Уравнение касательной к графику функции урок. Теперь получим уравнение касательной к графику функции. Механический смысл производной
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока:
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
- Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Урок по теме "Касательная. Уравнение касательной"
Тип урока: изучение нового материала.
Методы обучения: наглядный, частично поисковый.
Цель урока:
- Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
- Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
- Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.
План урока
I Организационный момент.
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.
II Актуализация материала.
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.)
Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.
Примеры.
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику
y = cos x
, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида;
(π+2 πk; 1),
где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.
|
|
Постановка цели и задачи перед детьми на уроке:
выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.
III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций
2 ученик: вспомни правила дифференцирования
3 ученик: составьте уравнение прямой
y = kx + 4
, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)
4 ученик: составьте уравнение прямей
y = 3x + b
, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).
С остальными фронтальная работа.
- Сформулируйте определение производной.
- Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?
Отгадай фамилию учёного:
Ключ к ответам
Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам.
IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.
- Начнём с углового коэффициента
Рисунок 3
Рассмотрим график функции
y = f(x)
дифференцируемой в точке А
(x
0
, f(x
0
))
.
Выберем на нём точку
M
(x
0
+ Δх, f(x
0
+ Δх))
и проведем секущую
AM
.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)
Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT . Другими словами AT , обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x 0 , f(x 0 )).
Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Значение производной в точке х 0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0 .
Существование производной функции в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0 , f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f "(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .
Определение касательной
: Касательная к графику дифференцируемой в точке
х
0
функции
f
- это прямая, проходящая через точку
(x
0
, f(x
0
))
и имеющая угловой коэффициент
f "(х
0
)
.
Проведем касательные к графику функции
y = f(x)
в точках х
1
, х
2
, х
3
, и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)
Рисунок 4
Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого - отрицателен. Поэтому f "(х 1 )>0, f "(х 2 ) = 0, f "(х 3 )
- Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А(x 0 , f(x 0 ) ).
Общий вид уравнения прямой y = kx + b .
- Найдём угловой коэффициент k = f "(х 0 ), получим y = f "(х0)∙x + b, f(x) = f "(х 0 )∙x + b
- Найдём b . b = f(x 0 ) - f "(х 0 )∙x 0 .
- Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f "(х 0 )∙x + f(x 0 ) - f "(х 0 )∙x 0 или y = f(x 0 ) + f "(х 0 )(x - x 0 )
- Обобщение материала лекции.
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.
V Закрепление изученного материала.
1. Устная работа:
1) В
каких точках графика касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2) При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?
|
|
3) На рисунке изображён график функции f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f "(x) в точке x 0 .
Рисунок 7
2. Письменная работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)
3. Решение опорных задач.
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции
f(x) = x
3
– 3x – 1
в точке М с абсциссой –2.
Решение:
- Вычислим значение функции: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
- найдём производную функции: f "(х) = 3х 2 – 3;
- вычислим значение производной: f "(-2) = - 9.;
- подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.
Ответ: y = 9x + 15.
2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика
с ординатой y
0
= 1.
Решение:
Ответ: y = –x + 2 .
3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику
y = x
3
– 2x + 7
, параллельной прямой
у = х
.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой
y = x
. Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент
k
= 1,
y"(х) = 3х2 – 2.
Абсцисса х
0
точек касания удовлетворяет уравнению
3х
2
– 2 = 1
, откуда х
0
= ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных:
y = x + 5
и
y = x + 9
.
Ответ:
y = x + 5
,
y = x + 9
.
4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких
b
прямая
y = 0,5x + b
является касательной к графику функции
f(х) =
?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания:
f "(х) =
= 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.
5. Самостоятельная работа обучающего характера.
Работа в парах.
Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.
6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.
Углом пересечения графика функции
y = f(x)
и прямой
l
называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.
7. Самостоятельная работа контролирующего характера.
(работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.
2 вариант.
- В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 - 12х + 7 параллельна оси х?
- Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 - 4 в точке с абсциссой х 0 = - 2. Выполните рисунок.
- Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3 .
3 вариант.
VI Подведение итогов урока.
1. Ответы на вопросы
- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице.
Литература
1. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений. Составители:. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2008.
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2008.
3. Мультимедийный диск фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/
Слайд 2
Верно ли определение?
Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.
Слайд 3
Пусть дана и две прямые и, имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1).
Слайд 4
На данном уроке:
выясним, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной; рассмотрим основные задачи на составление уравнения касательной. Для этого: вспомним общий вид уравнения прямой условия параллельности прямых определение производной правила дифференцирования Формулы дифференцирования
Слайд 5
Определение производной
Пусть функция определена в некотором интервале, содержащем внутри себя точку. Дадим аргументу приращение такое, чтобы не выйти из этого интервала. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение.Если существует предел отношения при, то указанный предел называют производной функции в точке и обозначают.
Слайд 6
Правила дифференцирования
Производная суммы равна сумме производных. Постоянный множитель можно вынести за знак производной. Производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции. Производная частного
Слайд 7
Основные формулы дифференцирования
Слайд 8
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны
Параллельны ли прямые:
Слайд 9
Пусть дан график функции y=f(x). На нем выбрана точка M(a;f(a)), в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.
Слайд 10
Геометрический смысл производной
Если к графику функции y = f (x)в точке можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной
Слайд 11
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Т.е. Причем, если: .
Слайд 12
Вывод уравнения касательной
Пусть прямая задана уравнением: уравнение касательной к графику функции
Слайд 13
Составить уравнение касательной:
к графику функции в точке
Слайд 14
к графику функции в точке
Слайд 15
Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y=f(x).
Обозначим абсциссу точки касания буквой x=a. Вычислим. Найдем и. Подставим найденные числа a , в формулу
Слайд 16
Составить уравнение касательной к графику функции в точке.
Слайд 17
К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой.
Слайд 18
Слайд 19
Самостоятельная работа
Слайд 20
Номера из учебника
№ 29.3 (а,в) № 29.12 (б,г) № 29.18 № 29.23 (а)
Слайд 21
Ответьте на вопросы:
Что называется касательной к графику функции в точке? В чем заключается геометрический смысл производной? Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?
Слайд 22
Домашняя работа
№ 29.3 (б,г) № 29.12 (а,в) № 29.19 № 29.23 (б)
Слайд 23
Литература
Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010 ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010
Посмотреть все слайды
Разделы: Математика
Класс: 10
Цель урока. Обобщение, систематизация и углубление знаний по теме “Геометрический смысл производной.”.
Задачи урока.
- Развивать умения применять теоретические знания при решении заданий различной сложности.
- Подготовка к ЕГЭ
- Развивать умение распределять время урока, оценивать свою учебную деятельность.
Оборудование: Интерактивная доска, презентация, чертежные инструменты, мел, учебники, тетради. У каждого на столе кроссворд.
Тип урока. Урок систематизации и углубления знаний по теме.(подготовка к ЕГЭ.).
Ход урока
1. Повторение теоретического материала. Решение кроссворда (Слайд - 3)
2. Повторить алгоритм составления уравнения касательной . (Слайд - 6.7)
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0 , надо найти
2) у"(x0) =f"(x 0)
3) у(x0) =f(x 0)
4) Подставим найденные числа, в формулу
3. Решение примеров. Взаимопроверка. Самопроверка. Составить уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x 0.
а) , х 0 =1 (Слайд - 7,8)
б) у=-х 2 +4, х 0 =-1 (Слайд - 9,10)
в)у=х 3 , х 0 =1 (Слайд - 12-15)
г) х 0 =4 (Слайд - 16,17)
д) у = tgx в точке x 0 =0 (Слайд - 20-22)
4. Решение сложных задач.
Второй тип уравнения касательной. (Слайд - 23)
- Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x0), если касательная параллельна прямой y= kx+b.
Алгоритм нахождения.
1. Найдем производную функции.
2. Так как угловой коэффициент касательной к графику функции y= f(x0) равен значению производной функции, т.е. k=f " (x0), то абсциссу точки касания найдем, решив уравнение f "(х0) = k.
3. Найдем значение функции в точке x0 .
4. Подставив найденные значения в формулу получим уравнение касательной.
Третий тип уравнения касательной. (Слайд - 27)
Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).
Алгоитм решения.
- Написать уравнение касательной к графику функции у=f(x), если известно, что эта касательная проходит через точку A(x 0 ,y 0).
У=(х-2) 2 -1 ; А(3;-1) (Слайд - 28-30)
Четвертый тип уравнения касательной. (Слайд - 31)
- Составить уравнение общей касательной к графикам функций y= f(X) и y = g (x).
Алгоритм решения.
- Введем предполагаемые точки касания х1 - для функции y= f(x) и х2 - для функции y= g(x).
- Найдем производные данных функций.
- Найдем значения производных в этих точках f "(х1) и g " (х2).
- Найдем значения функций в этих точках y = f(х1) и y = g(х2).
- Составим уравнения касательных соответственно для каждой функции.
- Выпишем угловые коэффициенты k1, k2 и b1, b2.
Так как касательная общая, то угловые коэффициенты равны и равны значения b. k1 = k2 и b1= b2 - Составим систему уравнений и решив ее, найдем значения х1 и х2
- Найденные значения подставим в общие уравнения касательных.
- Уравнения получились одинаковые. Получили уравнение общей касательной к графикам
- Составить уравнение общей касательной к
графикам функций y=f(x) и y= g(x).
У-(х-+2) 2 - 3 и у=х 2 (Слайд - 32-36)
Решение заданий в формате ЕГЭ (Слайд - 37-40)
Уроки 70-71. Уравнение касательной к графику функции
09.07.2015 5132 0Цель: получить уравнение касательной к графику функции.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (тест).
Вариант 1
1. Найдите производную функции у = 3х4 – 2 cos x .
Ответ:
в точке х = π.
Ответ:
3. Решите уравнение y ’(x ) = 0, если
Ответ:
Вариант 2
1. Найдите производную функции у = 5хб + 3 sin x .
Ответ:
2. Вычислите значение производной функции в точке х = π.
Ответ:
3. Решите уравнение y ’(х) = 0, если
Ответ:
III. Изучение нового материала
Наконец перейдем к заключительному этапу изучения производной и рассмотрим на оставшихся занятиях применение производной. На этом занятии обсудим касательную к графику функции.
Понятие касательной уже рассматривалось ранее. Было показано, что график дифференцируемой в точке а функции f (х) вблизи а практически не отличается от графика касательной, а значит, он близок к секущей, проходящей через точки (а; f (а)) и (а + Δх; f (а + Δх)). Любая из таких секущих проходит через точку М(а; f (а)). Чтобы написать уравнение касательной, надо задать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей Δ f /Δ x при Δх → 0 стремится к числу f "(а), которое является угловым коэффициентом касательной. Поэтому говорят, что касательная есть предельное положение секущей при Δх → 0.
Теперь получим уравнение касательной к графику функции f (х). Так как касательная является прямой и ее угловой коэффициент f "(а), то можно записать ее уравнение у = f "(a ) · x + b . Найдем коэффициент b из условия, что касательная проходит через точку М(а; f (а)). Подставим координаты этой точки в уравнение касательной и получим: f (а) = f "(a ) · a + b , откуда b = f (а) - f "(а) · а. Теперь подставим найденное значение b в уравнение касательной и получим: или Это и есть уравнение касательной. Обсудим применение уравнения касательной.
Пример 1
Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?
Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f (x ) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°.
Пример 2
Напишем уравнение касательной графику функции f (х) = -х2 + 4х в точке a = 1.
f "(х) и самой функции f (x ) в точке a = 1 и получим: f "(a ) = f "(1) = -2 · 1 + 4 = 2 и f (a ) = f (1) = -12 + 4 · 1 = 3. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: у = 2(х - 1) + 3 или у = 2х + 1.
Для наглядности на рисунке приведены график функции f (x ) и касательная к этой функции. Касание происходит в точке M (1; 3).
На основе примеров 1 и 2 можно сформулировать алгоритм получения уравнения касательной к графику функции у = f (x ):
1) обозначить абсциссу точки касания буквой а;
2) вычислить f (а);
3) найти f "(x ) и вычислить f "(a );
4) подставить найденные числа a , f (a ), f "(a ) в формулу y = f ’(a )(x - a ) + f (a ).
Заметим, что изначально точка а может быть неизвестна и ее приходится искать из условий задачи. Тогда в алгоритме в п. 2 и 3 слово «вычислить» надо заменить словом «записать» (что иллюстрирует пример 3).
В примере 2 абсцисса а точки касания была задана напрямую. Во многих случаях точка касания определяется различными дополнительными условиями.
Пример 3
Напишем уравнения касательных, проведенных из точки A (0; 4) к графику функции f (x ) = - x 2 + 2х.
Легко проверить, что точка А не лежит на параболе. Вместе с тем неизвестны точки касания параболы и касательных, поэтому для нахождения этих точек будет использовано дополнительное условие - прохождение касательных через точку А.
Предположим, что касание происходит в точке а. Найдем производную функции: Вычислим значения производной f "(x ) и самой функции f (х) в точке касания а и получим: f ’(а) = -2а + 2 и f (a ) = -а2 + 2а. Подставим эти величины в уравнение касательной. Имеем: или Это уравнение касательной.
Запишем условие прохождения касательной через точку А, подставив координаты этой точки. Получим: 4 или 4 = а2, откуда а = ±2. Таким образом, касание происходит в двух точках В(-2; -8) и С(2; 0). Поэтому таких касательных будет две. Найдем их уравнения. Подставим значения а = ±2 в уравнение касательной. Получим: при a = 2 или ух = -2х + 4; при a = -2 или у2 = 6х + 4. Итак, уравнения касательных у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4.
Пример 4
Найдем угол между касательными, используя условия предыдущей задачи.
Проведенные касательные у1 = -2х + 4 и у2 = 6х + 4 составляют с положительным направлением оси абсцисс углы а1 и а2 (причем tg a 1 = -2 и tg a 2 = 6) и между собой угол φ = a 1 - а2. Найдем, используя известную формулу, откуда φ = arctg 8/11.
Пример 5
Напишем уравнение касательной к графику функции параллельной прямой у = -х + 2.
Две прямые параллельны друг другу, если они имеют равные угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, угловой коэффициент искомой касательной равен f ’(a ), где a - абсцисса точки касания. Поэтому для определения а имеем дополнительное условие f ’(a ) = -1.
Используя формулу для производной частного функций, найдем производную: Найдем значение производной в точке a и получим:
Получим уравнение или (а - 2)2 = 4, или а - 2 = ±2, откуда а = 4 и а = 0. Таким образом, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи. Подставим значения а = 4 и а = 0 в уравнение касательной у = f ’(a )(x - а) + f (а). При а = 4 имеем: и касательная у1 = -(х - 4) + 3 или у1 = -х + 7. При а = 0 получим: и касательная у2 = -(х - 0) – 1 или у2 = -х - 1. Итак, уравнения касательных у1 = -х + 7 и у2 = -х - 1.
Заметим, что если f "(a ) не существует, то касательная или не существует (как у функции f (х) = |х| в точке (0; 0) - рис. а, или вертикальна (как у функции в точке (0; 0) - рис. б.
Итак, существование производной функции f (х) в точке а эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (а; f (а)) графика. При этом угловой коэффициент касательной равен f "(а). В этом заключается геометрический смысл производной.
Понятие производной позволяет проводить приближенные вычисления. Уже неоднократно отмечалось, что при Δх → 0 значения функции f (x ) и касательной к ней у(х) практически совпадают. Поэтому при Δх → 0 поведение функции f (х) в окрестности точки х0 приближенно можно описать формулой (фактически уравнение касательной). Эта формула с успехом используется для приближенных вычислений.
Пример 6
Вычислим значение функции в точке х = 2,03.
Найдем производную данной функции: f "(х) = 12х2 - 4х + 3. Будем считать, что х = а + Δх, где а = 2 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: и Теперь определим значение функции в заданной точке х = 2,03. Имеем:
Разумеется, приведенную формулу удобно использовать, если значения f (а) и f "(a ) легко вычислить.
Пример 7
Вычислим
Рассмотрим функцию Найдем производную: Будем считать, что х = а + Δх, где а = 8 и Δх = 0,03. Вычислим значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь определим значение функции в заданной точке х = 8,03. Имеем:
Пример 8
Обобщим полученный результат. Рассмотрим степенную функцию f (х) = х n и будем считать, что х = а + Δх и Δх → 0. Найдем f "(х) = n х n -1 и вычислим значения функции и ее производной в точке а, получим: f (a ) = an и f ’(a ) = nan -1 . Теперь имеем формулу f (х) = а n + nan -1 Δх. Применим ее для вычисления числа 0,98-20. Будем считать, что a = 1, Δх = -0,02 и n = -20. Тогда получим:
Разумеется, приведенную формулу можно использовать и для любых других функций, в частности тригонометрических.
Пример 9
Вычислим tg 48°.
Рассмотрим функцию f (x ) = tg x и найдем производную: Будем считать, что х = a + Δ х, где a = 45° = π/4 и (еще раз обратим внимание на то, что в тригонометрии углы обычно измеряют в радианах). Найдем значения функции и ее производной в точке а и получим: Теперь вычислим (учтено, что π = 3,14).
IV. Контрольные вопросы
1. Уравнение касательной к графику функции.
2. Алгоритм выведения уравнения касательной.
3. Геометрический смысл производной.
4. Применение уравнения касательной для приближенных вычислений.
V. Задание на уроках
§ 29, № 1 (а); 2 (б); 5 (а, б); 6 (в, г); 9 (а); 10 (б); 12 (г); 14 (а); 17; 21 (а); 22 (а, в); 24 (а, б); 25 (а); 26.
VI. Задание на дом
§ 29, № 1 (б); 2 (в); 5 (в, г); 6 (а, б); 9 (б); 10 (а); 12 (б); 14 (б); 18; 21 (в); 22 (б, г); 24 (в, г); 25 (б); 27.
VII. Творческие задания
1. В каких точках х касательные к графикам функций параллельны?
Ответ: х = -1, х = 3.
2. При каких х касательные к графикам функций у = 3 cos 5 x - 7 и у = 5 cos 3 x + 4 параллельны?
Ответ:
3. Под какими углами пересекаются кривые у = х2 и
Ответ: π/2 и arctg 3/5.
4. Под какими углами пересекаются кривые у = cos x и у = sin х?
Ответ:
5. К параболе у = 4 - х2 в точке с абсциссой х = 1 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью ординат.
Ответ: (0; 5).
6. К параболе у = 4х - х2 в точке с абсциссой х = 3 проведена касательная. Найдите точку пересечения этой касательной с осью абсцисс.
Ответ: (9/2; 0).
7. Найдите угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; -2) к параболе у = х2.
Ответ:
8. К графику функции у = 3х2 + 3х + 2 проведены касательные с угловыми коэффициентами k 1 = 0 и k 2 = 15. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки касания.
Ответ: у = 12х - 4.
9. Найдите уравнения прямых, касающихся одновременно парабол у = х2 + х - 2 и у = -х2 + 7х - 11.
Ответ: у = 7х - 11 и у = х - 2.
10. Напишите уравнение общей касательной к параболам у = -3х2 + 4х + 4 и у = -3х2 + 16х - 20.
Ответ: у = -2х + 7.
11. Касательная к графику функции у = х2 - 4х - 3 проведена в точке х = 0. Найдите площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.
Ответ: 9/8.
12. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции в точке х = 2.
Ответ: 1.
VIII. Подведение итогов уроков
Разделы: Математика
Цели.
- Обобщить и систематизировать правила дифференциирования;
- Повторить алгоритм построение касательной к графику функции, схему исследования функции;
- Решение задач на применение наибольшего и наименьшего значения функции.
Оборудование. Плакат “Производная. Правила вычисления производных. Применения производной”.
Ход урока
По картам у учащихся повторение теоретического материала.
1. Дайте определение производной функции в точке. Что называется дифференциированием? Какую функцию называют дифференциируемой в точке?
(Производной функции f в точке х называется число, к которому стремится отношение
Функцию, имеющую производную в точке х 0 , называют дифференциируемой в этой точке. Нахождение производной f называется дифференциированием.)
2. Сформулируйте правила нахождения производной.
(1. Производная суммы (u + v)"=u"+v";
2. О постоянном множителе (Cu)"=Cu";
3. Производная произведения (uv)"=u"v+uv";
4. Производная дроби (u/v)"=(u"v-uv")/v 2 ;
5. Производная степенной функции (x n)"=nx n+1 .)
3. Чему равны производные следующих функций:
4. Как найти производную сложной функции?
(Надо последовательно представить ее в виде элементарных функций и взять производную по известным правилам).
5. Чему равны производные следующих функций:
6. В чем заключается геометрический смысл производной?
(Существование производной в точке эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х 0 ,f(x 0)) графика функции, причем угловой коэффициент этой касательной равен f "(x 0)).
7. Какой вид имеет уравнение касательной к графику функции в точке (x 0 ,f(x 0))?
(Уравнение касательной имеет вид у=f(x 0)+f"(x 0)(x-х 0))
8. Сформулируете алгоритм построения графика функции с помощью производной.
(1. Найти ООФ.
2. Исследовать на четность.
3. Исследовать на периодичность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат.
5. Найти производную функции и ее критические точки.
6. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции.
7. Построить таблицу по результатам исследования.
8. Построить график функции.)
9. Сформулировать теоремы, с помощью которых модно построить график функции.
(1. Признак возрастания (убывания).
2. Необходимый признак экстремума.
3. Признак максимума (минимума).)
10. Какие формулы существуют для приближенных вычислений функций?
Индивидуальная работа.
Уровень А (три варианта), уровень Б (один вариант).
Уровень А.
Вариант 1.
1. Запишите уравнение касательной к графику функции
f(x)=(x -1) 2 (x -3) 3 параллельной прямой у=5-24х.
2. Число 18 педставьте в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы одно слагаемое было в два раза больше другого, а произведение всех трех слагаемых было наибольшим.
4. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=(x-1) e х+1 .
Вариант 2.
1. Под каким углом к оси абсцисс наклонена касательная к графику функции f(x)=0,x 2 +x-1,5 в точке с абсциссой х 0 = - 2? Напишите уравнение этой касательной и выполните рисунок к этой задаче.
2. Как в В. 1.
3. Найдите производную функции:
Уровень Б.
1. Найдите производную функции:
а) f(x) = e -5х;
б) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).
2. Напишите уравение касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 , если f(x)=e -х, х 0 = 1.
3. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x)=x·e 2х.
Итог урока.
Проверяется работа, выставляется отметка за теорию и практику.
Домашнее задание дается индивидуально:
а)повторить производные тригонометрических функций;
б)метод интервалов;
в)механический смысл производной.
2. А: №138, №142, Б: №137(а,б), №140(а).
3. Возмите производную функций:
а) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
б) f(x)=4x 3 -6x;
в) f(x)=-2sin(2x-4);
г) f(x)=cos(2x-4).
4. Назовите схему исследования функции.