Постановка задачи в двумерном случае

Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу

9.1. Постановка задачи в двумерном случае. 72

9.2. Описание решения. 72

Это одно из приложений криволинейного интеграла II рода.

Дано выражение полного дифференциала функции двух переменных:

Найти функцию .

1. Так как не всякое выражение вида является полным дифференциалом некоторой функции U (x ,y ), то необходимо проверить корректность постановки задачи, то есть проверить необходимое и достаточное условие полного дифференциала, которое для функции 2-х переменных имеет вид . Это условие следует из эквивалентности утверждений (2) и (3) в теореме предыдущего параграфа. Если обозначенное условие выполнено, то задача имеет решение, то есть функцию U (x ,y ) восстановить можно; если условие не выполнено, то задача не имеет решения, то есть функцию восстановить нельзя.

2. Найти функцию по ее полному дифференциалу можно, например, с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его от по линии, соединяющей фиксированную точку (x 0 ,y 0) и переменную точку (x;y ) (Рис. 18 ):

Таким образом получено, что криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала dU (x ,y ) равен разности значений функции U (x ,y ) в конечной и начальной точках линии интегрирования.

Зная теперь этот результат, нужно подставить вместо dU в криволинейный интеграл выражение и провести вычисление интеграла по ломаной (ACB ), учитывая его независимость от формы линии интегрирования:

на (AC ): на (СВ ) :

(1)

Таким образом, получена формула, с помощью которой восстанавливается функция 2-х переменных по ее полному дифференциалу .

3. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу можно только с точностью до постоянного слагаемого, так как d (U + const) = dU . Поэтому в результате решения задачи получаем множество функций, отличающихся друг от друга на постоянное слагаемое.

Примеры (восстановление функции двух переменных по ее полному дифференциалу)

1. Найти U (x ,y ), если dU = (x 2 – y 2)dx – 2xydy .

Проверяем условие полного дифференциала функции двух переменных:

Условие полного дифференциала выполнено, значит, функцию U (x ,y ) восстановить можно.

Проверка: – верно.

Ответ: U (x ,y ) = x 3 /3 – xy 2 + C .

2. Найти функцию , такую что

Проверяем необходимые и достаточные условия полного дифференциала функции трех переменных: , , , если дано выражение .

В решаемой задаче

все условия полного дифференциала выполнены, следовательно, функцию восстановить можно (задача поставлена корректно).

Будем восстанавливать функцию с помощью криволинейного интеграла II рода, вычислив его по некоторой линии, соединяющей фиксированную точку и переменную точку , так как

(это равенство выводится так же, как и в двумерном случае).

С другой стороны, криволинейный интеграл II рода от полного дифференциала не зависит от формы линии интегрирования, поэтому его проще всего считать по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. При этом в качестве фиксированной точки можно взять для просто ты взять точку с конкретными числовыми координатами, отслеживая лишь только, чтобы в этой точке и на всей линии интегрирования выполнилось условие существования криволинейного интеграла (то есть чтобы функции , и были непрерывными). С учетом этого замечания в данной задаче можно взять фиксированной точкой, например, точку М 0 . Тогда на каждой из звеньев ломаной будем иметь

10.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода. 79

10.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода. 81

Определение 8.4. Дифференциальное уравнение вида

где
называется уравнением в полных дифференциалах.

Заметим, что левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции
.

В общем случае, уравнение (8.4) можно представить в виде

Вместо уравнения (8.5) можно рассматривать уравнение

,

решение которого есть общим интегралом уравнения (8.4). Таким образом, для решения уравнения (8.4) необходимо найти функцию
. В соответствии с определением уравнения (8.4), имеем

(8.6)

Функцию
будем отыскивать, как функцию, удовлетворяющую одному из этих условий (8.6):

где - произвольная функция, не зависящая от.

Функция
определяется так, чтобы выполнялось второе условие выражения (8.6)

(8.7)

Из выражения (8.7) и определяется функция
. Подставляя ее в выражение для
и получают общий интеграл исходного уравнения.

Задача 8.3. Проинтегрировать уравнение

Здесь
.

Следовательно, данное уравнение относится к типу дифференциальных уравнений в полных дифференциалах. Функцию
будем отыскивать в виде

.

С другой стороны,

.

В ряде случаев условие
может не выполняться.

Тогда такие уравнения к рассматриваемому типу приводятся умножением на так называемый интегрирующий множитель, который, в общем случае, является функцией только или.

Если у некоторого уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий только от , то он определяется по формуле

где отношение должно быть только функцией.

Аналогично, интегрирующий множитель, зависящий только от , определяется по формуле

где отношение
должно быть только функцией.

Отсутствие в приведенных соотношениях, в первом случае переменной , а во втором - переменной, являются признаком существования интегрирующего множителя для данного уравнения.

Задача 8.4. Привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах.

.

Рассмотрим отношение:

.

Тема 8.2. Линейные дифференциальные уравнения

Определение 8.5 . Дифференциальное уравнение
называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции, ее производнойи не содержит произведения искомой функции и ее производной.

Общий вид линейного дифференциального уравнения представляется следующим соотношением:

(8.8)

Если в соотношении (8.8) правая часть
, то такое уравнение называется линейным однородным. В случае, когда правая часть
, то такое уравнение называется линейным неоднородным.

Покажем, что уравнение (8.8) интегрируется в квадратурах.

На первом этапе рассмотрим линейное однородное уравнение.

Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Действительно,

;

/

Последнее соотношение и определяет общее решение линейного однородного уравнения.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного уравнения применяется метод вариации производной постоянной. Идея метода состоит в том, что общее решение линейного неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения, однако произвольная постоянная заменяется некоторой функцией
, подлежащей определению. Итак, имеем:

(8.9)

Подставляя в соотношение (8.8) выражения, соответствующие
и
, получим

Подставляя последнее выражение в соотношение (8.9), получают общий интеграл линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения определяется двумя квадратурами: общего решения линейного однородного уравнения и частного решения линейного неоднородного уравнения.

Задача 8.5. Проинтегрировать уравнение

Таким образом, исходное уравнение относится к типу линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

На первом этапе найдем общее решение линейного однородного уравнения.

;

На втором этапе определим общее решение линейного неоднородного уравнения, которое отыскивают в виде-

,

где
- функция, подлежащая определению.

Итак, имеем:

Подставляя соотношения для ив исходное линейное неоднородное уравнение получим:

;

;

.

Общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

.

Показано как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах. Даны методы его решения. Приводится пример решения уравнения в полных дифференциалах двумя способами.

Содержание

Введение

Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах - это уравнение вида:
(1) ,
где левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) от переменных x, y :
.
При этом .

Если найдена такая функция U(x, y) , то уравнение принимает вид:
dU(x, y) = 0 .
Его общий интеграл:
U(x, y) = C ,
где C - постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1) . Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x 0 , y 0 также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2) .
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U(x, y) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2) .
Пусть выполняется условие (2) :
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U(x, y) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U(x, y) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x 0 до x , считая что y - это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x - это постоянная и применим (2) :

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y 0 до y :
;
;
.
Подставляем в (5) :
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6) , U(x 0 , y 0) является постоянной - значением функции U(x, y) в точке x 0 , y 0 . Ей можно присвоить любое значение.

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2) :
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет - то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:


.
Дифференцируем


.
Поскольку:
,
то заданное уравнение - в полных дифференциалах.

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d(u ± v) ;
v du + u dv = d(uv) ;
;
.
В этих формулах u и v - произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Решить уравнение:
.

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1) :
;
.

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U(x, y) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .

Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ(y) - произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4) :
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ(y) и, тем самым, U(x, y) .

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Ранее мы нашли, что это уравнение - в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U(x, y) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :

.
Подставим в (4) :
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2) :

.
Общий интеграл уравнения:
U(x, y) = const .
Объединяем две постоянные в одну.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p(x, y) dx + q(x, y) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0) и (x, y) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной (x 0 , y 0) и конечной (x, y) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x 0 и y 0 - постоянные. Поэтому U(x 0 , y 0) - также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве :
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки (x 0 , y 0 ) до точки (x 0 , y) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки (x 0 , y) до точки (x, y) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) в параметрическом виде:
x 1 = s(t 1) ; y 1 = r(t 1) ;
x 0 = s(t 0) ; y 0 = r(t 0) ;
x = s(t) ; y = r(t) ;
и интегрировать по t 1 от t 0 до t .

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки (x 0 , y 0 ) и (x, y) . В этом случае:
x 1 = x 0 + (x - x 0) t 1 ; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1 ;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1 ; dy 1 = (y - y 0) dt 1 .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Дифференциальным называется уравнение вида

P (x,y )dx + Q (x,y )dy = 0 ,

где левая часть является полным дифференциалом какой-либо функции двух переменных.

Обозначим неизвестную функцию двух переменных (её-то и требуется найти при решении уравнений в полных дифференциалах) через F и скоро вернёмся к ней.

Первое, на что следует обратить внимание: в правой части уравнения обязательно должен быть нуль, а знак, соединяющий два члена в левой части, должен быть плюсом.

Второе - должно соблюдаться некоторое равенство, которое является подтверждением того, что данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Эта проверка является обязательной частью алгоритма решения уравнений в полных дифференциалах (он во втором параграфе этого урока), так процесс поиска функции F достаточно трудоёмкий и важно на начальном этапе убедиться в том, что мы не потратим время зря.

Итак, неизвестную функцию, которую требуется найти, обозначили через F . Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Следовательно, если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов. Тогда по определению

dF = P (x,y )dx + Q (x,y )dy .

Вспоминаем формулу вычисления полного дифференциала функции двух переменных:

Решая два последних равенства, можем записать

.

Первое равенство дифференцируем по переменной "игрек", второе - по переменной "икс":

.

что является условием того, что данное дифференциальное уравнение действительно представляет собой уравнение в полных дифференциалах.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Шаг 1. Убедиться, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Для того, чтобы выражение было полным дифференциалом некоторой функции F (x, y ) , необходимо и достаточно, чтобы . Иными словами, нужно взять частную производную по x и частную производную по y другого слагаемого и, если эти производные равны, то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Записать систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :

Шаг 3. Проинтегрировать первое уравнение системы - по x (y F :

,
y .

Альтернативный вариант (если так интеграл найти проще) - проинтегрировать второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом так же восстанавливается функция F :

,
где - пока неизвестная функция от х .

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцировать по y (в альтернативном варианте - по x ) и приравнять ко второму уравнению системы:

,

а в альтернативном варианте - к первому уравнению системы:

.

Из полученного уравнения определяем (в альтернативном варианте )

Шаг 5. Результат шага 4 интегрировать и найти (в альтернативном варианте найти ).

Шаг 6. Результат шага 5 подставить в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C чаще записывают после знака равенства - в правой части уравнения. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах. Оно, как уже говорилось, имеет вид F (x, y ) = C .

Примеры решений дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Пример 1.

Шаг 1. уравнением в полных дифференциалах x одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по y другого слагаемого
уравнением в полных дифференциалах .

Шаг 2. F :

Шаг 3. по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :

где - пока неизвестная функция от y .

Шаг 4. y

.

.

Шаг 5.

Шаг 6. F . Произвольную постоянную C :
.

Какая ошибка возможна здесь с наибольшей вероятностью? Самые распространённые ошибки - принять частный интеграл по одной из переменных за обычный интеграл произведения функций и пытаться интегрировать по частям или заменной переменной а также принять частную производную двух сомножителей за производную произведения функций и искать производную по соответствующей формуле.

Это надо запомнить: при вычислении частного интеграла по одной из переменной другая является константой и выносится за знак интеграла, а при вычислении частной производной по одной из переменной другая также является константой и производная выражения находится как производная "действующей" переменной, умноженной на константу.

Среди уравнений в полных дифференциалах не редкость - примеры с экспонентой. Таков следующий пример. Он же примечателен и тем, что в его решении используется альтернативный вариант.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Для этого находим частную производную по x одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по y другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах .

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :

Шаг 3. Проинтегрируем второе уравнение системы - по y (x остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :

где - пока неизвестная функция от х .

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по х

и приравняем к первому уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :
.

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах :
.

В следующем примере возвращаемся от альтернативного варианта к основному.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах .

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :

где - пока неизвестная функция от y .

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах :
.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Шаг 2. Запишем систему уравнений из частных производных, составляющих функцию F :

Шаг 3. Проинтегрируем первое уравнение системы - по x (y остаётся константой и выносится за знак интеграла). Таким образом восстанавливаем функцию F :

где - пока неизвестная функция от y .

Шаг 4. Результат шага 3 (найденный общий интеграл) продифференцируем по y

и приравняем ко второму уравнению системы:

Из полученного уравнения определяем :
.

Шаг 5. Результат шага 4 интегрируем и находим :

Шаг 6. Результат шага 5 подставляем в результат шага 3 - в восстановленную частным интегрированием функцию F . Произвольную постоянную C записываем после знака равенства. Таким образом получаем общее решение дифференциального уравнения в полных дифференциалах :
.

Пример 5. Решить дифференциальное уравнение

.

Шаг 1. Убедимся, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах . Для этого находим частную производную по y одного слагаемого в левой части выражения

и частную производную по x другого слагаемого
. Эти производные равны, значит, уравнение является уравнением в полных дифференциалах .

Имеющее стандартный вид $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в котором левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции $F\left(x,y\right)$, называется уравнением в полных дифференциалах.

Уравнение в полных дифференциалах всегда можно переписать в виде $dF\left(x,y\right)=0$, где $F\left(x,y\right)$ -- такая функция, что $dF\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проинтегрируем обе части уравнения $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; интеграл от нулевой правой части равен произвольной постоянной $C$. Таким образом, общее решение данного уравнения в неявной форме имеет вид $F\left(x,y\right)=C$.

Для того, чтобы данное дифференциальное уравнение представляло собой уравнение в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x} $. Если указанное условие выполнено, то существует такая функция $F\left(x,y\right)$, для которой можно записать: $dF=\frac{\partial F}{\partial x} \cdot dx+\frac{\partial F}{\partial y} \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, откуда получаем два соотношения: $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ и $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$.

Интегрируем первое соотношение $\frac{\partial F}{\partial x} =P\left(x,y\right)$ по $x$ и получаем $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, где $U\left(y\right)$ -- произвольная функция от $y$.

Подберем её так, чтобы удовлетворялось второе соотношение $\frac{\partial F}{\partial y} =Q\left(x,y\right)$. Для этого продифференцируем полученное соотношение для $F\left(x,y\right)$ по $y$ и приравняем результат к $Q\left(x,y\right)$. Получаем: $\frac{\partial }{\partial y} \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left(x,y\right)$.

Дальнейшее решение таково:

• из последнего равенства находим $U"\left(y\right)$;
• интегрируем $U"\left(y\right)$ и находим $U\left(y\right)$;
• подставляем $U\left(y\right)$ в равенство $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ и окончательно получаем функцию $F\left(x,y\right)$.

\

Находим разность:

Интегрируем $U"\left(y\right)$ по $y$ и находим $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Находим результат: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записываем общее решение в виде $F\left(x,y\right)=C$, а именно:

Находим частное решение $F\left(x,y\right)=F\left(x_{0} ,y_{0} \right)$, где $y_{0} =3$, $x_{0} =2$:

Частное решение имеет вид: $5\cdot x\cdot y^{2} +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.