1. Одной из актуальных проблем современной методики преподавания в школе является развитие мотивации обучающихся. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо. В сложившейся ситуации на помощь учителю приходят игровые технологии – современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игровые формы обучения на уроках математики дают возможность эффективной организации взаимодействия педагога и обучающихся. Даже самые пассивные учащиеся включаются в игру. Игровая деятельность мотивирует на обучение, в ходе игры каждый обучающийся получает возможность думать самостоятельно, развивать творческое мышление и решать разнообразные проблемы (то есть применять полученные знания в конкретной жизненной ситуации).

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева г. Орла

Методическая разработка урока

Алгебра и начала анализа

11 класс

Учебник: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.:ил. (базовый)

Учитель математики: Морева Оксана Владимировна

Аннотация работы: Одной из актуальных проблем современной методики преподавания в школе является развитие мотивации обучающихся. Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлечённо. В сложившейся ситуации на помощь учителю приходят игровые технологии – современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве. Игровые формы обучения на уроках математики дают возможность эффективной организации взаимодействия педагога и обучающихся. Даже самые пассивные учащиеся включаются в игру. Игровая деятельность мотивирует на обучение, в ходе игры каждый обучающийся получает возможность думать самостоятельно, развивать творческое мышление и решать разнообразные проблемы (то есть применять полученные знания в конкретной жизненной ситуации).

Технологическая карта урока

	ФИО (полностью)		Морева Оксана Владимировна
	Место работы		МБОУ – СОШ № 24 с углублённым изучением отдельных предметов гуманитарного профиля им. И.С.Тургенева г. Орла
	Должность		Учитель
	Предмет		Алгебра и начала анализа
	Класс		11 класс
	Тема и номер урока в теме		Обобщение понятия о показателе степени (2 – ой урок)
	Базовый учебник		Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: Учеб. Для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2013. – 336с.: ил. (базовый)
	Цель урока		Выработать умение выполнять преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем
	Задачи	обучающие	Актуализация опорных знаний о степени с дробным показателем Отработка навыков преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем
		развивающие	Развитие: Операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений; Памяти и внимания; Умения применять полученные знания при решении задач.
		воспитательные	Формирование навыков групповой работы; Воспитание у обучающихся самостоятельности и ответственности за себя и других членов коллектива; Воспитание умения критически и объективно оценивать свою работу и работу товарища.
	Тип урока		Урок - деловая игра «Покорение вершины»
	Формы работы учащихся		Фронтальная, индивидуальная, групповая
	Необходимое техническое оборудование		Мультимедийный проектор и экран; Акустические колонки; Компьютеры.

План урока

1. Организационный момент (2-3 мин.)
2. Актуализация опорных знаний (5 мин.)
3. «Покорение вершин» (30 мин.)

• Первая высота (самопроверка)
• Вторая высота (групповая работа)
• Третья высота (индивидуальная дифференцированная работа).

1. Подведение итогов (4 - 5 мин.)
2. Домашнее задание (2 – 3 мин.)
3. Рефлексия достижения цели (1 мин.)

Ход урока:

1. Организационный момент

Урок начинается с прослушивания отрывка из песни В.В.Высоцкого «Лучше гор могут быть только горы» (слайд 2).

Учитель: У каждого в жизни есть вершины, которые они стремятся покорить. Кто – то хочет стать врачом, кто – то спортсменом, а кто – то может хочет стать альпинистом. Ведь высота всегда манила людей. Вспомните Икара, ведь его мечтой было полететь к Солнцу. И он осуществил свою мечту. Сущность человека состоит в том, чтобы всегда добиваться намеченной цели. Эпиграфом к нашему уроку подходят слова из прослушанной вами песни.

Как вечным огнем сверкает днем
Вершина изумрудным льдом,
Которую ты так и не покорил.

В.В.Высоцкий

Сегодня на уроке я приглашаю вас в экспедицию на покорение горных вершин. Вам предстоит перевоплотиться в спортсменов-альпинистов, покоряющих вершину знаний под названием «Степень с дробным показателем» (слайд 3).

Деятельность обучающихся: Обучающиеся записывают тему урока в рабочую тетрадь.

1. Актуализация опорных знаний

Учитель: Перед каждым из вас лежит карточка – счётчик, в которую вы будете заносить свои успехи в покорении горных вершин (приложение 1) . Впишите в верхнюю строку свои фамилию и имя. В этой карточке вы будете фиксировать прохождение каждой высоты в баллах. В конце урока вы самостоятельно подсчитаете набранные за урок баллы и выясните: удалось ли вам покорить “горную высоту» или нет.

Проверка снаряжения: “Что возьмем с собой в дорогу?” (слайд4).

Учитель: Как известно, экспедиции всегда предшествует тщательная подготовка, поэтому в начале, я предлагаю вам проверить свою готовность к покорению горной вершины.

1) Продолжите фразу: Если - обыкновенная дробь(q ≠1) и a ≥ 0, то под a p/q понимают…

2) Вычислите устно: 16 ¼ , 27 1/3 , 81 ¼ , 8 -1/3 , (-144) ½ (Задания можно заранее записать на доске или оформить в виде карточек)

3) Продолжите следующие свойства (Задания можно заранее записать на доске)

a s ∙ a t = …

a s : a t = …

(a s ) t = …

(ab) s = …

() s = …

4) Вычислите устно: (Задание можно заранее записать на доске)

Учитель: Итак, снаряжение собрано. Мы отправляемся в горы на покорение горных вершин.

1. Покорение вершин

Первая высота “Снежная лавина” (Самопроверка)

Учитель: Любые горы насколько прекрасны, настолько и опасны. В горах альпинистов поджидает множество опасностей. Первое, с чем нам придётся столкнуться в горах – это снежная лавина (слайд 5). Чтобы выбраться из – под снежного завала, необходимо выполнить следующее задание.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся получает задание на два варианта и самостоятельно выполняют его в рабочих тетрадях. (Каждый ученик получает своё задание на карточке). Два ученика работают с обратной стороны доски. На выполнение задания отводится 5 – 7 минут.

Вариант 1

Вариант 2

1. Вычислите: 27 1/3 -25 -1/2 +16 3/4 -27 4/3
2. Упростите выражение: а) (125х -6 ) -2/3 ; б) (a∙a -1/3 ) 1/6 ∙a 8/9

По окончании работы обучающиеся, работавшие у доски, отворачивают доску. Их работу проверяет учитель. Обучающиеся, работавшие в тетрадях, осуществляют самопроверку. То есть каждый ученик самостоятельно проверяет правильность выполнения своего задания, опираясь на решение на доске. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла. Набранные баллы за прохождение «Снежной лавины» записываются в карточку-счетчик.

Физкультминутка.

Учитель: Покорение горных вершин дело очень трудное. Все мы очень устали освобождаясь из – под снежного завала. Предлагаю сделать привал.

Упражнение «А ну, попробуй!»:

Учитель предлагает учащимся вытянуть вперед руку раскрытой ладонью вверх. Прижмите к ладони большой палец. Остальные пальцы должны быть развернуты. А теперь прижмите мизинец. Получилось? Не тут-то было!

Вторая высота “Ледовая трещина” (работа в группах)

Учитель: Пока мы отдыхали, на нашем пути образовалась ледовая трещина (слайд 6). Знаете ли вы как альпинисты поступают в такой ситуации?

Примерные ответы обучающихся: Альпинисты помогают друг другу… Чтобы поднять альпиниста из трещины они бросают ему верёвку… Работают в связке…. Одному выбраться очень трудно, нужна помощь друга…….

Учитель: Из ваших ответов следует, чтобы выбраться из ледовой трещины, нужно работать в команде. Вот и мы с вами следующее задание будем выполнять в группах.

Деятельность обучающихся: Класс делится на группы по 4 – 5 человек. Каждая группа получает карточку с заданиями, в решении которых допущены ошибки. Обучающиеся должны их найти и исправить. На выполнение задания отводится 5 – 7 минут.

Карточка 1

Найдите ошибки

1. (121 1/2 +128 5/7 -81 5/4 )∙125 -1/3 = (11+32-81∙3)∙(-5) = -200∙(-5) = 1000
2. p-q = (p 2/3 -q 2/3 )(p 2/3 +2p 1/3 q 1/3 + q 2/3 )

Карточка 2

Найдите ошибки

Карточка 3

Найдите ошибки

1. (x 1/4 +1) (x 1/4 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/4 -1) 2 (x 1/2 -1) = (x 1/2 -1)(x 1/2 -1) = (x 1/2 -1) 2
2. (-625) -1/4 = 625 1/4 = 5

Карточка 4

Найдите ошибки

По окончании работы, обучающие сообщают учителю найденные и исправленные ими ошибки. Учитель проверяет правильность выполнения задания. За каждую исправленную ошибку начисляется 2 балла каждому члену группы. Набранные баллы за прохождение «Ледовой трещины» записываются в карточку-счетчик.

Третья высота “Камнепад” (индивидуальная дифференцированная работа).

Учитель: Не успели мы выбраться из ледовой трещины, как на нас обрушился камнепад (слайд 7). Нужно расчистить завал. Все камни разные: большие и маленькие. Кто – то будет носить маленькие камни, а кто – то большие. Каждый выберет себе задание по силам.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся получают на выбор дифференцированные задания различного уровня сложности.

Те, кто выбрали «большие камни», получают задания повышенного уровня на индивидуальных карточках. По результатам выполнения этого задания они смогут заработать до 8 баллов. Каждое верно выполненное задание оценивается в 2 балла.

Вариант 1

Сократите дробь:

а) ; b) ; c) ; d)

Вариант 2

Сократите дробь:

По окончании работы, учитель проверяет правильность выполнения задания.

А те, кто выбрал «маленькие камни», выполняют задания базового уровня в виде теста (см. интерактивный тест на диске или в приложении 2 ). По результатам выполнения этого задания они могут заработать до 5 баллов.

Набранные баллы за прохождение «Камнепада» записываются в карточку-счетчик.

1. Подведение итогов игры:

Учитель: Дорогие «альпинисты»! Давайте подсчитаем баллы, набранные вами по результатам трёх испытаний.

Деятельность обучающихся: Обучающиеся подсчитывают набранные ими баллы и записывают из в графе «Общий результат».

Учитель: Давайте подведём итоги (слайд 8). Если вы набрали 18-20 баллов, то вы покорили самую высокую вершину – молодцы (отметка отлично) ! Если вы набрали 15 – 17 баллов – покорили вторую высоту, хорошо (отметка хорошо) . Если 11 - 14 баллов –вы пока одолели только первую высоту, это тоже неплохо (отметка удовлетворительно) . Если вы набрали менее 11 баллов, то вы остались у подножия вершины. Но не огорчайтесь! Вам еще раз нужно пройти подготовку и повторить восхождение, ваша вершина у вас еще впереди!

Деятельность обучающихся: Обучающиеся согласно рейтингу выставляют себе отметку за урок в графе «Отметка» и сдают свою карточку – счётчик учителю.

Учитель (по своему усмотрению) переносит эти отметки в журнал.

1. Домашнее задание: § 37; № 37.28; № 37.30аг; № 37.39*б

№ 37.28. Сократите дробь: а) ; б) ; в) ; г) .

№ 37.30аг. Упростите выражение: а) (1 + ) 2 - 2 ; г) + - ( + ) 2

№ 37.39*б. Упростите выражение: б) ( + )

1. Рефлексия достижения цели:

Учитель: А теперь я попрошу вас продолжить одну или несколько фраз (слайд 9)

• было интересно…
• было трудно…
• я выполнял задания…
• у меня получилось …
• урок дал мне для жизни…

Деятельность обучающихся: Обучающиеся по желанию продолжают одну или несколько фраз.

Учитель: Наш урок начался с песни, а закончить его я хочу стихами (слайд 10) . Читает стихотворение.

Почетно стремление сердца к вершине,

Приятно на землю смотреть свысока.

Взошел... Ты герой, победитель отныне

И, кажется, мир поднебесный в руках.

Вершина – пустыня, лишь мудрые камни

Спокойно взирают сияние звёзд…

Для них ты никто, заблудившийся странник,

Иллюзии пленник, сомнительных грёз…

Вершина дает ощущенье полета,

Свободу от вечной мирской суеты,

Открыты к иному познанью ворота…

Волнительна зрелость ее чистоты…

Приложение к плану-конспекту урока «Обобщение понятия о показателе степени»

Приложение 1.

Карточка – счётчик __________________________ (Фамилия, имя)

Приложение 2.

Тест

Выберите один из предложенных ответов.

1. Упростите выражение: (1 – с 1/2 )(1 + с 1/2 )

• (1 – с 1/2 ) 2
• 1 – с
• 1 – 2с 1/2 + с

1. Упростите выражение: (1 – а 1/2 ) 2

• 1 – а + а 2

• – 2а + а 2

• 1 – 2а 1/2 + а

1. Разложите на множители: в 3/4 – в 1/2

• в 3/4 (1 – в)
• в 1/2 (в 1/4 – 1)
• в 1/2 (в 1/2 – 1)
• разложить нельзя

1. Разложите на множители: а – в

• ав (а 1/2 – в 1/2 )
• (а – в 1/2 )(а + в 1/2 )
• разложить нельзя
• (а 1/2 – в 1/2 ) (а 1/2 +в 1/2 )

Оценивание теста: 1 правильный ответ – 2 балла; 2 правильных ответа – 3 балла; 3 правильных ответа – 4 балла; 4 правильных ответа – 5 баллов.

Урок и презентация на тему: "Обобщение понятий о показателях степени"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"

Ребята, на этом уроке мы займемся обобщением знаний о показателях степеней. Мы умеем вычислять степени с любым целочисленным показателем. Как быть, если показатель степени - не целое число? И какая связь между корнями и степенными функциями не целого показателя?

Давайте немного повторим, рассмотрим число вида $a^n$.
1. Если $n=0$, то $a^n=a^0=1$.
2. Если $n=1$, то $a^n=a^1=a$.
3. Если $n=2,3,4,5$… то $a^n=a*a*a…*a$ (n множителей).
4. Если $n=1,2,3,4,5$… и $а≠0$, то $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
Указанные выше правила можно также использовать как памятку!

Во всех представленных выше правилах, показатель степени - целое число. Как быть в случае дробного показателя степени?
Что представляет из себя число $2^{\frac{2}{3}}$ и как с ним работать? При работе с такими степенями нужно, чтобы все свойства для целочисленных степеней сохранялись. Например, при возведении степени в степень – показатели перемножались.

Например: ${(2^{\frac{2}{3}})}^3=2^{\frac{2}{3}*3}=2^2$.
Давайте введем вот такую замену символов: $a=2^{\frac{2}{3}}$.
Тогда: $a^3=2^2$.
Получаем: $a=\sqrt{2^2}$.
То есть мы можем представить исходное выражение в таком виде: $2^{\frac{2}{3}}=\sqrt{2^2}$.

Определение. Пусть нам дана обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$, $b≠1$ и $х≥0$, тогда $x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}$.

Например: $3^{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}$,
$5^{\frac{2}{5}}=\sqrt{5^2}$.

Давайте умножим два числа с одинаковыми основаниями, но разными степенями:
$a^{\frac{2}{3}}*a^{\frac{1}{4}}=\sqrt{a^2}*\sqrt{a}=\sqrt{a^8}*\sqrt{a^3}=\sqrt{a^{11}}=a^{\frac{11}{12}}$.
Но заметим так же: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8+3}{12}=\frac{11}{12}$.
То есть: $a^{\frac{2}{3}}*a^{\frac{1}{4}}=a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}=a^{\frac{11}{12}}$.
Складывать дроби гораздо проще, чем работать с радикалами (нужно привести показатели к одинаковому виду и потом только перемножать). Поэтому принято переходить к степенным функциям с дробным показателем.

Пример.
Вычислить:
а) ${(27)}^{\frac{1}{3}}$.
б) ${(32)}^{\frac{3}{5}}$.
в) $0^{\frac{5}{7}}$.
г) ${(-32)}^{\frac{1}{5}}$.
Решение.
а) ${(27)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt{27}=3$.

Б) ${(32)}^{\frac{3}{5}}=\sqrt{{32}^3}={(\sqrt{32})}^3=2^3=8$.

В) $0^{\frac{5}{7}}=\sqrt{0^5}={(\sqrt{0})}^5=0^5=0$.

Г) Извлекать корень с дробным показателем мы можем только из положительного числа, ребята посмотрите на наше определение. Наше выражение не имеет смысла.
Кажется ${(-32)}^{\frac{1}{5}}=\sqrt{-32}=-2$ - верная запись, но давайте внимательно посмотрим на наше выражение: ${(-32)}^{\frac{1}{5}}$=${(-32)}^{\frac{2}{10}}$=$\sqrt{{(-32)}^2}$=$\sqrt{1024}=2$.
Получили противоречивое выражение, хотя все операции выполнены верно, согласно свойствам и определениям. Поэтому математики запретили возводить в дробную степень отрицательные числа.

Ребята, запомните: в дробную степень мы можем возводить только положительные числа!

Определение. Пусть дана обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$, $b≠1$ и $х>0$, тогда $x^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{x^{\frac{p}{q}}}$.

Например: $2^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$3^{-\frac{3}{5}}=\frac{1}{3^{\frac{3}{5}}}=\frac{1}{\sqrt{3^3}}=\frac{1}{\sqrt{27}}$.

Все свойства с которыми мы сталкивались при работе со степенными числами сохраняются и в случае рациональных степеней, давайте повторим свойства.

Пусть нам даны положительные числа $a>0$ и $b>0$, x и y – произвольные рациональные числа, тогда выполняются следующие 5 свойств:
1. $a^x*a^y=a^{x+y}$.
2. $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$.
3. ${(a^x}^y=a^{x*y}$.
4. $(a*b)^x=a^x*a^y$.
5. ${(\frac{a}{b})}^x=\frac{a^x}{b^x}$.

Пример.
Упростите выражение: $\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}+\frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}$.
Решение.
Перепишем числители в виде степенных функций:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}+\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}}}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2}})+y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}}-y^{\frac{1}{2})}}$ =$\frac{x-x^{\frac{1}{2}}*y^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}*x^{\frac{1}{2}}+y}{x-y}$=$\frac{x+y}{x-y}$.

Пример.
Решить уравнения:
а) $\sqrt{x^4}=1$.
б) $x^{\frac{4}{5}}=1$.
Решение.
а) Возведем обе части уравнения в пятую степень:
$x^4=1$.
$x=±1$.

Б) Наше уравнение очень похоже на предыдущие. Если мы перейдем от записи корней к степенным функциям, то запись получится идентичная, но стоит учесть, что у нас сразу дано степенное выражение. По определению число х может быть только положительным, тогда у нас остается один ответ $х=1$.

Пример.
Решить уравнение: $x^{-\frac{2}{5}}+x^{-\frac{1}{5}}-12=0$.
Решение.
Давайте введем новую переменную: $y=x^{-\frac{1}{5}}$.
$y^2={(x^{-\frac{1}{5}})}^2=x^{-\frac{2}{5}}$.
Тогда наше уравнение примет вид обычного квадратного уравнения: $y^2+y-12=0$.
Решив уравнение, получим два корня: $y_1=-4$ и $y_2=3$.

Нам остается решить два уравнения: $x^{-\frac{1}{5}}=-4$ и $x^{-\frac{1}{5}}=3$.
Первое уравнение не имеет корней. Вспомним, что степенные функции с рациональным показателем определены только для положительных чисел.
Решим второе уравнение:
$x^{-\frac{1}{5}}=3$.
$\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}=3$.
$x^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}$.
$\sqrt{x}=\frac{1}{3}$.
$x=(\frac{1}{3})^5=\frac{1}{243}$.

Ребята, мы рассмотрели два примера решения иррациональных уравнений.

Давайте перечислим основные методы решений иррациональных уравнений.
1) Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень (при использовании этого метода нужно проверять полученные решения, так как могут возникнуть посторонние решения).
2) Метод замены переменных (введения новых переменных).
3) Построение графиков функций. Обе части уравнения представляем в виде функций, строим их графики и находим точки пересечения графиков.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить:
а) ${64}^{\frac{1}{3}}$.
б) ${64}^{\frac{5}{6}}$.
в) ${81}^{\frac{2}{3}}$.
г) ${(-317)}^{\frac{3}{7}}$.
2. Упростите выражение: $\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{3}}-y^{\frac{1}{3}}}-\frac{\sqrt{y}}{x^{\frac{1}{3}}+y^{\frac{1}{3}}}$.
3. Решить уравнение:
а) $\sqrt{x^2}=8$.
б) $x^{\frac{2}{3}}=8$.
4. Решить уравнение: $x^{-\frac{2}{3}}-7x^{-\frac{1}{3}}+10=0$.

Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по всем важнейшим темам курса математики 10-11 классов. Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности. Дидактические материалы предназначены для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся.

Примеры.
В ящике лежат 10 шариков, среди которых 3 - белые. Из ящика последовательно вынимают и удаляют по одному шарику до тех пор, пока не появится белый шарик. Найдите вероятность появления белого шарика.

Три стрелка стреляют по одной цели по 2 раза каждый. Известно, что вероятность попадания для каждого стрелка равна 0,5 и не зависит от результатов других стрелков и предыдущих выстрелов. Можно ли утверждать
с вероятностью 0,99, что в цель попадет хотя бы один выстрел?
с вероятностью 0,5, что каждый стрелок попадет в цель хотя бы один раз?

СОДЕРЖАНИЕ
Тригонометрия
С-1. Определение и свойства тригонометрических функций. Градусная и радианная меры угла
С-2. Тригонометрические тождества
С-3. Формулы приведения. Формулы сложения
С-4. Формулы двойного и половинного угла
С-5. Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение и произведения в сумму
С-6*. Дополнительные тригонометрические задачи (домашняя самостоятельная работа)
К-1. Преобразование тригонометрических выражений
С-7. Общие свойства функций. Преобразования графиков функций
С-8. Четность и периодичность функций
С-9. Монотонность функций. Экстремумы С-10*. Исследование функций. Гармонические колебания (домашняя практическая работа)
К-2. Тригонометрические функции
С-11. Обратные тригонометрические функции __
С-12*. Применение свойств обратных тригонометрических функций (домашняя самостоятельная работа)
С-13. Простейшие тригонометрические уравнения
С-14. Тригонометрические уравнения
С-15. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Системы тригонометрических уравнений
С-16*. Методы решения тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-17*. Системы тригонометрических уравнений (домашняя самостоятельная работа)
С-18. Простейшие тригонометрические неравенства
С-19*. Методы решения тригонометрических неравенств (домашняя самостоятельная работа)
К-3. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы
Алгебра
С-20. Корень n-ой степени и его свойства
С-21. Иррациональные уравнения
С-22. Иррациональные неравенства. Системы иррациональных уравнений
С-23*. Методы решения иррациональных уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
С-24. Обобщение понятия степени
К-4. Степени и корни
С-25. Показательные уравнения. Системы показательных уравнений
С-26. Показательные неравенства
С-27*. Методы решения показательных уравнений и неравенств (домашняя самостоятельная работа)
С-28*. Показательно-степенные уравнения и неравенства (домашняя самостоятельная работа)
К-5. Показательная функция
С-29. Логарифм. Свойства логарифмов
С-30. Логарифмические уравнения и системы
С-31*. Применение логарифмов в решении трансцендентных уравнений и систем (домашняя самостоятельная работа)
С-32. Логарифмические неравенства
С-33*. Методы решения логарифмических уравнений, неравенств, систем (домашняя самостоятельная работа)
К-6. Логарифмическая функция
С-34. Обобщение понятия модуля. Уравнения и неравенства с модулем
Начала анализа
С-35. Вычисление пределов числовых последовательностей и функций. Непрерывность функции
С-36. Определение производной. Простейшие правила вычисления производных
С-37. Производные тригонометрических и сложных функций
С-38. Геометрический и механический смысл производной
К-7. Производная
С-39. Исследование функции на монотонность и экстремумы
С-40*. Дополнительное исследование функции (домашняя самостоятельная работа)
С-41*. Построение графиков функций (домашняя практическая работа)
С-42. Наибольшее и наименьшее значения функции. Экстремальные задачи
С-43*. Избранные задачи дифференциального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-8. Применение производной
С-44. Первообразная. Вычисление первообразных
С-45. Определенный интеграл. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла
С-46. Применение первообразной и интеграла
С-47*. Избранные задачи интегрального исчисления (домашняя самостоятельная работа)
К-9. Первообразная и интеграл
С-48. Производная и первообразная показательной функции
С-49. Производная и первообразная логарифмической функции
С-50. Степенная функция
С-51*. Дополнительные задачи математического анализа (домашняя самостоятельная работа)
К-10. Производная и первообразная показательной, логарифмической и степенной функций
Комплексные числа
С-52. Понятие комплексного числа. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
С-53. Модуль и аргумент комплексного числа. Действия с комплексными числами в геометрической форме
С-54. Тригонометрическая форма комплексного числа. Формула Муавра
С-55*. Дополнительные задачи с комплексными числами (домашняя самостоятельная работа)
К-11. Комплексные числа
Комбинаторика
С-56. Множества. Операции над множествами
С-57. Основные формулы комбинаторики. Простейшие комбинаторные задачи
С-58. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов
С-59. Комбинаторные задачи. Правило суммы и правило произведения
С-60*. Дополнительные задачи по комбинаторике (домашняя самостоятельная работа)
К-12. Элементы комбинаторики
Теория вероятностей
С-61. Классическая вероятность. Использование формул комбинаторики при вычислении вероятности
С-62. Теоремы сложения и умножения вероятностей
С-63. Вероятность осуществления хотя бы одного из независимых событий. Схема Бернулли
С-64*. Дополнительные главы теории вероятностей (домашняя самостоятельная работа)
К-13. Элементы теории вероятностей
ОТВЕТЫ
Ответы к контрольным работам
Ответы к домашним самостоятельным
работам
ЛИТЕРАТУРА.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа, 10-11 класс, Ершова А.П., Голобородько В.В., 2013 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Цель урока:

1. Обобщение и систематизация знаний, умений, навыков.
2. Актуализация опорных знаний в условиях сдачи ЕГЭ.
3. Контроль и самоконтроль знаний, умений, навыков с помощью тестов.
4. Развитие умения сравнивать, обобщать.

План урока.

1. Формулировка цели урока (1 мин)
2. Устная работа “Верю – не верю!” (6 мин)
3. Решение серии примеров на сравнение выражений (12 мин)
4. Софизм (4–5 мин)
5. Решение примера на упрощение выражения (из ЕГЭ) с обсуждением наиболее “тонких” мест (15 мин)
6. Самостоятельная работа на основе демонстрационного варианта ЕГЭ (гр.А) (5 мин)
7. Задание на дом (на листочках)

Оборудование: проектор.

1. Друзья! Перед вашими глазами часть высказывания английского математика Джеймса Джозефа Сильвестра (1814–1897) о математике “Математика – это музыка разума”. Не правда ли, как романтично?

Вопрос. А как вы думаете, как определил он музыку?

“Музыка – это математика чувств”.

К чувствам мы можем отнести различного рода переживания. В этом году одной из причин ваших и моих переживаний является успешная сдача ЕГЭ и, как следствие, поступление в ВУЗ. Очень хочется, чтобы преобладали положительные эмоции. Должна быть уверенность, а это наши знания и навыки. Сегодня на уроке мы продолжим подготовку к ЕГЭ, повторяя и обобщая понятие степени.

Итак, тема сегодняшнего урока – “Обобщение понятия степени”.

Основные свойства и определения мы уже с вами повторили, и я предлагаю вам сыграть в игру “Верю – не верю!”

Ваша задача быстро (полагаясь на свою интуицию, она поможет при решении гр. А) ответить на вопрос утвердительно или отрицательно, а затем пояснить свой ответ.

2. Устная работа “Верю – не верю!”

1. Имеют смысл выражения:

а) б) в) с) д)

3. Уравнение имеет три корня

(нет, корень один: 7, т.к.)

4. Наименьший корень уравнения 1

3. Решение серии примеров на сравнение дробей. Теперь я предлагаю обратить ваше внимание на серию примеров на сравнение степеней.

Вопрос. Какие способы сравнения степеней вы знаете?

Сравнение показателей при одинаковых основаниях, сравнение оснований при одинаковых показателях степеней.

1. Сравните и .

2. Сравните числа и .

Как видите, случай более сложный.

Вопрос. Какими числами являются показатели степеней?

Иррациональными.

Давайте найдём рациональные числа, близкие к данным иррациональным и попытаемся сравнить степени с рациональным показателем.

Т.к. основание степени больше 1, то по свойству степеней имеем

Сравним теперь и .

Для этого достаточно сравнить и 2 или и .

Но , а .

Теперь получаем цепочку неравенств:

3. Сравните числа и .

Воспользуемся следующим свойством радикалов: если , то , где .

Сравним и .

Оценим их отношение:

Таким образом, .

Замечания.

1) В данном случае степени и невелики, а именно

, и их нетрудно вычислить “вручную”, т.е. без калькулятора. Можно и без вычислений оценить степени:

Поэтому,

2) Если же степени действительно не поддаются вычислению (даже на калькуляторе), например, и , то можно использовать неравенство:

Верно при любых , и поступить так:

при всех натуральных .

Можно доказать самостоятельно

4. Софизм. Что ж, давайте переключимся на иную работу. Найдём ошибку в следующих рассуждениях, опровергнув утверждение:

“Единица в бесконечно большой степени равна произвольному числу”.

Как известно, единица, возведённая в любую степень, в том числе и в нулевую, равна единице, т.е., где а – любое число. Посмотрим, однако, всегда ли это так.

Пусть х – произвольное число. Простым умножением легко убедиться, что выражение (1) является тождеством при любых х . Тогда справедливо и тождество, которое следует из (1), а именно . (2)

Для произвольного положительного числа а существует .

Из равенства (2) вытекает равенство

,

или, что то же самое,

. (3)

Полагая в тождестве (3) х=3 , получаем

, (4)

а принимая во внимание, что , получим, что .

Итак, степень единицы, даже когда показатель степени равен бесконечности, равен произвольному числу, но отнюдь не единице, как того требуют правила алгебры.

Решение.

Ошибка в следующем.

Равенство (1) действительно справедливо при всех значениях х и потому является тождеством. Полученное из него равенство (2) справедливо уже не для всех значений х. Так, х не может быть равен 2. так как знаменатели в левой и правой частях (2) обращаются при этом в нуль, и х не может быть равен 3, так как знаменатель в правой части (2) также обращается в нуль. При х = 3 равенство (2) принимает вид , который не имеет смысла.

Соотношение же (4) получено из (3) именно при х = 3 , что и привело к нелепому результату.

Ну, а теперь перенесёмся в 2004 год, когда в задании С3 был предложен следующий номер.

5. Решение примера (из ЕГЭ).

Так как f(x) –возрастающая функция, то .

Найдём, какое из этих значений ближе лежит к 0,7, для чего сравним

и

Так как , то значение f(26) лежит ближе к 0,7.

6. Самостоятельная работа с последующей проверкой на доске.

А теперь самое время потренироваться: перед вами примеры из демонстрационного варианта, гр.А 2009 года.

Вы их видите как на доске, так и на листочках. Ваша задача – быстро решить и заполнить таблицы с ответами. Соответствие букв и чисел перед вами. Правильно вычислив или упростив выражения в таблице, вы прочтёте то, что необходимо вам при сдаче ЕГЭ.

1 вариант – удача, знания,

2 вариант – уверенность.

Итак, сегодня на уроке мы увидели насколько широко понятие степени используется при сдаче ЕГЭ. Закрепить полученные навыки вы сможете, выполнив домашнюю работу.

7. Домашняя работа.

Обратите внимание на домашнюю работу, она поможет вам закрепить материал, который мы решали на уроке.

Что умеете хорошего, то не забывайте, а чего не умеете, тому учитесь.
Из Владимира Мономаха.

Цели урока:

• Образовательная
  • систематизировать знания по пройденной теме;
  • проверить уровень изученного материала;
  • применить теоретический материал для решения задач.
• Воспитательная
  • воспитывать чувство ответственности за выполненную работу;
  • воспитывать культуру речи, аккуратность, внимание.
• Развивающие
  • развивать мыслительную деятельность учащихся;
  • прививать интерес к предмету;
  • развивать любознательность.

Урок повторения и обобщения материала.

Оборудование урока: кодоскоп таблицы.

Оформление урока: на доске тема урока, эпиграф.

Подготовка к уроку: за несколько дней на стенде вывешены вопросы для повторения.

• Определение степени с целым показателем
• Свойства степени с целым показателем.
• Определение степени с дробным показателем.
• Определение степени с дробным отрицательным показателем.
• Определение степени с любым показателем.
• Свойства степени с любым показателем.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Домашнее задание. № 1241, 1242, 1244а, 1245б.

3. Контроль домашнего задания.

Проводим взаимопроверку. Через кодоскоп показываю решения домашнего задания.

№1225б, в; 1227 а, в; 1229а,в;1232в,г;1233г.

Решение домашней работы.

Б) 2 1,3 * 2 -0,7 * 4 0,7 = 2 0,6 * (2 2) 0,7 =2 0,6 * 2 1,4 = 2 2 =4.

В) 49 -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = (7 2) -2\3 * 7 1\12 * 7 -3\4 = 7 -4\3 \+1\12 -3\4 = 7 (-16 +1- 9)\12 = 7 -24\12 = 7 -2 = 1\49.

А) (27 * 64) 1\3 = 27 1\3 * 64 1\3 = (3 3) 1\3 * (4 3) 1\3 = 3 * 4= 12.

В) (1\36 * 0,04) -1\2 = (6 -2 * (0,2) 2) -1\2 = (6 -2) -1\2 * ((0,2) 2) -1\2 = 6 * 0,2 -1 = 6 * 10\2=30.

А) = = х 1-3\5 = х 2\5 .

В) = = = с 8\3 -2\3 = с 2 .

В) (d 1\2 -1) * (d 1\2 +1)= d -1

Г) (p 1\3 - q 1\3) * (p 1\3 +(pq) 1\3 + q 2\3) = p- q.

Г) = = .

Рефлексия. Определяем количество ошибок.

4. Ориентация в изучаемом материале.

Ребята, какую тему мы изучали в течение нескольких последних уроков?

5. Мотивация. Сегодня мы проведём урок повторения и обобщения знаний по теме "Обобщение понятия степени". Ребята, обратите внимание на задания, которые мы будем решать на уроке, подобные им могут встречаться в контрольной работе, опросе.

6. Какими свойствами степеней вы пользовались при выполнении домашней работы? Вспомним теорию.

Дополните предложения:

7. Теоретически вы подковались, а теперь осталось проверить практическую часть.

Световой диктант.

(За закрытой доской 2 ученика.) Ребята выполняют задание через копирку, потом проверяем. Кодоскоп.

Вариант1	Вариант 2
Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем.
; ; .	; ; .
Ответы. 2 1\2 ; х 2\3 ; а 4\5 .	16 1\5 ; 6 1\3 ; а 3\2 .
Представьте выражение в виде корня из числа или выражения
7 3\5 ; 5х 1\3 ; (5а) 1\3	5 -1\4 ; 7у 2\5 ; (6х) 2\5 .
Ответы. ; 5; .	; 7;
Вычислите
9 1\2 ; (3)	1. 16 1\2 (4)
8 2\3 (4)	2. 81 3\4 (27)
2 -2 * 16 1\2 (1)	3. 3 -2 * 81 1\4 (1\3).

8. А теперь послушаем кусочек истории. Историческая справка.

Представьте себе, что вы попали в Алмазный Фонд нашей страны. И вам побольше хотелось бы узнать об алмазах. Вот этим и займёмся на уроке.

Задание 1.

Выполните вычисления. Запишите в таблицы буквы, связанные с найденными ответами.

Б 49 1\2 = 7	Й 81 0,5 = 9
Ы 32 1\5 = 2	С 8 2\3 = 4
Е 1000 1\3 = 10	Н 0 0,2 = 0
П 0, 0016 1\4 = 0.2	Л 1 -0,6 = 1
И 16 - 1\2 = 0,25	З 16 -0,25 = 0,5
О (8\27) 1\3 = 2\3	Д 16 3\4 = 8
М (5 ) 0,25 = 1.5	А 25 1,5 =125

Название

что в переводе означает

0	10	0.2	2\3	7	10	8	0.25	1, 5	2	9
Н	Е	П	О	Б	Е	Д	И	М	Ы	Й

и отражает одно из его главных свойств - наивысшую твёрдость.

Задание 2.

Среди выражений, записанных в таблице, найдите и вычеркните те, которые не имеют смысла. Для остальных выражений найдите равные по значению числа, записанные на рисунках алмазов. Заполните свободные части таблицы числами и буквами.

Французское слово __brilliant_______________ (в русском написании __бриллиант______________________) в переводе означает "блестящий" и используется для обозначения алмазов, подвергнутых огранке и полировке. Такая обработка позволяет получить мистический блеск и великолепную игру света.

Задание 3.

А) Заполните таблицу

№	Выражение	Множество допустимых значений переменной	Слова
1.	Х 5		арена
6.	(-х) -5,1	(- ; 0)	площадка

Б) На рисунке показана совершенная бриллиантовая огранка, имеющая форму многогранника с 57 гранями. Эта оптимальная форма и размеры были получены в ХХ веке, благодаря развитию геометрической оптики.

Узнайте, как называются отдельные части такого бриллианта. Используя информацию из таблицы и рисунок:

Задание 4.

А) Упростите выражения:

Б) Найдите значения выражений

в) Используя найденные ответы, заполните пропуски в тексте. Слова пишите в нужных падежах.

Масса драгоценных камней измеряется каратами.: 1 карат = m 1 0,2 г.

Алмазы, имеющие массу более m 2 53 карат, получают собственные имена.

Наиболее крупные драгоценные камни хранятся в Алмазном фонде страны, расположенном в Московском Кремле.

Одним из самых знаменитых бриллиантов является алмаз

Затем попал в

В качестве выкупа за смерть

Он также был найден в

- "море света". Алмаз неоднократно похищался, попадал в различные страны и к разным правителям.

В 1773 году его приобрёл фаворит

Бриллиант был вставлен в Российский державный скипетр.

Задание 5.

А) Упростите выражения

Б) Выполните вычисления

1000 2\3 * 125 1\3 + (1\8) -4\3 + 16 0,25 * 49 0.5 = 530

В) Заполните пропуски в тексте:

Долгое время основным местом добычи алмазов была Индия, а в начале ХХ века были открыты месторождения в Южной Африке. Там в 1905 году на одном из приисков был найден крупнейший алмаз, масса которого составляла 3106 карат. Он был назван именем хозяина прииска.

Куллинан 11 - вторая по величине часть, полученная при гранении алмаза, украсил корону королевы Виктории.

При огранке этот алмаз был рассечён на 9 частей. Наибольшая часть, имеющая массу 530 карат, была названа "Звезда Африки". Этот бриллиант, имеющий 74 грани, стал украшать британский державный скипетр.

Подводим итог урока.

1. Какую цель ставили в начале урока?
2. Достигли ли цели урока?
3. Что нового узнали на уроке?
4. Ставим оценки за урок.