Схемы для уравнения теплопроводности, начально-периодическая задача

Задача:  
Явная схема:

Доказать, что локальная ошибка аппроксимации .

Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:  или

Очевидно, что при  норма  и
,
т.е. схема условно устойчива в равномерной норме .

Доказать, что матрица A симметрична и положительно полуопределена.

Док-во. Симметричность матрицы очевидна, т.к.
.

Её собственные значения вещественны и по лемме Гершгорина лежат в кругах с центрами в  радиуса 2, т.е.  и, следовательно,
.

Доказать устойчивость схемы при  в норме .
Док-во. Так как , то

где .
Следовательно,  при .

Неявная схема:
 
Доказать, что локальная ошибка аппроксимации .

Доказать устойчивость схемы в норме .
Док-во. Матричная запись: () или

Очевидно, что матрица  имеет положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы, строгое диагональное преобладание по строкам (с ) и, следовательно, норма  и
.

Доказать устойчивость схемы в норме .
Док-во. Так как , то

, что и требовалось доказать.

Явно-неявная схема:
 
Доказать, что локальная ошибка аппроксимации .

Доказать устойчивость схемы при  в норме .

Док-во. Матричная запись: .
Так как , то матрица  имеет положительны диагональные, неположительные внедиагональные элементы и строгое диагональной преобладание по строкам  (с ) и, следовательно, норма .   Легко вычислить  при . Тогда

.

Доказать устойчивость схемы в норме .
Док-во. Так как ,
,
то

.