Волновые свойства частиц вещества. §23 Волновые (полевые) свойства частиц Волны де Бройля. Дифракция электронов Волновые свойства микрочастиц

Вы, конечно, можете называть это чушью,
но я-то встречала чушь такую, что в
сравнении с ней эта кажется толковым
словарем.
Л. Кэрролл

Что такое планетарная модель атома и в чем ее недостаток? В чем суть модели атома Бора? В чем заключается гипотеза о волновых свойствах частиц? Какие предсказания дает эта гипотеза о свойствах микромира?

Урок-лекция

КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АТОМА И ИХ НЕДОСТАТКИ . Идеи о том, что атомы не являются неделимыми частицами и содержат в качестве составляющих частиц элементарные заряды, были впервые высказаны в конце XIX в. Термин «электрон» предложил в 1881 г. английский физик Джордж Стоней. В 1897 г. электронная гипотеза получила экспериментальное подтверждение в исследованиях Эмиля Вихерта и Джозефа Джона Томсона. С этого момента началось создание разнообразных электронных моделей атомов и молекул.

Первая модель Томсона предполагала, что положительный заряд равномерно рассредоточен по всему атому, а в него, подобно изюму в булочке, вкраплены электроны.

Несоответствие этой модели экспериментальным данным стало ясно после проведения в 1906 г. опыта Эрнестом Резерфордом, который исследовал процесс рассеяния α-частиц атомами. Из опыта был сделан вывод, что положительный заряд сосредоточен внутри образования, существенно меньшего, чем размеры атома. Это образование назвали атомным ядром, размеры которого составляли 10 -12 см, а размеры атома - 10 -8 см. В соответствии с классическими представлениями электромагнетизма между каждым электроном и ядром должна действовать кулоновская сила притяжения. Зависимость этой силы от расстояния должна быть такой же, как и в законе всемирного тяготения. Следовательно, движение электронов в атоме должно быть подобно движению планет Солнечной системы. Так родилась планетарная модель атома Резерфорда.

Малое время жизни атома и непрерывный спектр излучения, следующие из планетарной модели, показывали ее несостоятельность при описании движения электронов в атоме.

Дальнейшее исследование устойчивости атома дало ошеломляющий результат: расчеты показали, что за время 10 -9 с электрон должен упасть на ядро вследствие потери энергии на излучение. Кроме того, такая модель давала непрерывные, а не дискретные спектры излучения атомов.

ТЕОРИЯ АТОМА БОРА . Следующий важный шаг в разработке теории атомов был сделан Нильсом Бором. Важнейшей гипотезой, выдвинутой Бором в 1913 г., явилась гипотеза о дискретном строении энергетических уровней электрона в атоме. Это положение проиллюстрировано на энергетических диаграммах (рис. 21). Традиционно на энергетических диаграммах энергия откладывается по вертикальной оси.

Рис. 21 Энергия спутника в поле тяготения Земли (а); энергия электрона в атоме (б)

Отличие движения тела в гравитационном поле (рис. 21, а) от движения электрона в атоме (рис. 21, б) в соответствии с гипотезой Бора состоит в том, что энергия тела может непрерывно изменяться, а энергия электрона при отрицательных значениях может принимать ряд дискретных значений, изображенных на рисунке отрезками голубого цвета. Эти дискретные значения были названы уровнями энергии или, иначе, энергетическими уровнями.

Конечно же, идея дискретных уровней энергии была взята из гипотезы Планка. Изменение энергии электрона в соответствии с теорией Бора могло происходить только скачком (с одного уровня энергии на другой). При этих переходах излучается (переход вниз) или поглощается (переход вверх) квант света, частота которого определяется из формулы Планка hv = Е кванта = ΔЕ атома, т. е. изменение энергии атома пропорционально частоте излученного или поглощенного кванта света.

Теория Бора прекрасно объясняла линейчатый характер атомных спектров. Однако на вопрос о причине дискретности уровней теория фактически не давала ответа.

ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА . Следующий шаг в развитии теории микромира был сделан Луи де Бройлем. В 1924 г. он высказал предположение о том, что движение микрочастиц нужно описывать не как классическое механическое движение, а как некоторое волновое движение. Именно из законов волнового движения должны быть получены рецепты вычисления различных наблюдаемых величин. Так в науке наряду с волнами электромагнитного поля появились волны вещества.

Гипотеза о волновом характере движения частиц была такой же смелой, как и гипотеза Планка о дискретных свойствах поля. Эксперимент, прямо подтверждающий гипотезу де Бройля, был поставлен только в 1927 г. В этом эксперименте наблюдалась дифракция электронов на кристалле, подобно дифракции электромагнитной волны.

Теория Бора была важным шагом в понимании законов микромира. В ней впервые было введено положение о дискретных значениях энергии электрона в атоме, что соответствовало опыту и впоследствии вошло в квантовую теорию.

Гипотеза о волнах вещества позволяла объяснить дискретную природу энергетических уровней. Из теории волн было известно, что ограниченная в пространстве волна всегда имеет дискретные частоты. Примером является волна в таком музыкальном инструменте, как флейта. Частота звучания в этом случае определяется размерами пространства, которыми ограничена волна (размерами флейты). Оказывается, что это общее свойство волн.

Но в соответствии с гипотезой Планка частоты кванта электромагнитной волны пропорциональны энергии кванта. Следовательно, и энергия электрона должна принимать дискретные значения.

Идея де Бройля оказалась очень плодотворной, хотя, как уже говорилось, прямой эксперимент, подтверждающий волновые свойства электрона, был проведен лишь в 1927 г. В 1926 г. Эрвин Шредингер вывел уравнение, которому должна подчиняться волна электрона, и, решив это уравнение применительно к атому водорода, получил все результаты, которые была способна дать теория Бора. Фактически это было началом современной теории, описывающей процессы в микромире, поскольку волновое уравнение легко обобщалось для самых разных систем - многоэлектронных атомов, молекул, кристаллов.

Развитие теории привело к пониманию того, что волна, соответствующая частице, определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. Так в физику микромира вошло понятие вероятности

Согласно новой теории волна, соответствующая частице, полностью определяет движение частицы. Но общие свойства волн таковы, что волна не может быть локализована в какой-либо точке пространства, т. е. бессмысленно говорить о координатах частицы в данный момент времени. Следствием этого явилось полное исключение из физики микромира таких понятий, как траектория движения частицы и электронные орбиты в атоме. Красивая и наглядная планетарная модель атома, как оказалось, не соответствует реальному движению электронов.

Все процессы в микромире имеют вероятностный характер. Путем расчетов может быть определена только вероятность протекания того или иного процесса

В заключение вернемся к эпиграфу. Гипотезы о волнах вещества и квантах поля казались чушью многим физикам, воспитанным на традициях классической физики. Дело в том, что эти гипотезы лишены привычной наглядности, которую мы имеем, производя наблюдения в макромире. Однако последующее развитие науки о микромире привело к таким представлениям, что... (см. эпиграф к параграфу).

Каким опытным фактам противоречила модель атома Томсона?
Что из модели атома Бора осталось в современной теории и что было отброшено?
Какие идеи способствовали выдвижению де Бройлем гипотезы о волнах вещества?

КЛАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ АТОМА И ИХ НЕДОСТАТКИ.

Идеи о том, что атомы не являются неделимыми частицами и содержат в качестве составляющих

частиц элементарные заряды, были впервые высказаны в конце XIX в. Термин "электрон" предложил в 1881 г. английский физик Джордж Стоней. В 1897 г. электронная гипотеза получила экспериментальное подтверждение в исследованиях Эмиля Вихерта и Джозефа Джана Томсона . С этого момента началось создание разнообразных электронных моделей атомов и молекул. Первая модель Томсона предполагала, что положительный заряд равномерно рассредоточен по всему атому, а в него, подобно изюму в булочке, вкраплены электроны. Несоответствие этой модели экспериментальным данным стало ясно после проведения в 1906 г. опыта Эрнестом Резерфордом, который исследовал

процесс рассеяния а-частиц атомами. Из опыта был сделан вы вод, что положительный заряд сосредоточен внутри образования, существенно меньшего, чем размеры атома. Это образование назвали атомным ядром, размеры которого составляли 1 о- 12 см, а размеры атома- 1 о-в см.

В соответствии с классическими Представлениями электромагнетизма между каждым электроном и ядром должна действовать кулоновская сила притяжения. Зависимость этой силы от расстояния должна быть такой же, как и в законе всемирного тяготения. Следовательно, движение

электронов в атоме должно быть подоб но движению планет Солнечной системы. Так родилась планетарная модель атома Резерфорда. Дальнейшее исследование устойчивости атома дало ошеломляющий результат: расчеты показали, что за время 1 о-9 с электрон должен упасть на ядро

вследствие потери энергии на излучение. Кроме того, такая модель давала непрерывные, а не дискретные спектры излучения атомов.

ТЕОРИЯ АТОМА БОРА.

Следующий важный шаг в разработке теории атомов был сделан Нильсом Бором.

Важнейшей гипотезой, выдвинутой Бором в 1913 г., явилась гипотеза о дискретном строении

энергетических уровней электрона в атоме. Это положение проиллюстрировано на энергетических

диаграммах. Традиционно на энергетических диаграммах энергия откладывается по вертикальной

оси. Отличие движения тела в гравитационном поле от движения электрона в атоме в соответствии с гипотезой Бора состоит в том, что энергия тела может непрерывно изменяться, а энергия электрона при отрицательных значениях может принимать ряд дискретных значений, изображенных на рисунке отрезками голубого цвета. Эти дискретные значения были названы уровнями энергии или, иначе, энергетическими уровнями. Конечно же, идея дискретных уровней энергии была взята из гипотезы Планка. Изменение энергии электрона в соответствии с теорией Бора могло происходить только скачком (с одного уровня энергии на другой). Теория Бора прекрасно объясняла линейчатый характер

атомных спектров. Однако на вопрос о причине дискретности

уровней теория фактически не давала ответа.

ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА.

Следующий шаг в развитии теории микромира был сделан Луи де Бройлем. В 1924 г. он высказал предположение о том, что движение микрочастиц нужно описывать не как классическое механическое

движение, а как некоторое волновое движение. Именно из законов волнового движения должны быть получены рецепты вычисления различ ных наблюдаемых величин. Так в науке наряду с волнами электромагнитного поля появились волны вещества. Гипотеза о волновом характере движения частиц была такой же смелой, как и гипотеза Планка о дискретных свойствах поля. Эксперимент, прямо подтверждающий гипотезу де Бройля, был поставлен только в 1927 г. В этом эксперименте наблюдалась дифракция электронов на кристалле, подобно дифракции электромагнитной волны. Гипотеза о волнах вещества позволяла объяснить дискретную природу

энергетических уровней. Из теории волн было известно, что ограниченная в пространстве волна всегда имеет дискретные частоты. Примерам является волна в таком музыкальном инструменте, как флейта. Частота звучания в этом случае определяется размерами пространства, которыми ограничена волна (размерами флейты). Оказывается, что это общее свойство волн. Но в соответствии с гипотезой Планка частоты кванта электромагнитной волны пропорциональны энергии кванта. Следовательно, и энергия электрона должна принимать дискретные значения. Идея де Бройля оказалась очень плодотворной, хотя, как уже говорилось, прямой эксперимент, подтверждающий волновые свойства электрона , был проведен лишь в 1927 г. В 1926 г. Эрвин Шредингер вывел уравнение, которому должна подчиняться волна электрона, и, решив это уравнение применительно к атому водорода, получил все результаты, которые была способна дать теория Бора. Фактически это было началом современной теории, описывающей процессы в микромире, поскольку волновое уравнение легко обобщалось для самых разных систем - многоэлектронных атомов, молекул, кристаллов. Развитие теории привело к пониманию того, что волна, соответствующая частице, определяет вероятность нахождения частицы в данной точке пространства. Так в физику микромира вошло понятие вероятности. Согласно новой теории волна, соответствующая частице, полностью определяет движение частицы. Но общие свойства волн таковы, что волна не может быть локализована в какой-либо точке пространства, т.е. бессмысленно говорить о координатах частицы в данный момент времени. Следствием этого явилось полное исключение из физики микромира таких понятий, как траектория движения частицы и электронные орбиты в атоме. Красивая и наглядная планетарная модель атома, как оказалось,

4.4.1. Гипотеза де Бройля

Важным этапом в создании квантовой механики явилось обнаружение волновых свойств микрочастиц. Идея о волновых свойствах была первоначально высказана как гипотеза французским физиком Луи де Бройлем.

В физике в течение многих лет господствовала теория, согласно которой свет есть электромагнитная волна. Однако после работ Планка (тепловое излучение), Эйнштейна (фотоэффект) и других стало очевидным, что свет обладает корпускулярными свойствами.

Чтобы объяснить некоторые физические явления, необходимо рассматривать свет как поток частиц-фотонов. Корпускулярные свойства света не отвергают, а дополняют его волновые свойства.

Итак, фотон-элементарная частица света, обладающая волновыми свойствами.

Формула для импульса фотона

(4.4.3)

По де Бройлю, движение частицы, например, электрона, подобно волновому процессу с длиной волны λ , определяемой формулой (4.4.3). Эти волны называют волнами де Бройля . Следовательно, частицы (электроны, нейтроны, протоны, ионы, атомы, молекулы) могут проявлять дифракционные свойства.

К.Дэвиссон и Л.Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов на монокристалле никеля.

Может возникнуть вопрос: что происходит с отдельными частицами, как образуются максимумы и минимумы при дифракции отдельных частиц?

Опыты по дифракции пучков электронов очень малой интенсивности, то есть как бы отдельных частиц, показали, что при этом электрон не "размазывается" по разным направлениям, а ведет себя как целая частица. Однако вероятность отклонения электрона по отдельным направлениям в результате взаимодействия с объектом дифракции различная. Наиболее вероятно попадание электронов в те места, которые по расчету соответствуют максимумам дифракции, менее вероятно их попадание в места минимумов. Таким образом, волновые свойства присущи не только коллективу электронов, но и каждому электрону в отдельности.

4.4.2. Волновая функция и ее физический смысл

Так как с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, то состояние частиц в квантовой механике описывается волновой функцией, зависящей от координат и времени: .

Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, то есть не зависящим от времени, то ψ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой от координат:

Отсюда следует физический смысл волновой функции:

4.4.3. Соотношение неопределенностей

Одним из важных положений квантовой механики являются соотношения неопределенностей, предложенные В.Гейзенбергом.

Пусть одновременно измеряют положение и импульс частицы, при этом неточности в определениях абсциссы и проекции импульса на ось абсцисс равны соответственно Δx и Δр x .

В классической физике нет каких-либо ограничений, запрещающих с любой степенью точности одновременно измерить как одну, так и другую величину, то есть Δx→0 и Δр x→ 0.

В квантовой механике положение принципиально иное: Δx и Δр x , соответствующие одновременному определению x и р x , связаны зависимостью

Формулы (4.4.8), (4.4.9) называют соотношениями неопределенностей .

Поясним их одним модельным экспериментом.

При изучении явления дифракции было обращено внимание на то, что уменьшение ширины щели при дифракции приводит к увеличению ширины центрального максимума. Аналогичное явление будет и при дифракции электронов на щели в модельном опыте. Уменьшение ширины щели означает уменьшение Δ x (рис. 4.4.1), это приводит к большему "размазыванию" пучка электронов, то есть к большей неопределенности импульса и скорости частиц.

Рис. 4.4.1.Пояснение к соотношению неопределенности.

Соотношение неопределенностей можно представить в виде

(4.4.10)

где ΔE - неопределенность энергии некоторого состояния системы; Δt -промежуток времени, в точение которого оно существует. Соотношение (4.4.10) означает, что чем меньше время существования какого-либо состояния системы, тем более неопределенно его значение энергии. Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину (рис.4.4.2)), зависящую от времени пребывания системы в состоянии, соответствующем этому уровню.

Рис. 4.4.2.Энергетические уровни Е 1 , Е 2 и т.д. имеют некоторую ширину.

"Размытость" уровней приводит к неопределенности энергии ΔE излучаемого фотона и его частоты Δν при переходе системы с одного энергетического уровня на другой:

где m- масса частицы; ; Е и Е n -ее полная и потенциальная энергии (потенциальная энергия определяется силовым полем, в котором находится частица, и для стационарного случая не зависит от времени)

Если частица перемещается только вдоль некоторой линии, например вдоль оси ОХ (одномерный случай), то уравнение Шредингера существенно упрощается и принимает вид

(4.4.13)

Одним из наиболее простых примеров на использование уравнения Шредингера является решение задачи о движении частицы в одномерной потенциальной яме.

4.4.5. Применение уравнения Шредингера к атому водорода. Квантовые числа

Описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для одного электрона, находящегося в поле ядра. Такие системы соответствуют атому водорода и водородоподобным ионам (однократно ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития и т.п.). Однако и в этом случае решение задачи является сложным, поэтому ограничимся лишь качественным изложением вопроса.

Прежде всего в уравнение Шредингера (4.4.12) следует подставить потенциальную энергию, которая для двух взаимодействующих точечных зарядов - e (электрон) и Ze (ядро), - находящихся на расстоянии r в вакууме, выражается следующим образом:

Это выражение является решением уравнения Шредингера и полностью совпадает с соответствующей формулой теории Бора (4.2.30)

На рис.4.4.3 показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода (Е 1 , Е 2 , Е 3 и т.д.) и график зависимости потенциальной энергии Е n от расстояния r между электроном и ядром. С возрастанием главного квантового числа n увеличивается r (см.4.2.26), а полная (4.4.15) и потенциальная энергии стремятся к нулю. Кинетическая энергия также стремится к нулю. Заштрихованная область (Е>0) соответствует состоянию свободного электрона.

Рис. 4.4.3. Показаны уровни возможных значений полной энергии атома водорода
и график зависимости потенциальной энергии от расстояния r между электроном и ядром.

Второе квантовое число - орбитальное l , которое при данном n может принимать значения 0, 1, 2, …., n-1. Это число характеризует орбитальный момент импульса L i электрона относительно ядра:

Четвертое квантовое число - спиновое m s . Оно может принимать только два значения (±1/2) и характеризует возможные значения проекции спина электрона:

.(4.4.18)

Состояние электрона в атоме с заданными n и l обозначают следующим образом: 1s, 2s, 2p, 3s и т.д. Здесь цифра указывает значение главного квантового числа, а буква - орбитальное квантовое число: символам s, p, d, f, соответствуют значения l=0, 1, 2. 3 и т.д.

К началу XX века в оптике были известны как явления, подтверждающие наличие волновых свойств у света (интерференция, поляризация, дифракция и др.), так и явления, нашедшие объяснение с позиций корпускулярной теории (фотоэффект, эффект Комптона и др.). В начале XX века для частиц вещества был обнаружен ряд эффектов, внешне сходных с оптическими явлениями, характерными для волн. Так, в 1921 году Рамзауэр при исследовании рассеяния электронов на атомах аргона обнаружил, что при уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт эффективное сечение упругого рассеяния электронов на аргоне растет (рисунок 4.1).

Но при энергии электрона ~16 эВ эффективное сечение достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона уменьшается. При энергии электрона ~ 1 эВ становится близким к нулю, а затем начинает снова увеличиваться.

Таким образом, вблизи ~ 1 эВ электроны как бы не испытывают с атомами аргона столкновений и пролетают через газ без рассеяния. Такое же поведение характерно и для сечения рассеяния электронов на других атомах инертных газов, а также на молекулах (последнее обнаружено Таунсендом). Этот эффект аналогичен образованию пятна Пуассона при дифракции света на малом экране.

Другой интересный эффект - селективное отражение электронов от поверхности металлов; оно изучалось в 1927 году американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, а также независимо от них английским физиком Дж. П. Томсоном.

Параллельный пучок моноэнергетических электронов из электронно-лучевой трубки (рисунок 4.2) направляли на никелевую пластинку. Отраженные электроны улавливались коллектором, соединенным с гальванометром. Коллектор устанавливается под любым углом относительно падающего пучка (но в одной плоскости с ним).

В результате опытов Дэвиссона-Джермера показано, что угловое распределение рассеянных электронов имеет такой же характер, как и распределение рентгеновских лучей, рассеянных кристаллом (рисунок 4.3). При изучении дифракции рентгеновских лучей на кристаллах было установлено, что распределение дифракционных максимумов описывается формулой

где - постоянная кристаллической решетки, - порядок дифракции, - длина волны рентгеновского излучения.

В случае рассеяния нейтронов на тяжелом ядре также возникало типично дифракционное распределение рассеянных нейтронов, аналогичное наблюдаемому в оптике при дифракции света на поглощающем диске или шарике.

Французский ученый Луи де Бройль в 1924 году высказал идею о том, что частицы вещества обладают и корпускулярными, и волновыми свойствами. При этом он предположил, что частице, свободно движущейся с постоянной скоростью, соответствует плоская монохроматическая волна

где и - ее частота и волновой вектор.

Волна (4.2) распространяется в направлении движения частицы (). Такие волны получили название фазовых волн , волн вещества или волн де Бройля .

Идея де Бройля заключалась в том, чтобы расширить аналогию между оптикой и механикой, а волновую оптику сопоставить с волновой механикой, пытаясь применить последнюю к внутриатомным явлениям. Попытка приписать электрону, и вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, - такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной. ”…Необходимо создать новую механику волнового характера, которая будет относиться к старой механике как волновая оптика к геометрической оптике”, - писал де Бройль в книге «Революция в физике».

Частица массы, движущаяся со скоростью, имеет энергию

и импульс

а состояние движения частицы характеризуется четырехмерным вектором энергии-импульса ().

С другой стороны, в волновой картине мы используем понятие частоты и волнового числа (или длины волны), а соответствующим плоской волне 4-вектором является ().

Так как оба приведенных описания являются различными аспектами одного и того же физического объекта, то между ними должна существовать однозначная связь; релятивистски инвариантным соотношением между 4-векторами является

Выражения (4.6) называются формулами де Бройля . Длина волны де Бройля определяется, таким образом, формулой

(здесь). Именно эта длина волны должна фигурировать в формулах при волновом описании эффекта Рамзауэра - Таунсенда и опытов Дэвиссона - Джермера.

Для электронов, ускоренных электрическим полем с разностью потенциалов В, длина волны де Бройля нм; при кВ =0,0122 нм. Для молекулы водорода с энергией Дж (при = 300 К) =0,1 нм, что по порядку величины совпадает с длиной волны рентгеновского излучения.

С учетом (4.6) формулу (4.2) можно записать в виде плоской волны

соответствующей частице, имеющей импульс и энергию.

Волны де Бройля характеризуются фазовой и групповой скоростями. Фазовая скорость определяется из условия постоянства фазы волны (4.8) и для релятивистской частицы равна

то есть она всегда больше скорости света. Групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы:

Из (4.9) и (4.10) следует связь между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля:

Каков же физический смысл волн де Бройля и какова их связь с частицами вещества?

В рамках волнового описания движения частицы значительную гносеологическую сложность представил вопрос о ее пространственной локализации. Волны де Бройля (4.2), (4.8) заполняют все пространство и существуют неограниченное время. Свойства этих волн всегда и везде одинаковы: постоянны их амплитуда и частота, неизменны расстояния между волновыми поверхностями и др. С другой стороны, микрочастицы сохраняют свои корпускулярные свойства, то есть обладают определенной массой, локализованной в определенной области пространства. Для того, чтобы выйти из создавшегося положения, частицы стали представлять не монохроматическими волнами де Бройля, а наборами волн с близкими частотами (волновыми числами) - волновыми пакетами :

при этом амплитуды отличны от нуля лишь для волн с волновыми векторами, заключенными в интервале (). Поскольку групповая скорость волнового пакета равна скорости движения частицы, то было предложено представить частицу в виде волнового пакета. Но эта идея несостоятельна по следующим причинам. Частица является стабильным образованием и в процессе своего движения как таковая не изменяется. Такими же свойствами должен обладать и волновой пакет, претендующий представлять частицу. Поэтому нужно потребовать, чтобы с течением времени волновой пакет сохранял свою пространственную форму или - по меньшей мере - свою ширину. Однако так как фазовая скорость зависит от импульса частицы, то (даже в вакууме!) должна существовать дисперсия волн де Бройля. В результате фазовые соотношения между волнами пакета нарушаются, и пакет расплывается. Следовательно, частица, представляемая таким пакетом, должна быть нестабильной. Этот вывод противоречит опыту.

Далее было выдвинуто противоположное предположение: частицы первичны, а волны представляют их образования, то есть возникают, подобно звуку в среде, состоящей из частиц. Но такая среда должна быть достаточно плотной, ведь о волнах в среде частиц имеет смысл говорить лишь тогда, когда среднее расстояние между частицами очень мало по сравнению с длиной волны. А в экспериментах, в которых обнаруживаются волновые свойства микрочастиц, это не выполняется. Но даже если преодолеть это затруднение, то все равно указанная точка зрения должна быть отвергнута. В самом деле, она означает, что волновые свойства присущи системам многих частиц, а не отдельным частицам. Между тем волновые свойства частиц не исчезают и при малых интенсивностях падающих пучков. В опытах Бибермана, Сушкина и Фабриканта, проведенных в 1949 году, применялись столь слабые пучки электронов, что средний промежуток времени между двумя последовательными прохождениями электрона через дифракционную систему (кристалл) было в 30000 (!) раз больше времени, затрачиваемого одним электроном на прохождение всего прибора. При таких условиях взаимодействие между электронами, конечно, не играло никакой роли. Тем не менее при достаточно длительной экспозиции на фотопленке, помещенной за кристаллом, возникала дифракционная картина, ничем не отличающаяся от картины, получаемой при короткой экспозиции с пучками электронов, интенсивность которых была в 10 7 раз больше. Важно только, чтобы в обоих случаях общее число электронов, попадающих на фотопластинку, было одинаковым. Это показывает, что и отдельные частицы обладают волновыми свойствами. Эксперимент показывает, что одна частица дифракционной картины не дает, каждый отдельный электрон вызывает почернение фотопластинки на небольшом участке. Всю дифракционную картину можно получить только благодаря попаданию на пластинку большого числа частиц.

Электрон в рассмотренном опыте полностью сохраняет свою целостность (заряд, массу и другие характеристики). В этом проявляются его корпускулярные свойства. В то же время налицо проявление и волновых свойств. Электрон никогда не попадает на тот участок фотопластинки, где должен быть минимум дифракционной картины. Он может оказаться только вблизи положения дифракционных максимумов. При этом нельзя заранее указать, в каком конкретном направлении полетит данная конкретная частица.

Представление о том, что в поведении микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства, закреплено в термине «корпускулярно-волновой дуализм» и лежит в основе квантовой теории, где он и получил естественное истолкование.

Борн предложил следующую общепринятую теперь интерпретацию результатов описанных опытов: вероятность попадания электрона в некоторую точку на фотопластинке пропорциональна интенсивности соответствующей волны де Бройля, то есть квадрату амплитуды волнового поля в данном месте экрана. Таким образом, предложено вероятностно-статистическое толкование природы волн, связанных с микрочастицами: закономерность распределения микрочастиц в пространстве можно установить только для большого числа частиц; для одной частицы можно определить только вероятность попадания в определенную область.

После знакомства с корпускулярно-волновым дуализмом частиц ясно, что для описания механического состояния микрочастиц непригодны те методы, которые используются в классической физике. В квантовой механике для описания состояния нужно применять новые специфические средства. Важнейшим из них является понятие о волновой функции, или функции состояния (-функции ).

Функция состояния есть математический образ того волнового поля, которое следует связывать с каждой частицей. Так, функцией состояния свободной частицы является плоская монохроматическая волна де Бройля (4.2) или (4.8). Для частицы, подверженной внешнему воздействию (например, для электрона в поле ядра), это волновое поле может иметь весьма сложный вид, и оно изменяется с течением времени. Волновая функция зависит от параметров микрочастицы и от тех физических условий, в которых частица находится.

Далее мы увидим, что через волновую функцию достигается наиболее полное описание механического состояния микрообъекта, какое только возможно в микромире. Зная волновую функцию, можно предсказать, какие значения всех измеряемых величин могут наблюдаться на опыте и с какой вероятностью. Функция состояния несет всю информацию о движении и квантовых свойствах частиц, поэтому говорят о задании с ее помощью квантового состояния.

Согласно статистической интерпретации волн де Бройля, вероятность локализации частицы определяется интенсивностью волны де Бройля, так что вероятность обнаружения частицы в малом объеме в окрестности точки в момент времени равна

С учетом комплексности функции имеем:

Для плоской волны де Бройля (4.2)

то есть равновероятно обнаружить свободную частицу в любом месте пространства.

Величину

называют плотностью вероятности. Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объеме, согласно теореме сложения вероятностей, равна

Если в (4.16) произвести интегрирование в бесконечных пределах, то будет получена полная вероятность обнаружения частицы в момент времени где-нибудь в пространстве. Это - вероятность достоверного события, поэтому

Условие (4.17) называется условием нормировки , а -функцию, удовлетворяющую ему, - нормированной .

Подчеркнем еще раз, что для частицы, движущейся в силовом поле, в качестве выступает функция более сложного вида, чем плоская волна де Бройля (4.2).

Так как -функция комплексна, то ее можно представить в виде

где - модуль -функции, а - фазовый множитель, в котором - любое вещественное число. Из совместного рассмотрения этого выражения и (4.13) ясно, что нормированная волновая функция определена неоднозначно, а лишь с точностью до постоянного множителя. Отмеченная неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах. Действительно, умножение функции на экспоненту изменяет фазу комплексной функции, но не ее модуль, определяющий вероятность получения в эксперименте того или иного значения физической величины.

Волновую функцию частицы, движущейся в потенциальном поле, можно представить волновым пакетом. Если при движении частицы вдоль оси длина волнового пакета равна, то волновые числа, необходимые для его образования, не могут занимать сколь угодно узкий интервал. Минимальная ширина интервала должна удовлетворять соотношению или, после умножения на,

Аналогичные соотношения выполняются и для волновых пакетов, распространяющихся вдоль осей и:

Соотношения (4.18), (4.19) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга (или принципом неопределенности ). Согласно этому фундаментальному положению квантовой теории, любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения.

Соотношения, аналогичные записанным, должны выполняться для любой пары так называемых канонически сопряженных величин. Содержащаяся в соотношениях неопределенностей постоянная Планка устанавливает предел в точности одновременного измерения таких величин. При этом неопределенность в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными (волновыми) свойствами частиц материи.

Другим важным моментом в рассмотрении состояний микрочастиц является воздействие прибора на микрообъект. Любой процесс измерения приводит к изменению физических параметров состояния микросистемы; нижний предел этого изменения устанавливается также соотношением неопределенностей.

Ввиду малости по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия соотношения неопределенностей существенны в основном для явлений атомных и меньших масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Соотношения неопределенностей, впервые полученные в 1927 году немецким физиком В. Гейзенбергом, явились важным этапом в выяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики.

Как следует из статистической интерпретации смысла волновой функции, частица может быть с некоторой вероятностью обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по измерению, например, координаты носят вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых экспериментов над одинаковыми системами (то есть при воспроизведении одинаковых физических условий) получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения будут более вероятными, чем другие, и будут появляться чаще. Чаще всего будут получаться те значения координаты, которые близки к значению, определяющему положение максимума волновой функции. Если максимум выражен четко (волновая функция представляет собой узкий волновой пакет), то частица в основном находится вблизи этого максимума. Тем не менее некоторый разброс в значениях координаты (неопределенность порядка полуширины максимума) неизбежен. То же относится и к измерению импульса.

В атомных системах величина по порядку величины равна площади орбиты, по которой, в соответствии с теорией Бора-Зоммерфельда, движется частица в фазовой плоскости. В этом можно убедиться, выражая площадь орбиты через фазовый интеграл. При этом получится, что квантовое число (смотри лекцию 3) удовлетворяет условию

В отличие от теории Бора, где имеет место равенство (здесь - скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода, - скорость света в вакууме,), в рассматриваемом случае в стационарных состояниях средний импульс определяется размерами системы в координатном пространстве, а отношение составляет лишь по порядку величины . Таким образом, применяя координаты и импульс для описания микроскопических систем, необходимо в интерпретацию этих понятий ввести квантовые поправки. Такой поправкой и являются соотношения неопределенностей.

Несколько иной смысл имеет соотношение неопределенностей для энергии и времени:

Если система находится в стационарном состоянии, то из соотношения неопределенностей следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить лишь с точностью, не превышающей, где - длительность процесса измерения. Соотношение (4.20) справедливо также, если под понимать неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под - характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.

Соотношение неопределенностей (4.20) приводит к важным выводам относительно возбужденных состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и из соотношения неопределенностей вытекает, что энергии возбужденных уровней не могут быть строго определенными, то есть энергетические уровни обладают некоторой естественной шириной , где - время жизни возбужденного состояния. Другим примером служит альфа-распад радиоактивного ядра. Энергетический разброс испускаемых -частиц связан с временем жизни такого ядра соотношением.

Для нормального состояния атома, а энергия имеет вполне определенное значение, то есть . Для нестабильной частицы с, и об определенном значении ее энергии говорить не приходится. Если время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным с, то ширина энергетического уровня ~10 -26 Дж и ширина спектральной линии, возникающей при переходе атома в нормальное состояние, ~10 8 Гц.

Из соотношений неопределенностей следует вывод о том, что в квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную. Действительно, одна из них зависит от импульсов, а другая - от координат. Эти же переменные не могут одновременно иметь определенные значения. Энергия должна определяться и измеряться лишь как полная энергия, без деления на кинетическую и потенциальную.

Свет обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Волновые свойства проявляются при распространении света (интерференция, дифракция). Корпускулярные свойства проявляются при взаимодействии света с веществом (фотоэффект, излучение и поглощение света атомами).

Свойства фотона как частицы (энергия Е и импульс p) связаны с его волновыми свойствами (частотой ν и длиной волны λ) соотношениями

; , (19)

где h=6,63×10 -34 Дж - постоянная Планка.

Пытаясь преодолеть трудности боровской модели атома, французский физик Луи де Бройль в 1924 г. выдвинул гипотезу, что сочетание волновых и корпускулярных свойств присуще не только свету, но и любому материальному телу. То есть частицы вещества (например, электроны) обладают волновыми свойствами. высказал предположение, Согласно де Бройлю каждому телу массой m, движущемуся со скоростью υ, соответствует волновой процесс с длиной волны

Наиболее ярко волновые свойства проявляются у микрообъектов (элементарных частиц). Вследствие малой массы длина волны де Бройля оказывается сравнимой с межатомным расстоянием в кристаллах. В этих условиях при взаимодействии пучка частиц с кристаллической решеткой возникают дифракционные явления. Электронам с энергией 150 эВ соответствует длина волны λ»10 -10 м . Такого же порядка межатомные расстояния в кристаллах. Если пучок таких электронов направить на кристалл, то они будут рассеиваться по законам дифракции. Зафиксированная на фотопленке дифракционная картина (электронограмма) содержит информацию о строении трехмерной кристаллической решетки.

Рисунок 6 Иллюстрация волновых свойств вещества

Для иллюстрации волновых свойств частиц часто используют мысленный эксперимент - прохождение пучка электронов (или других частиц) через щель шириной Δх. С точки зрения волновой теории после дифракции на щели пучок будет уширяться с угловой расходимостью θ»λ/Δх. С корпускулярной точки зрения уширение пучка после прохождения щели объясняется появлением у частиц некоторого поперечного импульса. Разброс значений этого поперечного импульса ("неопределенность") есть

(21)

Соотношение (22)

носит название соотношения неопределенностей. Это соотношение на корпускулярном языке отражает наличие волновых свойств у частиц.

Эксперимент по прохождению пучка электронов через две близко расположенные щели может служить еще более яркой иллюстрацией волновых свойств частиц. Этот эксперимент является аналогом оптического интерференционного опыта Юнга.

4. 10 Квантовая модель атома Экспериментальные факты (дифракция электронов, эффект Комптона, фотоэффект и многие другие) и теоретические модели, вроде боровской модели атома, с определенностью свидетельствуют, что законы классической физики становятся неприменимыми для описания поведения атомов и молекул и их взаимодействия со светом. В течение десятилетия между 1920-м и 1930-м гг. ряд выдающихся физиков ХХ в. (де Бройль, Гейзенберг, Борн, Шредингер, Бор, Паули и др.) занимался построением теории, которая могла бы адекватно описать явления микромира. В результате родилась квантовая механика, ставшая основой всех современных теорий строения вещества, можно сказать, основой (вместе с теорией относительности) физики ХХ в.

Законы квантовой механики применимы в микромире, в то же время мы с вами являемся макроскопическими объектами и живем в макромире, управляющимся совершенно иными, классическими законами. Поэтому неудивительно, что многие положения квантовой механики не могут быть проверены нами непосредственно и воспринимаются как странные, невозможные, непривычные. Тем не менее, квантовая механика является, наверное, самой подтвержденной на опыте теорией, так как следствия расчетов, выполненных по законам этой теории, используются практически во всем, что нас окружает, и стали частью человеческой цивилизации (достаточно упомянуть о тех полупроводниковых элементах, работа которых в данный момент позволяют читателю видеть текст на экране монитора, покрытие которого, кстати, также рассчитано с помощью квантовой механики).

К сожалению, используемый квантовой механикой математический аппарат довольно сложен и идеи квантовой механики могут быть изложены лишь словесно и поэтому недостаточно убедительно. С учетом этого замечания попытаемся дать хоть какое-то представление об этих идеях.

Основным понятием квантовой механики является понятие квантового состояния какого-то микрообъекта, или микросистемы (это может быть отдельная частица, атом, молекула, совокупность атомов и т.п.).

Квантовая модель атома отличается от планетарной в первую очередь тем, что в ней электрон не имеет точно определенной координаты и скорости, поэтому бессмысленно говорить о траектории его движения. Можно определить (и нарисовать) только границы области его преимущественного движения (орбитали).

Состояние какого-то микрообъекта, или микросистемы (это может быть отдельная частица, атом, молекула, совокупность атомов и т.п.) может быть охарактеризовано заданием квантовых чисел: значений энергии, импульса, момента импульса, проекции этого момента импульса на какую-то ось, заряда и т.п.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА для движения электрона в кулоновском поле ядра атома водорода используется для анализа квантовой модели атома. В результате решения этого уравнения получается волновая функция, которая зависит не только от координаты и времени t, но и от 4-х параметров, имеющих дискретный набор значений и называемых квантовыми числами. Они имеют названия: главное, азимутальное, магнитное и магнитное спиновое.

Главное квантовое число n может принимать целочисленные значения 1, 2, ... . Оно определяет величину энергии электрона в атоме

Где Е i - энергия ионизации атома водорода (13,6 эВ).

АЗИМУТАЛЬНОЕ (ОРБИТАЛЬНОЕ) квантовое число l определяет модуль момента импульса электрона при его орбитальном движении (24) где s – спиновое квантовое число, которое у каждой частицы имеет только одно значение. Например, для электрона s = (аналогично, для протона и нейтрона). Для фотона s = 1.