Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода агрегирования индивидуальных предпочтений для трех и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, т.е. одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает

Условия Эрроу включают:

• эффективность по Парето (англ. Pareto prinсіple );
• отсутствие диктатора (англ. non-dictatorship ) - не существует индивидуума, предпочтение которого определяло бы общественное предпочтение, независимо от предпочтений других индивидуумов)
• независимость от посторонних альтернатив (англ. independence of irrelevant alternatives ) - выбор в паре альтернатив не зависит от выбора иных альтернатив;
• универсальность (англ. unrestricted domain ) - механизм агрегирования индивидуальных предпочтений в общественные действует для любой комбинации индивидуальных предпочтений.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, возникающий из-за теоремы Эрроу.

Ссылки

• Кардиналистское голосование: Путь преодоления парадоксов социального выбора

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Парадокс Эрроу" в других словарях:

Парадокс эрроу - сформулирован Ж.А.Н.Кодорсе, французским философом, политиком и математиком XVIII века, и как часть более общей системы американским экономистом, нобелевским лауреатом Кеннетом Эрроу (вторая половина прошлого этот век); парадокс состоит в… … Мир Лема - словарь и путеводитель

ПАРАДОКС ЭРРОУ - теорема, разработанная К.Эрроу, о невозможности, при некоторых предпосылках, сведения индивидуальных функций полезности группы независимых и равноправных лиц в общую функцию полезности этой группы. Сформулированная К.Эрроу в рамках теории… … Большой экономический словарь

Парадокс Кондорсе парадокс теории общественного выбора, впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 г. Он заключается в том, что при наличии более двух альтернатив и более двух избирателей коллективная ранжировка альтернатив может быть… … Википедия

Эрроу парадокс - теорема, разработанная американским экономистом, Нобелевским лауреатом К.Эрроу о невозможности, при некоторых «разумных» предпосылках, сведения индивидуальных функций полезности группы независимых и равноправных лиц (в …

Эрроу парадокс - Теорема, разработанная американским экономистом, Нобелевским лауреатом К.Эрроу о невозможности, при некоторых «разумных» предпосылках, сведения индивидуальных функций полезности группы независимых и равноправных лиц (в частности, индивидуального… … Справочник технического переводчика Российская социологическая энциклопедия

Эволюторные процессы Эволюционный подход к изучению экономики Эвристика … Экономико-математический словарь

Парадокс Кондорсе.

Аксиома транзитивности, использующаяся при построении функции индивидуальной полезности неприменима к совокупности потребителей. Факт нетранзитивности групповых оценок, определяемых на основе предпочтений большинства, называется парадоксом Кондорсе.

Допустим, три студента – Антон, Борис и Семен решили провести вечер вместе, и им остается решить, где в театре, диско или в кино. В соответствии с гипотезой порядкового измерения полезности каждый из них упорядочил свои предпочтения так:

Антон: театр диско кино,

Борис: диско кино театр,

Семен: кино театр диско.

На основе этих данных построим порядковую функцию общественной полезности исходя из предпосылки, что «общество» предпочитает ту альтернативу, за которую высказывается большинство. При выборе между театром и диско большинство выскажется за театр. Выбор между диско и кино обнаружит, что первую общество предпочитает второму. А при сравнении кино с театром лучше окажется кино, несмотря на то, что оно было признано хуже диско, а последняя – хуже театра. Возник «порочный круг» выбора на основе большинства голосов.

Поскольку общественные предпочтения нетранзитивны, то общественный выбор зависит от очередности постановки альтернатив на голосование.

Суть проблемы представлена наглядно на рисунке 3. Все три альтернативы имеют одинаковую сумму рангов, и поэтому нет абсолютно лучшего варианта.

Рисунок 3. Нетранзитивность коллективных предпочтений.

Таким образом, «общественными предпочтениями», сформированными на основе мнения большинства или путем суммирования индивидуально ранжированных альтернатив, можно манипулировать, меняя очередность голосования или добавляя новые компоненты в «потребительскую корзину» общества.

Теорема Эрроу о демократических решениях.

Свойства алгоритма однозначного определения общественных предпочтений:

1. Если существует множество полностью упорядоченных, рефлексивных и транзитивных индивидуальных предпочтений, то общественное предпочтение должно обладать этими же свойствами;

2. Если каждый член общества предпочитает альтернативу А альтернативе В, то и общество должно признать, что А лучше В;

3. Если по крайней мере один член общества предпочитает альтернативу Х альтернативе Y при безразличии к этим альтернативам всех других членов общества, то оно должно выбрать Х;

4. Выбор между альтернативами А и В должен зависеть только от сравнительной оценки индивидами именно этих альтернатив, а не от того, как данные компоненты потребительской корзины ранжированы относительно других ее компонентов.

Однако, как доказал К.Эрроу, при демократическом принятии коллективного решения нельзя создать алгоритм упорядочения предпочтений, обладающий одновременно всеми четырьмя выше перечисленными свойствами. Поэтому из совокупности индивидуальных предпочтений нельзя сконструировать критерий общественной полезности, исключающий возможность манипулирования общественными предпочтениями. Этот вывод назван теоремой невозможности Эрроу.

Трудности, возникающие при построении функции общественного благосостояния, связаны с неразрешимостью проблемы справедливого распределения, поэтому возникла идея избрать такой критерий оценки общественного благосостояния, который не затрагивал бы распределения благосостояния между членами общества. Такой критерий был предложен В.Парето. В соответствии с ним некоторое событие улучшает состояние экономики, если в результате него повышается благосостояние хотя бы одного индивида без ухудшения благосостояния других. Если при некотором состоянии экономики никакие изменения в производстве и распределении не могут повысить благосостояние хотя бы одного субъекта, не снижая благосостояния других, то такое состояние называется эффективным (оптимальным) по Парето. Критерий эффективности Парето не требует сравнения или сложения индивидуальных полезностей.

Первая теорема теории общественного благосостояния. Вторая теорема теории общественного благосостояния. Потери эффективности, связанные с монополией. Общее равновесие и налоги. Теория квазиоптимума.

Первая теорема теории общественного благосостояния.

Первая теорема теории общественного благосостояния гласит: состояние конкурентного равновесия является Парето-эффективным. Доказательство ее проведем по­этапно.

Парето-эффективность в обмене. Рассмотрим сперва экономику без производства. Для использования графических иллюстраций предположим, что общество состоит лишь из двух потребителей (I, II), каждый из которых имеет первоначальный запас двух благ (А, В). Перво­начальное распределение благ может не соответствовать предпочтениям потребителей, и тогда за счет доброволь­ного обмена они смогут повысить свое благосостояние при заданных запасах благ. Наглядно такая ситуация мо­жет быть представлена в виде диаграммы («коробки») Эджуорта (рисунок 4).

Рисунок 4. Коробка Эджуорта.

Длина сторон коробки определяется заданным количе­ством каждого из благ. На нижней стороне коробки откла­дывается количество блага А, находящееся у потребителя I, а на левой стороне - принадлежащее ему же количество блага В. Верхняя и правая стороны коробки соответственно используются для отображения запасов потребителя II. Ка­ждая точка в коробке отражает определенное распределе­ние благ между индивидами. Предположим, что первона­чальное распределение представлено точкой H . Это значит, что в исходном состоянии индивид I имел блага А и блага B, а индивид II - блага А и блага В.

Рисунок 5. Карты безразличия в коробке Эджуорта.

Используем стороны и в качестве осей координат карты безразличия потребителя I, а карту без­различия потребителя II изобразим перевернутой на 180° на сторонах и . В результате получим рисунок 5.

Теперь каждая точка в коробке Эджуорта представляет 6 переменных: количества благ А и В у каждого из потре­бителей, а также их уровень благосостояния, который ха­рактеризуется отдаленностью от нуля кривой безразличия, проходящей через данную точку.

Посмотрев на рисунок 5, можно заключить, что первона­чальное распределение благ, представленное точкой H, не является наилучшим с точки зрения обоих потребителей. Если потребитель I предложит потребителю II количества блага В в обмен на количества блага А, то оба повысят свое благосостояние. Об этом свидетельствует то, что точка К, которая представляет распределение благ после взаимовыгодного обмена, лежит выше кривых без­различия, характеризующих исходное благосостояние ка­ждого потребителя.

Но не только точка К представляет для обоих участни­ков обмена более предпочтительную по сравнению с перво­начальной аллокацию. Переход из H в любую точку за­штрихованной области рисунка 6, на котором представлен увеличенный фрагмент рисунка 5, повышает благосостояние каждого из потребителей. Это область взаимовыгодных сделок.

Рисунок 6. Область взаимовыгодных сделок.

При аллокации, представ­ленной точкой К, возможен дальнейший взаимовыгодный обмен за счет выбора одной из точек в области пересечения кри­вых безразличия U 1 и U 2 . И лишь тогда, когда распределе­ние благ после обмена будет представлять точка, являющаяся точкой касания некото­рой пары кривых безразличия обоих потребителей (точка L на рисунок 7), дальнейшее повышение их благосостояния за счет обмена невозможно. Тем самым будет достигнута Парето-эффективность в обмене.

Рисунок 7. Парето-эффективность в обмене.

Достижение эффективности по Парето в обмене озна­чает, что за счет перераспределения заданного количества благ между потребителями нельзя повысить благосостоя­ние хотя бы одного из них, не снижая благосостояния дру­гих.

Обратим внимание на то, что в результате перехода из точки H в точку L, осуществленного посредством добро­вольного обмена между потребителями, возросло благосо­стояние обоих участников обмена, а значит, и благосостояние общества. Следовательно, не только производство, но и обмен благ повышает благосостояние общества.

Так как углы наклона кривых безразличия харак­теризуют предельную норму субституции двух благ, то формальным признаком существования Парето-эффективности в обмене является достижение равенства

Достижение Парето-эффективности в обмене описывается следующим равенством:

В отличие от бартера обмен на конкурентном рынке ка­ждому первоначальному распределению заданного количе­ства благ предопредёляет только одну Парето-эффективную аллокацию. Но поскольку одно и то же количество благ можно по-разному распределить между потребителями, то каждому фиксированному объему благ соответствует мно­жество Парето-эффективных состояний в обмене.

Рисунок 8. Кривая потребительских возможностей.

На рисунке 8 оно отображено линией проходящей через все точки касания кривых безразличия в коробке Эджуорта. Эта линия называется кривой потребительских возможно­стей, так как каждая ее точка показывает максимально воз­можный уровень удовлетворения потребностей одного по­требителя при заданном уровне удовлетворения потребно­стей другого.

Парето-эффективность в производстве. Производство является эффективным по Парето, если при заданных объ­емах производственных ресурсов за счет их перераспреде­ления нельзя увеличить производство хотя бы одного блага без уменьшения производства других благ.

Допустим, что для производства благ А и В использу­ются два взаимозаменяемых фактора - труд (L) и капи­тал (К). Заданы объемы труда и капитала и известна тех­нология производства каждого из благ. Нужно решить, как распределить имеющиеся объемы труда и капитала между производством обоих благ для достижения Парето-эффективности в производстве. Для наглядного решения этой задачи также используем диаграмму Эджуорта. На рисунке 9 длина сторон коробки Эджуорта соответствует имеющимся количествам труда и капитала. В системе ко­ординат (K A ,L A) проведем семейство изоквант, представля­ющих технологию производства блага А. Соответственно в системе координат (К B ,L B) в виде семейства изоквант

Рисунок 9. Парето-эффективность в производстве.

отобразим технологию производства блага В. Теперь любая точка в коробке Эджуорта представляет 6 параметров: ко­личества капитала и труда, используемые при производстве каждого из благ, и объемы их производства. Так, точка С указывает на то, что при производстве блага А занято капитала и труда, что позволяет произвести 30 ед. этого блага; оставшееся количество факторов ()исполь­зуется для выпуска блага В, что при данной технологии позволяет произвести 25 ед. этого блага.

На основе рассуждений аналогичных тем, которые при­менялись при анализе Парето-эффективности в обмене, можно убедиться в том, что Парето-эффективность в про­изводстве достигается только при таких вариантах рас­пределения труда и капитала, которые соответствуют точ­кам касания изоквант в коробке Эджуорта. Так, пере­ход от распределения, представленного точкой С, к рас­пределению, представленному точкой D, увеличит выпуск блага В с 25 до 35 ед. при сохранении выпуска блага А в размере 30 ед. Формальным признаком достижения Парето-эффективности в производстве является равенство так как углы наклона изоквант от­ражают предельные нормы технической замены факторов, а в точках касания изокванты имеют один и тот же наклон.

Соединив все точки касания изоквант в коробке Эджуорта, получим линию, представляющую множество Парето-эффективных вариантов использования заданного количества факторов производства. Эта линия называется линией производственных возможностей, так как каждая ее точка указывает на максимально возможное количе­ство производства одного блага при заданном объеме про­изводства другого. Для целей экономического анализа ли­нию производственных возможностей часто бывает удобней представлять в системе координат () на рисунке 10.

Выпуклость линии производственных возможностей от начала координат указывает на то, что за счет сокраще­ния выпуска каждой следующей единицы одного из благ можно получить все меньшее количество другого блага.

Рисунок 10. Кривая производственных возможностей.

Если блага производятся фирмами, максимизирую­щими прибыль и приобретающими факторы по экзогенно заданным ценам, как это имеет место в условиях совершен­ной конкуренции, то каждая фирма обеспечит такое сочета­ние труда и капитала, при котором , а так как при совершенной конкуренции все фирмы покупают факторы производства по одинаковым ценам, то . Следовательню, в условиях совер­шенной конкуренции производство благ является Парето-эффективным.

Первая теорема теории благосостояния утверждает, что конкурентное равновесие Парето-эффективно. А верно ли обратное утверждение: для любой Парето-эффективной ал­локации всегда можно найти вектор цен, при котором обес­печивается общее экономическое равновесие? Для ответа на этот вопрос следует рассмотреть ситуацию, которая иллюстрирует Парето – эффективное состояние в наиболее простом меновом хозяйстве с двумя потребителями и двумя благами. В этом состоянии кривая безразличия одного потребителя касается кривой безразличия другого. Чтобы данное состояние было одновременно состоянием конкурентного равновесия, нужен вектор цен, при котором потребители будут спрашивать наборы благ, соответствующие точке касания их кривых безразличия. Такой вектор цен найдется, если предпочтения потребителей «выпуклы», то есть если кривые безразличия, представляющие предпочтения потребителей, выпуклы к началу координат. Следовательно, если предпочтения всех потребителей «выпуклы», то любой Парето – эффективной аллокации можно подобрать систему цен, обеспечивающую общее экономическое равновесие. В этом суть второй теоремы общественного благосостояния. Выпуклость предпочтений является необходимым условием справедливости второй теоремы общественного благосостояния.

Конкурентный рынок через систему цен, отражающих предельные оценки затрат и результатов хозяйственной деятельности, предоставляет всем экономическим субъектам достоверную информацию о том, во что обществу обходятся принимаемые ими решения. Благодаря этому деятельность обособленных производителей, направляемая стремлением к максимизации собственной прибыли, приводит к Парето – эффективному состоянию в обмене и в производстве. Через ценообразование на факторы производства рынок осуществляет также функциональное распределение национального дохода. Поскольку на конкурентном рынке цена фактора равна его предельной производительности, то доходы участников рыночного хозяйства определяются по экономическим результатам функционирования принадлежащих им факторов производства. Из- - за различий в объемах и качестве имеющихся у каждого члена общества факторов производства эффективным по Парето может оказаться состояние, при котором одному проценту населения достигается 99 % национального дохода. Если это не соответствует представлению общества о социальной справедливости, то государство может осуществлять перераспределение богатства между гражданами. Однако при этом деятельность государства не должна вносить коррективы в систему рыночных цен, чтобы не нарушать аллокационные функции рынка. Наиболее подходящими для этой цели средствами являются паушальное налогообложение и трансфертные выплаты, которые не препятствуют становлению Парето – эффективного состояния экономики. С позиций экономической теории разумней повысить пособие по бедности, чем дотировать цены на «продукты первой необходимости» для того, чтобы их могли покупать и наиболее бедные слои населения.

В то же время нужно иметь в виде, что перераспределительная деятельность государства сопровождается снижением результативности общественного производства. Изъятие части доходов от хозяйственной деятельности в виде налогов снижает экономическую активность производителей. С другой стороны, налоги оказывают воздействие и на поведение потребителей. Стремясь уменьшить налоговое бремя, потребители выбирают товары – заменители. Растущий эффект взаимозаменяемости приводит к искажениям совокупного спроса и в конечном счете к потерям эффективности.

Допустим, что вводится налог, который уплачивают продавцы. Тогда чистая цена равна рыночной за вычетом суммы налога:

Р р – чистая цена;

P t – розничная цена с налоговой надбавкой;

T – налоговая надбавка к цене, %

Р р >Р t , тогда общество несет потери эффективности, налог мешает достичь оптимума по Парето.

Теория квазиоптимума , утверждает, что в случае, когда в одной отрасли (или группе отраслей) искажения не могут быть устранены, лучше отказаться от достижения максимума эффективности в другой отрасли (или группе отраслей), с тем чтобы сбалансировать экономику в целом.

1. 50 лекций по микроэкономике. Т.2. СПб.: Экономическая школа, 2000. Лекция 43-44.

2. Воркуев Б.Л. Количественные методы исследования в микро- и макроэкономике. М.: ТЕИС. 2007

3. Гребенников П.И. Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. Изд. СПБУЭиФ, 1996. Гл.11.4.

4. Иванов Ю. О показателях экономического благосостояния // Вопросы экономики. 2003. № 2

5. Никифоров А.А., Антипина О.Н., Миклашевская Н.А. Макроэкономика: научные школы, концепции, экономическая политика. – М.: Дело и сервис, 2007

6. Нуреев Р.М. Основы экономической теории. Микроэкономика. М.,1997.Гл.16.4, 16.5.

7. Петросян Д. Социальная справедливость в экономических отношениях: институциональные аспекты // Вопросы экономики. 2007. №2.

8. Хайман Д.Н. Современная микроэкономика: анализ и применение. Т.2. М., 1992.Гл.18.

9. Электронный учебник: Экономика: вводный курс. Введение. Общее экономическое равновесие и благосостояние. // edinp.

10. Экономическая теория. / под ред. Белокрыловой О.С Ростов н/Д: Феникс, 2006.

Аннотация: В этой лекции мы будем рассматривать вопрос, который, на первый взгляд, даже не обязательно лежит в области экономики. Мы будем рассматривать голосования, возможные схемы голосований и то, к каким результатам они могут привести.

Голосования и наши главные цели

На самом деле, конечно, это частный, но вместе с тем одновременно и наиболее общий случай тех самых задач, которые мы решаем в этом курсе. Голосование - очень простой и естественный частный случай экономического механизма. У голосования есть множество возможных исходов, из которых участники должны выбрать; например, это кандидаты , и , из которых один должен стать президентом. У каждого участника голосования (агента) есть определенный порядок на этих исходах (нам будет достаточно случая, когда этот порядок линейный, то есть каждый исход сравним с каждым), который отражает его предпочтения. Например, кандидат мне нравится больше, чем , а - больше, чем ; мы это будем обозначать через . Этот порядок можно рассматривать как скрытую функцию предпочтений агента. И, наконец, есть некоторая функция социального выбора, которая определяет, какой кандидат должен бы победить при том или ином соотношении голосов.

Заметим, что этот частный случай вместе с тем оказывается и наиболее общим. Мы не предполагаем вообще никаких ограничений, никакой структуры на множестве предпочтений каждого из агентов; любой исход может оказаться на любом месте в его внутренней функции предпочтения. Поэтому результаты о невозможности, которые мы получим в этой лекции, окажутся весьма полезными в доказательстве результатов о невозможности в теории экономических механизмов, которыми мы будем заниматься в течение следующих трех лекций. Основным результатом станет теорема Эрроу, которая была доказана Кеннетом Эрроу в 1963 году .

Однако прежде всего нужно понять, что бы мы хотели получить от системы голосования. Каковы цели, которых мы будем (безуспешно) пытаться достигнуть?

Для этого рассмотрим достаточно простой и понятный случай голосования: случай, когда в нем участвует ровно один агент . Какими самыми базовыми, самыми естественными свойствами будет обладать множество предпочтений одного агента? Давайте сформулируем три основных свойства, три в высшей степени естественных предположения.

Наконец, четвертое свойство является по сути свойством функции социального выбора, а не свойством одного-единственного агента, как первые три. Мы его уже рассматривали в предыдущих лекциях.

Согласитесь, все эти свойства звучат абсолютно естественно, правда? Было бы очень странно, если бы система голосования не удовлетворяла этим свойствам. Один пример хорошей системы мы уже привели: система, в которой ровно один агент , удовлетворяет всем четырем свойствам.

Можно провести и менее тривиальный пример. Предположим, что возможных исходов всего два, то есть голосование превратилось в референдум. Тогда можно предложить простейшую систему голосования: выбирать нужную альтернативу большинством голосов. Рекомендуем читателю проверить, что выбор простым большинством из двух исходов удовлетворяет всем четырем интересующим нас свойствам.

Однако оказывается, что для трех и более возможных исходов голосования такую систему построить непросто. Подходящих механизмов голосования мало, и вряд ли существующие механизмы смогут удовлетворить поборников демократической процедуры, потому что непременно окажутся диктаторскими: результат голосования будет просто совпадать с предпочтениями какого-то одного его участника. Это и будет теорема Эрроу.

Но начнем мы с того, что продемонстрируем, почему естественные системы голосований оказываются беспомощными перед столь простыми условиями. Наше изложение будет в основном следовать .

Парадоксы голосований

В этом параграфе мы будем приводить примеры разного рода странных конструкций, которые, философски говоря, доказывают одну простую вещь: на свете не существует рационального "общего мнения группы людей". Есть мнение каждого конкретного человека. Но общее мнение, если пытаться его как-то более или менее "равномерно" вычислять из множества мнений членов интересующей нас группы, вообще никакими разумными свойствами обладать не будет. Формализуем мы это в теореме Эрроу, а в этом параграфе дадим важную интуицию.

Первый пример восходит аж к XVIII веку. В году маркиз де Кондорсе придумал конструкцию парадокса, который под его именем вошел в политическую и экономическую теорию. Идея парадокса Кондорсе проста: рассмотрим три возможных исхода , и и трех участников , и . Предположим, что их предпочтения распределены так:

Иначе говоря, предпочтения трех участников получаются циклическим сдвигом одного линейного порядка.

Что будет происходить при голосованиях? Если на выбор предложат и , то и проголосуют за , и будет избран : . Если референдум пройдет между и , то победа альтернативы будет обеспечена голосованием агентов и : . Но если предложат выбор между и , то и проголосуют за , и окажется, что ! В парадоксе Кондорсе нарушается транзитивность "мнения большинства".

Давайте посмотрим на это с точки зрения дизайна механизмов. Как построить механизм голосования, который примет верное решение? Да и что вообще такое в данном случае "верное решение"? Вполне естественным может показаться механизм, который последовательно осуществляет референдумы, голосования с двумя исходами, до тех пор, пока (в предположении транзитивности , разумеется) не получит достаточно информации для выбора оптимального исхода. На парадоксе Кондорсе такой алгоритм может работать бесконечно (или выдавать ошибку): сколько ни ходи по кругу, единого оптимального выбора не сделаешь.

Но этим дело не ограничивается. Здесь пока кажется, что вообще все равно, какой выбор делать: все три варианта абсолютно симметричны, так что какая разница функции социального выбора, какой из них предпочесть. Давайте рассмотрим небольшую модификацию парадокса Кондорсе, на которой результаты алгоритма попарного голосования окажутся еще интереснее. Для примера нам потребуются аж семь альтернатив, поэтому давайте назовем их как-нибудь поинтереснее, не просто буквами латинского алфавита.

Пример 6.1 . Семеро великих вождей собираются в поход на семивратные Фивы. Собираются в поход двое изгнанников - Тидей и Полиник, собирается царь Адраст, двое аргивских вождей - Капаней и Гиппомедонт, ясновидец Амфиарай и аркадец Парфенопей 2Мы бы с удовольствием рассказали эту историю поподробнее, но как-то совсем уж тут не место... в общем, рекомендуем прочесть "Семеро против Фив" Эсхила и "Финикиянок" Еврипида - или хотя бы краткое их содержание.

А в это время на Олимпе Гера, Афина и Артемида решают, кого из семи вождей сделать своим любимцем, кому больше других поспособствовать при осаде Фив. Предпочтения богинь весьма замысловаты. Вот они (в таблице сверху вниз степень предпочтения убывает).

Гера	Афина	Артемида
Тидей	Капаней	Гиппомедонт
Полиник	Гиппомедонт	Тидей
Капаней	Тидей	Парфенопей
Гиппомедонт	Амфиарай	Полиник
Адраст	Парфенопей	Капаней
Амфиарай	Полиник	Адраст
Парфенопей	Адраст	Амфиарай

В лучших традициях древнегреческой демократии богини согласились решить дело голосованием. Они начали устанавливать общий порядок поочередными голосованиями. И вот что у них получилось...

1. Тидей против Гиппомедонта: Гера в меньшинстве, Гиппомедонт идет дальше.
2. Гиппомедонт против Капанея: Гера и Афина проводят дальше Капанея.
3. Капаней против Полиника: Полиник побеждает и проходит в следующий бой.
4. Полиник против Парфенопея: несмотря на то, что Гере Парфенопей ну совсем не мил, он побеждает.
5. Парфенопей против Амфиарая: выигрывает Амфиарай.
6. Амфиарай против Адраста: Адраст побеждает, Афина в меньшинстве.

В результате не просто Афина оказалась в меньшинстве в последнем голосовании, а как будто мудрость в этом голосовании и вовсе не ночевала. Богини медленно, но верно спускались вниз по таблице, хотя на каждом шаге делали выбор большинством (можно сказать, конституционным большинством - две трети набиралось). В результате победил царь Адраст, хотя в изначальных предпочтениях и Тидей, и Полиник, и Капаней, и Гиппомедонт у всех трех богинь стояли выше Адраста.

Конец примера 6.1 .

Но и на этом интересные следствия парадокса Кондорсе не заканчиваются. Давайте подумаем: какие вообще были варианты у наших голосований? Предположим, что мы хотим пока ограничиться выбором между двумя альтернативами. Таким образом, голосование получается двухступенчатым: сначала две альтернативы сражаются друг с другом, потом победитель с третьей. Рассмотрим возможные варианты для классического парадокса Кондорсе (см. рис. 6.1).

Рис. 6.1.

Получается, что результат при одних и тех же предпочтениях кардинально зависит от формата голосования! А значит, тот, кто контролирует формат голосования (а в реальных ситуациях его обычно кто-то контролирует), имеет существенное преимущество и может победить, даже оказавшись в меньшинстве.

Более того, эта зависимость от формата приводит к тому, что попарная независимость предпочтений в этом случае тоже не выполняется. Давайте рассмотрим простую ситуацию, в которой есть ровно две альтернативы: и , причем большинство хочет выбрать . Тогда простым большинством, конечно, без проблем выберут. Но если у меньшинства получится построить такую третью возможность , что при выборах и , то это самое меньшинство сможет, установив правильный порядок выборов (сначала против , затем против победителя), провести , а не .

Пример 6.2 . В политике такие ситуации редко, но действительно возникают на практике. Они называются "поправки-убийцы" ( killer amendments ). Вот любопытный пример из практики .

В США сенаторов поначалу выбирали не прямым всенародным голосованием, а законодательными органами соответствующего штата. В том, чтобы ввести голосования на пост сенатора, заключалась 17-я поправка к Конституции США, которая в конце концов все же была принята в 1913. Но на пути к ее принятию был один любопытный случай.

Проблема заключалась в том, что в те годы в США Юг и Север все еще не слишком любили друг друга, и южные сенаторы беспокоились, что если федеральное ("северное") государство возьмет выборы сенаторов под свой контроль , то северяне-республиканцы сделают что-нибудь ужасное, например допустят на выборы чернокожих - и действительно, некоторые республиканцы так и собирались сделать.

Был достигнут компромисс : билль, который вводил прямые выборы сенаторов, но содержал поправки, ограничивающие контроль федерального правительства над выборами в южных штатах. Его поддерживало большинство (это была возможность ), и на прямом голосовании между этим биллем и тем, чтобы вообще не вводить прямые выборы (возможность ), билль бы прошел.

Однако сенатор Сазерленд, лидер меньшинства, которое было против выборов сенаторов как таковых, сумел придумать поправку-убийцу . Таковой стало предложение о прямых выборах сенаторов без каких-либо поправок про южные штаты. Сазерленд устроил дело так, что сначала голосование шло между и . Меньшинство Сазерленда проголосовало за , северяне-республиканцы тоже проголосовали за , и победило . Но на этом дело не закончилось: затем встал выбор между и . Сазерленд внезапно "изменил свою точку зрения" и стал голосовать не за , а за , то есть против выборов совсем. В результате билль сначала выполнил свою функцию и выбил поддерживаемый большинством билль , а затем не прошел на следующих выборах. Получилась ситуация, изображенная на рис. 6.2 сплошными линиями, вместо ситуации, изображенной там же пунктиром.

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу», англ. Arrow’s paradox) - теорема о невозможности «коллективного выбора». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году.

Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

ТЕОРЕМА НЕВОЗМОЖНОСТИ ЭРРОУ

(Arrow\"s impossibility theorem) Теорема, согласно которой в экокомической модели, включающей нескольких человек, голосование большинством голосов отнюдь не всегда порождает равновесную ситуацию. Пусть три лица, 1, 2 и 3, последовательно ранжируют по степени предпочтения три ситуации, А, В и С. Если лицо 1 ставит ситуации в порядке А, В, С, лицо 2 – В, С, А, а лицо 3 – С, А, В, то при принятии нестратегического решения большинством голосов оказывается, что ситуация А предпочтительнее ситуации В, В предпочтительнее С, а С предпочтительнее А. Заметим, однако, что в данной теореме ничего не говорится о неизбежности столь парадоксального положения и даже о его вероятности, а всего лишь утверждается, что оно возможно в принципе.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N≥2 избирателей, голосующих за n≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность

Монотонность

Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться.

Отсутствие диктатора

Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность

Отсутствие диктатора

Независимость от посторонних альтернатив

Эффективность по Парето, или принцип единогласия

если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y, это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

≻i - предпочтения i-го агента; [≻"] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: Ln → L - функция общественного благосостояния; ≻W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето эффективность

W парето эффективна, если для любых исходов o1, o2 ∈ O, ∀i (o1 ≻i o2) ⇒ (o1 ≻W o2)

Независимость от посторонних альтернатив

W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o1, o2 ∈ O и для любых двух профилей предпочтений [≻"] и [≻"] ∈ Ln, ∀i (o1 ≻i" o2 ⇔ o1 ≻i" o2) ⇒ (o1 ≻W([≻"]) o2 ⇔ o1 ≻W([≻"]) o2)

Отсутствие диктатора

Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ∀ o1, o2 ∈ O (o1 ≻i o2 ⇒ o1 ≻W o2)

Теорема Эрроу

Если |O| ≥ 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение

Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ≻W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [≻] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ≻i. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ∈ O, что a ≻W b и b ≻W c. Изменим тогда профиль [≻] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ≻i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [≻"]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ≻W b и b ≻W c. Следовательно, в силу транзитивности ≻W получаем a ≻W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ≻i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ≻W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение

Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ≻W в самую верхнюю позицию в этом списке.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ≻i. Ясно, что и в ≻W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n* - агент, который переставив таким образом b, изменил ≻W. Обозначим [≻1] - профиль предпочтений как раз до того, как n* переместил b, а [≻2] - профиль предпочтений сразу же после того, как n* переместил b. Таким образом, в [≻2] исход b изменил свою позицию в ≻W, при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ≻i. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ≻W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение

, не включающими в себя b.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [≻2] построим [≻3] следующим образом: в ≻n* переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [≻1] получим, что a ≻W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [≻2] получим, что b ≻W c. Тогда a ≻W c. Теперь построим профиль предпочтений [≻4] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ≻i, для агента n* поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ≻W c. Мы получили, что все агенты, кроме n* имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ≻W c получился исходя только лишь из предположения, что a ≻n* c.

Этап 4. Утверждение

n* - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n* и сам может менять ранжирование в ≻W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n** совпадает с n*. Доказательство завершено.

«Суть этой теоремы состоит в том, что любой коллективный выбор, удовлетворяющий вполне разумным аксиомам, может обеспечить наилучшую альтернативу лишь в том случае, если он содержит черты принудительности, или диктаторства. Теорема невозможности Эрроу очень остро поставила вопрос о природе экономической науки, а вместе с ней и экономической этики. Она имеет ограничительный характер, ибо выявляет границы состоятельности экономики».

Канке В.А. , Философия науки: краткий энциклопедический словарь, М., «Омега-Л», 2008 г., с. 309.

«Кеннет Эрроу из Стенфордского университета поставил вопрос в наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек - один голос) и решающей (позволяла осуществить выбор)?

Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно понятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допускали математическое выражение в виде некоторых условий.

На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трём перечисленным выше принципам: рациональная, демократическая и решающая.

Первая аксиома Эрроу требует, чтобы система голосования была достаточно общей для того, чтобы учитывать все возможные распределения голосов избирателей. Интуитивно это требование вполне очевидно. Заранее нельзя предсказать распределение голосов. Совершенно необходимо, чтобы система была действенной при любых предпочтениях избирателей. Эта аксиома получила название аксиомы универсальности.

Ещё более очевидной с точки зрения здравого смысла является вторая аксиома Эрроу: аксиома единогласия, в соответствии с ней необходимо, чтобы коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих. Если, например, каждый из голосующих считает, что кандидат А лучше кандидата В, то и система голосования должна приводить к этому результату.

Третья аксиома Эрроу получила название независимости от несвязанных альтернатив . Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам. Третья аксиома достаточно привлекательна, но не столь очевидна с точки зрения каждодневного человеческого поведения. Так, в одной из работ приводится убедительный пример нарушения этой аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приготовление блюда В требует высокой квалификации повара, а, по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С - очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выбирает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить.

Часто третья аксиома Эрроу нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам в одиночном катании, они стараются учесть возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста С, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов А и В. Если А имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста В при примерно равном выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста С.

Тем не менее, сама возможность предъявления требования независимости к системе голосования в качестве обязательного не вызывает сомнения.

Четвёртая аксиома Эрроу носит название аксиомы полноты: система голосования должна сравнить любую пару кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом имеется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными. Требование полноты не кажется слишком строгим для системы голосования.

Пятая аксиома Эрроу является уже знакомым условием - транзитивности: если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Считается, что система голосования, не допускающая нарушения транзитивности, ведет себя рациональным образом.

Определив пять аксиом - желательных свойств системы голосования, Эрроу доказал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократических свобод недостатком: каждая из них является правилом диктатора - личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Результаты, выявленные Эрроу , получили широкую известность. Они развеяли надежды многих экономистов, социологов, математиков найти совершенную систему голосования. Требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу.

Поэтому результат Эрроу называют «теоремой невозможности».

Ларичев О.И., Теория и методы принятия решений, М., «Логос», 2000 г., с.181-183.