Вычисление пределов функций по правилу лопиталя. Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы. Правило Лопиталя: история и определение
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением может быть самой точки x 0 , и , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
Доказательство:
Доопределим f(x) и g(x) в точке x 0 , положив
f(x 0) = g(x 0) = 0.
В окрестности точки x 0 , т.е. на (x 0 ,х) для функций f(x) и g(x) выполняются условия теоремы Коши. Следовательно, существует точка сÎ(x 0 , х) такая, что
Т.к. f(x 0) = g(x 0) = 0.
Перейдем к пределу при x x 0 с x 0 :
Замечание . На практике при раскрытии неопределенности типа можно пользоваться правилом Лопиталя и в случаях, когда x®±¥, x®¥.
Для раскрытия неопределенностей типа существует аналог правила Лопиталя.
Теорема.
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением самой точки x 0 , причем . Пусть , . Тогда если существует предел отношения производных функций , то существует предел отношения самих функций , причем они равны между собой, т.е. .
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя.
Замечание 1 . Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (¥-¥), (0×¥), (1 ¥), (¥ 0), (0 0), сводя их к неопределенностям типа , .
Замечание 2 . Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
Вывод: показательная функция (y=a n) всегда растет быстрее, чем степенная (у=x n).
Вывод: логарифмическая функция (y=log a x) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0×¥) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (0 0), (1 ¥), (¥ 0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
= = =(0×¥)= = = =
Формулы Тейлора и Маклорена .
Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x 0 .Найдем многочлен степени не выше n-1, такой что
Такой многочлен в некотором смысле «близок» к функции .
Будем искать этот многочлен в форме многочлена, разложенного по степеням , с неопределенными коэффициентами:
Неопределенные коэффициенты определим так, чтобы выполнялись перечисленные выше условия.
Найдем производные от :
Подставляя вместо , находим:
, , , , … , . Отсюда
Þ , , , ,…, .
Искомый многочлен будет иметь вид:
Этот многочлен мы будем называть многочленом Тейлора.
Теорема. Пусть функция n раз дифференцируема в окрестности точки x 0 . Тогда в этой окрестности для функции справедлива следующая формула Тейлора:
Здесь некоторая точка, заключенная между и (), зависящая от , а = - остаточный член в форме Лагранжа.
Доказательство:
Обозначим через многочлен
Ясно, что для каждого выбранного существует такое число , для которого будет выполняться равенство:
Покажем, что это число при уже выбранном будет равно при некотором из промежутка .
Определим функцию
Ясно, что
Следовательно, доказательство мы закончим, если покажем, что в некоторой точке () будет выполняться равенство: .
Непосредственными вычислениями проверяется (см. многочлен Тейлора!), что для всех выполняются равенства:
Число выбрано таким образом, чтобы выполнялось равенство (1) и, следовательно, . Таким образом, для функции на промежутке
Выполняются все условия теоремы Ролля. Следовательно, на интервале () существует такая точка , производная функции , в которой равна нулю, то есть . Но тогда с учетом (2) теорему Ролля можно применить к функции на промежутке и так далее. Применяя, в конце концов, теорему Ролля к функции на соответствующем промежутке, получим точку , для которой будет справедливо равенство .
Утверждение доказано.
Если x 0 =0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
Заметим, что числа n могут выбираться различными, в зависимости и от наличия у функции производных соответствующего порядка, и от необходимой точности расчетов. Например, формула Тейлора для n=4 будет иметь вид:
Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена .
Пример:
Разложить функцию по формуле Маклорена, взяв 4 слагаемых.
Воспользуемся формулой Маклорена для функции , заменив x на
Приложения формул Тейлора и Маклорена.
Формулы Тейлора и Маклорена имеют широчайшее применение, как для приближенного вычисления значений целого ряда табулированных функций таких, например, как , , и др., так и для замены сложных функций при решении практических задач многочленами.
В качестве примера приложения формулы Маклорена, определим количество членов в разложении функции по указанной формуле для вычисления ее значения с точностью до 0.001 при любом x из промежутка [-1,1].
Поскольку , то в остаточном члене величина удовлетворяет неравенству: . Следовательно,
Очевидно, что если мы заменим на промежутке [-1,1] функцию соответствующим многочленом Тейлора, то значения этого многочлена на указанном промежутке будут отличаться от соответствующих значений функции на величину меньшую, чем . Выбирая n из условия <0.001, мы получим, что , поскольку ().
Отметим, что формула Тейлора может использоваться и при вычислении пределов.
Признаки монотонности функции.
Пусть функция определена и непрерывна на промежутке (a;b).
Определение:
Функция называется неубывающей (невозрастающей)
Определение:
Функция называется возрастающей (убывающей)
на (a;b), если для любых x 1 Замечание 1:
Обратное утверждение не верно. Не всякая функция, производная которой в точке равна нулю или не существует, имеет в этой точке экстремум. Замечание 2.
Функция имеет экстремум только в критических точках.
Правило Лопиталя Определение 1
Правило Лопиталя:
при некоторых условиях предел отношения функций, переменная которых стремится к $a$, равен пределу отношения их производных, при $x$, также стремящемся к $a$ : $\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\mathop{\lim }\limits_{x\to a} \frac{f"(x)}{g"(x)} $ Правило Лопиталя было открыто шведским математиком Иоганном Бернулли, который затем рассказал в письме о нём Лопиталю. Лопиталь же опубликовал это правило в первом учебнике по дифференциальному исчислению в 1696 году со своим авторством. Правило Лопиталя применяется для выражений, сводимых к неопределенностям следующего вида: $\frac{0}{0} \begin{array}{ccc} {} & {} & {\frac{\infty }{\infty } } \end{array}$ Вместо нуля в первом выражении может быть какая-либо бесконечно малая величина. В общем случае правилом Лопиталя можно воспользоваться, если и в числителе, и в знаменателе одновременно нуль или бесконечность. Условия, при которых можно применять правило Лопиталя: Пример № 1:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} $ Решение:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{x^{2} +5x}{3x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(x^{2} +5x\right)"}{\left(3x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{2x+5}{3} =\frac{0+5}{3} =\frac{5}{3} $ Пример № 2:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} $ Решение:
Проверим условия применимости правила Лопиталя: Запишем производную и найдем предел функции: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{x^{3} -3x^{2} +2x}{x^{3} -x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(x^{3} -3x^{2} +2x\right)"}{\left(x^{3} -x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{3x^{2} -6x+2}{3x^{2} -1} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle $ Повторяем вычисление производной пока не избавимся от неопределенности: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(3x^{2} -6x+2\right)"}{\left(3x^{2} -1\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{6x-6}{6x} =\left\langle \frac{\infty }{\infty } \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left(6x-6\right)"}{\left(6x\right)"} =\frac{6}{6} =1$ Пример № 3:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} $ Решение:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\sin 5x}{x} =\left\langle \frac{0}{0} \right\rangle =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{\left(\sin 5x\right)"}{\left(x\right)"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \frac{5\cos 5x}{1} =5\mathop{\lim }\limits_{x\to 0} \cos 5x=5$ Пример № 4:
Найти предел:
$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} $ Решение:
Прологарифмируем функцию: $\ln y=\frac{1}{x} \ln (1+x^{2})=\frac{\ln (1+x^{2})}{x} $ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\ln (1+x^{2})}{x} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\left[\ln (1+x^{2})\right]"}{x"} =\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \frac{\frac{2x}{1+x^{2} } }{1} =0$ Поскольку функция $ln(y)$ - непрерывная, получим: $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (\ln y)=\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)$ Следовательно, $\ln (\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y)=0$ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } y=1$ $\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } (1+x^{2})^{1/x} =1$ Изложен метод решения пределов, используя правило Лопиталя. Приводятся формулировки соответствующих теорем. Подробно разобраны примеры решения пределов, содержащих неопределенности ∞/∞, 0/0, 0 в степени 0 и ∞ - ∞, с помощью правила Лопиталя. См. также:
Правила вычисления производных
Одним из самых мощных методов раскрытия неопределенностей и вычисления пределов функций является использование правила Лопиталя. Оно позволяет раскрывать неопределенности вида 0/0
или ∞/∞
в конечной или бесконечно удаленной точке, которую мы обозначим как x 0
.
Правило Лопиталя заключается в том, что мы находим производные числителя и знаменателя дроби. Если существует предел ,
.
Для применения этого правила, должна существовать такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и функция в знаменателе и ее производная не обращается в нуль. Применение правила Лопиталя состоит из следующих шагов. Как указывалось выше, применение правила Лопиталя может привести к функции, предела которой не существует. Однако это не означает, что не существует исходного предела. Рассмотрим следующий пример. Здесь мы приводим формулировки теорем, на которых основывается раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя. Теорема о раскрытии неопределенности 0/0
Теорема о раскрытии неопределенности ∞/∞
Показать, что экспонента растет быстрее любой степенной функции, а логарифм - медленнее. То есть показать, что Рассмотрим предел А). При .
Это неопределенность вида .
Для ее раскрытия применим правило Лопиталя. Пусть Если ,
то применяем правило Лопиталя n
раз, где - целая часть числа b
.
Теперь рассмотрим предел Б): Найти предел с помощью правила Лопиталя: Это неопределенность вида 0/0
.
Находим по правилу Лопиталя. Здесь, после первого применения правила мы снова получили неопределенность. Поэтому применили правило Лопиталя второй раз. Эту серию равенств нужно читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел ,
то существует равный ему предел .
Поскольку существует предел ,
то существует равный ему исходный предел .
Вычислить предел, используя правило Лопиталя. Найдем значения числителя и знаменателя при :
Решить предел с помощью правила Лопиталя. Здесь мы имеем неопределенность вида (+0) +0
.
Преобразуем ее к виду +∞/+∞
.
Для этого выполняем преобразования. Находим предел в показателе степени, применяя правило Лопиталя. Поскольку экспонента - непрерывная функция для всех значений аргумента, то Найти предел используя правило Лопиталя: Здесь мы имеем неопределенность вида ∞ - ∞
.
Приводя дроби к общему знаменателю, приведем ее к неопределенности вида 0/0
:
Применяем правило Лопиталя. Здесь у нас снова неопределенность вида 0/0
.
Применяем правило Лопиталя еще раз. Окончательно имеем: Примечание.
Можно упростить вычисления, если воспользоваться теоремой о замене функций эквивалентными в пределе частного . Согласно этой теореме, если функция является дробью или произведением множителей, то множители можно заменить на эквивалентные функции. Поскольку при ,
то Использованная литература: Правило
Лопиталя
Правило
Лопиталя
представляет
собой метод вычисления пределов,
имеющих неопределенность
типа или .
Пусть a
является
некоторым конечным действительным
числом или равно бесконечности. Правило
Лопиталя можно также применять к
неопределенностям типа .
Первые две неопределенности можно
свести к типу или с
помощью алгебраических преобразований.
А неопределенности сводятся
к типу с
помощью соотношения Правило
Лопиталя справедливо также и для
односторонних пределов. Пример
1
Вычислить
предел .
Решение.
Дифференцируя
числитель и знаменатель, находим
значение предела: Пример
2
Вычислить
предел .
Решение.
Поскольку
прямая подстановка приводит к
неопределенности типа ,
применяем правило Лопиталя. Пример
3
Вычислить
предел .
Решение.
Здесь
мы имеем дело с неопределенностью
типа .
После простых преобразований, получаем Пример
4
Найти
предел .
Решение.
Используя
правило Лопиталя, можно записать Пример
5
Найти
предел .
Решение.
Здесь
мы встречаемся с неопределенностью
типа .
Обозначим .
После логарифмирования получаем Соответственно, Пример
6
15.
Правила Лопиталя*
Швейцарский
математик Иоганн
I Бернулли
(1667-1748)
после успешного окончания Базельского
университета, путешествуя по Европе, в
1690 году приезжает в Париж. В литературном
салоне философа Никола Мальбранша
(1638-1715) Иоганн знакомится с французским
математиком маркизом Гийомом Франсуа
Антуаном де Лопиталем (1661-1704). В ходе
оживленной беседы Лопиталь удивился,
как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли
решал трудные задачи по новому исчислению.
Поэтому Лопиталь попросил прочитать
ему несколько лекций. Устные беседы
понравились Лопиталю, и он за приличный
гонорар стал получать материалы в
письменном виде. Заметим, что общеизвестное
теперь “правило Лопиталя” для раскрытия
неопределенностей также было передано
ему Иоганном. Уже в 1696 году появился
знаменитый трактат Лопиталя “Введение
в анализ бесконечно малых для понимания
кривых линий”. Вторая часть курса,
изложенного Иоганном I Бернулли, была
опубликована лишь в 1742 году и называлась
“Математические лекции о методе
интегралов и другие; написаны для
знаменитого маркиза Госпиталия; годы
1691-1692”. В 1921 году были обнаружены
рукописные копии лекций, написанные
рукой Иоганна I Бернулли, оригиналы
которых были переданы Лопиталю в
1691-1692 гг. Из них ученые неожиданно
обнаружили, что Лопталь в своем “Анализе”
почти не отступал от лекций своего
молодого учителя. Теорема
(Коши).
Пусть
функции и непрерывны
на ,
дифференцируемы на и .
Тогда : Доказательство.
Рассмотрим
функцию Выберем
так, чтобы выполнялись все условия
теоремы Ролля, т.е. . По
теореме Ролля существует : Первое
правило Лопиталя
Определение.
Пусть
функции ,
непрерывны на ,
дифференцируемы в ,
причем .
Пусть .
Тогда говорят, что отношение при представляет
собой неопределенность вида . Теорема.
Применим
теорему Коши к отрезку ,
где .
Существует : и,
значит, Это
и означает, что . В
случае, когда бесконечно,
неравенство (1) заменяется на в
зависимости от знака .
В остальном доказательство не меняется. Второе
правило Лопиталя
Определение.
Пусть
функции ,
непрерывны и дифференцируемы в ,
причем .
Пусть .
Тогда говорят, что отношение при представляет
собой неопределенность вида . Теорема.
Если
при указанных условиях существует Доказательство.
Пусть конечно.
По выберем :
в интервале выполняется
неравенство Определим
функцию из
условия при .
Применим к отрезку теорему
Коши. Получим, что существует : Для
тех ,
для которых Так
как произвольно
мало, то В
случае, когда ,
неравенство (2) заменяется на а
неравенство (4) – на неравенство имеющим
место при ,
достаточно близких к a в силу (3). Аналогично
рассматривается случай . Применение правила Лопиталя необходимо для вычисления пределовпри получении неопределенностей вида 0 0 и ∞ ∞ . Имеются неопределенности вида 0 · ∞ и ∞ - ∞ . Самой важной частью правила Лопиталяявляется дифференцирование функции и нахождение ее производной. Когда lim x → x 0 f (x) g (x) = 0 0 или ∞ ∞ и функции f (x) , g (x) являются дифференцируемыми в пределах точки х 0 , тогда lim x → x 0 f (x) g (x) = lim x → x 0 f " (x) g " (x) . Если неопределенность нерешаема после применения правила Лопиталя, тогда необходимо снова его применить. Для полного понятия рассмотрим несколько примеров. Пример 1
Произвести вычисления, применив правило Лопиталя lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) . Решение
Для решения по правилу Лопиталя для начала необходимо произвести подстановку. Получаем, что lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = sin 2 (3 · 0) 0 · cos (0) = 0 0 . Теперь можно переходить к вычислению пределов, используя правило. Получаем, что lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 0 = lim x → 0 sin 2 (3 x) " x · cos (x) " = lim x → 0 2 sin (3 x) (sin (3 x)) " x " · cos (x) + x · (cos (x)) " = = lim x → 0 6 sin (3 x) cos (3 x) cos (x) - x · sin (x) = 6 sin (3 · 0) cos (3 · 0) cos (0) - 0 · sin (0) = 0 1 = 0 Ответ:
lim x → 0 sin 2 (3 x) x · cos (x) = 0 . Пример 2
Вычислить предел заданной функции lim x → ∞ ln (x) x . Решение
Производим постановку бесконечностью. Получаем, что lim x → ∞ ln (x) x = ln (∞) ∞ = ∞ ∞ Полученная неопределенность указывает на то, что необходимо применить правило Лопиталя. Имеем, что lim x → ∞ ln (x) x = ∞ ∞ = lim x → ∞ ln (x) " x " = lim x → ∞ 1 x 1 = 1 ∞ = 0 Ответ: lim x → ∞ ln (x) x = 0
Пример 3
Вычислить предел заданной функции lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) Решение
Производим подстановку значения x . получаем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = (0 + 0) 4 · ln (0 + 0) = 0 · (- ∞) Решение привело к неопределенности вида ноль умноженный на отрицательную бесконечность. Это указывает на то, что необходимо обратиться к таблице неопределенностей и принять решения для выбора метода нахождения этого предела. После преобразования применяем правило Лопиталя. Получаем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = ln (0 + 0) (0 + 0) - 4 = - ∞ + ∞ Приход к неопределенности говорит о том, что необходимо повторное применение этого правила. Имеем, что lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 · (- ∞) = lim x → 0 + 0 ln (x) x - 4 = - ∞ + ∞ = = lim x → 0 + 0 (ln (x)) " (x - 4) " = lim x → 0 + 0 1 x - 4 - 5 = - 1 4 lim x → 0 + 0 1 x - 4 = - 1 4 · 1 (0 + 0) - 4 = = - 1 4 · (0 + 0) 4 = 0 Ответ:
lim x → 0 + 0 (x 4 ln (x)) = 0 Пример 4
Выполнить вычисление предела функции lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 . Решение
После подстановки получаем lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ Наличие неопределенности указывает на то, что следует использовать правило Лопиталя. Получаем, что lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = ∞ - ∞ = lim x → 0 cos 2 (x) sin 2 (x) - 1 x 2 = = lim x → 0 x 2 cos 2 (x) - sin 2 (x) x 2 sin 2 (x) = lim x → 0 x cos x - sin x x cos x + sin x x 2 sin 2 (x) = = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) x cos x + sin x x = lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) cos x + sin x x = = lim x → 0 cos x + sin x x lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = = 2 0 · cos (0) - sin (0) 0 · sin 2 (0) = 0 0 Для последнего перехода использовался первый замечательный предел. После чего приходим к решению по Лопиталю. Получим, что 2 lim x → 0 x cos x - sin x x sin 2 (x) = 0 0 = 2 lim x → 0 (x cos x - sin x) " (x sin 2 (x)) " = = 2 lim x → 0 cos x - x sin x - cos x sin 2 (x) + 2 x sin x cos x = 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 Так как неопределенность не ушла, необходимо еще одно применение правила Лопиталя. Получаем предел вида 2 lim x → 0 - x sin (x) + 2 x cos x = 0 0 = 2 lim x → 0 - x " sin (x) + 2 x cos x " = = 2 lim x → 0 1 cos x + 2 cos x - 2 x sin x = - 2 · 1 3 · cos (0) - 2 · 0 · sin (0) = - 2 3 Ответ:
lim x → 0 c t g 2 (x) - 1 x 2 = - 2 3 Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter Доказательство правила Лопиталя:
Алгоритм вычисления решения с использованием правила Лопиталя
Метод решения
Если после дифференцирования мы опять получаем неопределенность, то процесс можно повторить, то есть применить правило Лопиталя уже к пределу .
И так далее, до раскрытия неопределенности.
1)
Приводим неопределенность к виду 0/0
или ∞/∞
.
Для этого, если требуется, выполняем преобразования и делаем замену переменной . В результате получаем предел вида .
2)
Убеждаемся, что существует такая проколотая окрестность точки x 0
,
на которой функции в числителе и знаменателе являются дифференцируемыми и знаменатель и его производная не обращаются в нуль.
3)
Находим производные числителя и знаменателя.
4)
Если имеется конечный или бесконечный предел ,
то задача решена: .
5)
Если предела не существует, то это не означает, что не существует исходного предела. Это означает, что данную задачу решить с помощью правила Лопиталя нельзя. Нужно применить другой метод (см. пример ниже).
6)
Если в пределе вновь возникает неопределенность, то к нему также можно применить правило Лопиталя, начиная с пункта 2).
.
Применяем правило Лопиталя. ,
.
Однако предела не существует. Не смотря на это, исходная функция имеет предел:
.
Правило Лопиталя. Формулировки теорем
Пусть функции f
и g
имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки ,
причем и не равны нулю в этой окрестности. И пусть
.
,
то существует равный ему предел
.
Пусть функции f
и g
имеют производные в проколотой (двусторонней или односторонней) окрестности конечной или бесконечно удаленной () точки ,
причем не равна нулю в этой окрестности. И пусть
.
Тогда, если существует конечный или бесконечный предел
,
то существует равный ему предел
.
Здесь для двусторонней окрестности. Для односторонней окрестности, ,
или .
Примеры
Пример 1
А) ;
Б) ,
где .
.
Находим производные. .
Тогда
.
Если ,
то неопределенность исчезает, поскольку при .
По правилу Лопиталя,
.
;
.
Поскольку ,
то .
Хотя мы привыкли читать слева направо, но эту серию равенств следует читать справа налево следующим образом. Поскольку существует предел ,
то существует равный ему предел .
Поскольку существует предел ,
то существует равный ему предел .
И так далее, пока не дойдем до предела .
.
Сделаем замену переменной .
Тогда ;
при ;
.
Пример 2
.
.
Пример 3
.
;
.
Числитель и знаменатель равны нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0
.
Для ее раскрытия, применим правило Лопиталя.
.
Пример 4
.
.
.
.
Пример 5
.
.
;
;
.
;
;
.
.
Как и во всех пределах, вычисляемых с помощью правила Лопиталя, читать нужно с конца. Поскольку существует предел ,
то существует равный ему предел .
Поскольку существует предел ,
то существует равный ему исходный предел .
.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.
Правило Лопиталя
Определение 1