Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Пример 1.

Задача условной оптимизации

 

Рассмотрим необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких переменных в задаче ограничениями типа равенств.

 

Постановка задачи условной оптимизации имеет вид

.

Уравнения называются условиями связи.

Функция имеет в точке имеет условный максимум (минимум) при условиях связи (2), если существует такая окрестность точки , что для любой точки из этой окрестности, координаты которой удовлетворяют уравнениям связи (2), выполняется неравенство

.

Сначала рассмотрим случай двух переменных и одного условия связи

.

Один из методов отыскания условного экстремума состоит в следующем.

Пусть уравнение однозначно определяет в плоскости некоторую гладкую кривую : . Подставляя в функцию вместо функцию , получаем функцию одного аргумента в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции будет искомым условным экстремумом.

 

.

Из уравнения связи находим

. Подставляем это выражение в целевую функции . Исследуем эту функцию на экстремум.

. Поскольку – минимум. Следовательно, точка доставляет условный минимум функции .

 

 

Существует другой способ решения задачи об условном экстремуме.

Пусть функция точка есть точка условного экстремума функции при наличии связи . Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию в некоторой окрестности точки . Считая, что из двух переменных независимой будет только одна , найдем полную производную функции

. В точке экстремума эта производная должна быть равна нулю, что равносильно равенству нулю дифференциала от в точке

. (3)

Из уравнения связи имеем

(4)

Умножая (4) на некоторый неопределённый пока множитель и складывая почленно с (3), будем иметь

.

Выберем значение таким образом, чтобы, например, вторая скобка обращалась в нуль

,

при условии . Тогда в силу произвольности получим .

Таким образом, точка условного экстремума является обязательной стационарной точкой функции

, (5)

называемой функцией Лагранжа.

Отсюда правило (метод Лагранжа) для отыскания условных экстремумов:

1) Проверяем неравенство нулю (условие Якоби);

2) составляем функцию Лагранжа (5);

3) решаем систему трех уравнений

, (6)

из которой находим значения и координаты возможных точек экстремума.

Вопрос о характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа

(7)

для рассматриваемой точки , полученной из (6) при условии, что удовлетворяют уравнению

.

Если , то в точке функция имеет условный максимум, если – условный минимум.

Пусть требуется исследовать методом Лагранжа функцию на условный экстремум при условиях связи

, (задача (1) – (2)).

Рассмотрим функцию Лагранжа

, (8)

где – некоторые константы.

Теорема(необходимое условие Лагранжа условного экстремума). Пусть точка – точка локального экстремума в задаче (1) – (2), функция дифференцируема в точке и (линейно независимы). Тогда существуют числа при которых выполняются равенства

. (9)

Пусть в точке выполнено необходимое условие Лагранжа условного экстремума. Рассмотрим квадратную матрицу порядка (окаймленную матрицу Гессе)

, (10)

– нулевая матрица порядка ,

, .

 

Теорема(достаточное условие условного экстремума). Пусть функции и дважды дифференцируемы в точке и пусть (линейно независимы), существуют числа такие, что для функции Лагранжа (8) выполняются условия стационарности (9). Тогда

1) если знаки угловых миноров , , . . ., матрицы (10) совпадают со знаком числа , то точка является точкой условного минимума функции при условиях связи ;

2) если знаки угловых миноров , , . . ., матрицы (10) чередуются, причём знак минора совпадает со знаком числа , то точка является точкой условного максимума функции при условиях связи ;

 

В частности, для двух переменных и одного ограничения:

стационарная точка является точкой максимума, если ;

стационарная точка является точкой минимума, если .

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:336

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.