существует параметры (характеристики), принимающие ограниченное количество значений, задаваемых в количественной или качественной шкале измерений. Необходимо в условиях воздействия других факторов оценить влияние таких параметров на показатель качества системы или определить их значимость. Полный перебор возможных сочетаний параметров системы потребует чрезмерно большого количества опытов. С целью рационального сокращения экспериментальных исследований применяют специальный вид планов – планы на латинских квадратах.

Латинский квадрат характеризуется особым расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и в каждом столбце. Пример латинского квадрата, размером n×n, для n = 3 представлен в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Для любого n > 2 существует множество вариантов построения латинских квадратов. Количество вариантов латинских квадратов с ростом n быстро увеличивается и определяется формулой

N(n, n) = n!( n – 1)!L(n).

Некоторые значения L(n) представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Латинскому квадрату можно сопоставить план эксперимента, в котором строки соответствуют различным значениям одного фактора, столбцы – значениям другого, а латинские буквы – значениям третьего фактора, т.е. латинский квадрат позволяет исследовать влияние не более чем трех факторов, причем все факторы варьируются на одинаковом количестве уровней. Можно ослабить это требование путем приравнивания какого-либо уровня другому. Пример представления плана на латинском квадрате для факторов L, P, Z, каждый из которых варьируется на четырех уровнях (n = 4), приведен в табл. 6.3.

Таблица 6.3

Применение плана, построенного на основе латинского квадрата, позволяет оценить дифференциальный (разностный) эффект пар уровней, но не дает информации о взаимодействии между факторами (иначе говоря, факторы не зависят друг от друга). Так, сумма результатов экспериментов, соответствующих столбцу j, будет оценивать эффект P_j, усредненный по всем L и Z. Тогда дифференциальный эффект увеличения значения фактора P от уровня 1 до уровня 2, усредненный по всем L и Z, можно оценить по разности между суммой значений функции отклика столбца 2 и столбца 1. Порядок перечисления уровней факторов роли не играет.

В частности, рассмотренный план позволяет оценить влияние размера видеопамяти графического адаптера (P) на скорость вывода видеоизображений при различном быстродействии (L) процессора компьютера и разном разрешении дисплея (Z). Применительно к рассмотренному примеру для трех факторов при четырех уровнях варьирования ПФЭ требует 4³ = 64 опытов, а с применением латинского квадрата – только 16. Экономия достигается за счет потери информации о взаимодействии факторов.

Приведенный пример является одним из возможных расположений уровней факторов, позволяющих получить несмещенные оценки главных эффектов. Различные латинские квадраты одного размера можно накладывать друг на друга, образуя греко-латинские квадраты. Например, два латинских квадрата 3´3 можно преобразовать в греко-латинский квадрат

Здесь латинские буквы образуют один латинский квадрат, а греческие буквы – другой латинский квадрат. Каждая латинская буква встречается в паре с конкретной греческой буквой только один раз. С помощью этого греко-латинского квадрата можно оценить главные эффекты четырех 3-х уровневых факторов (фактора строк, фактора столбцов, римских и греческих букв) проведя только 9 опытов.

Если наложить друг на друга три различных варианта латинских квадратов, то получится план гипер-греко-латинского квадрата. С его помощью можно оценить главные эффекты пяти факторов (фактора строк, столбцов и трех расположений квадратов). В частности, для пяти трехуровневых факторов потребуется провести только 9 опытов вместо 243 опытов при переборе всех возможных сочетаний факторов.

Итак, планы латинских (греко-латинских) квадратов используются в тех случаях, когда требуется оценить влияние факторов, варьируемых более чем на двух уровнях и заранее известно, что между факторами нет взаимодействий или этим взаимодействиями можно пренебречь. Имеются таблицы латинских и греко-латинских квадратов различных размеров, за исключением одного случая – не существует греко-латинского квадрата для 6 уровней факторов.