Аппроксимация производных и уравнений

Формула Тейлора функции одной переменной:

где остаточный член  может быть записан
в форме Лагранжа:

в интегральной форме:

Сетка на отрезке [a, b]:        
 -   i-й узел сетки,    - i-й шаг сетки.

Метод неопределенных коэффициентов
построения аппроксимации производной на примере аппроксимации  на трех точечном шаблоне :

Решим систему:
Тогда 

Определение порядка аппроксимации

Производной разностным отношением с помощью разложений в ряд Тейлора на примере:

Ошибка аппроксимации:


Аппроксимации первой производной
Разность назад:        
Разность вперед:      
Центральная разность ():         
Трех точечная аппроксимация  ():

Вторая производная ():

Полу сумма:

Метод неопределенных коэффициентов

построения аппроксимации дифференциальных уравнений на примере аппроксимации уравнения  на трех точечном шаблоне :
Левая часть уравнения заменятся линейной комбинацией значений его решения в узлах шаблона:

(отдельные части дифференциального выражения могут заменяться отдельными линейными комбинациями).
Правая часть уравнения (известная функция) заменяется любым функционалом от нее: значением в одном из узлов шаблона, средним интегральным значением на интервале  и т.п.; мы заменим ее линейной комбинацией:

На коэффициенты этой комбинации обычно накладывается условие нормировки

чтобы  при.
Неопределенные коэффициенты  подбираются так, чтобы ошибка аппроксимации уравнения

была как можно меньше. Для этого сначала значения функции  заменяют значениями левой части уравнения:

Затем значения неизвестной (а значит произвольной) функции , ее производных (и значения коэффициентов уравнения) в узлах шаблона заменяют Тейлоровскими разложениями в выбранной точке (обычно выбирают одну из точек шаблона):


Здесь мы воспользовались условием нормировки.

Для того чтобы обнулить коэффициенты перед значениями функции и ее производных, нужно найти решение системы:

Тогда , если функция , а аппроксимацию уравнения принято записывать в виде
.