Презентация систематизация арифметическая прогрессия и геометрическая. Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессия. «Все познается в сравнении»

Открытый урок по алгебре 9 класс

Арифметическая и геометрическая прогрессии
подготовила учитель математики
высшей категории Исабекова Кульжаган Нурхамитовна
вечерняя сменная средняя общеобразовательная школа
г.Атбасар

Учитель: ИсабековаК.Н. Цели урока:

Образовательная:проверка уровня усвоения теоретических знаний и умения применять их при решении задач
Развивающая:развитие речи,умение правильно излагать свои мысли,анализировать и делать выводы
Воспитательная: воспитание интереса к предмету, потребности к знаниям

Говорящая трибуна -формулы для нахождения п-го члена арифметической и геометрической прогрессии

-формулу суммы п-первых членов

Математический диктант

Какая последовательность?
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32; …
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6) –2; –4; – 6; – 8; …

Истинно или ложно

1) В арифметической прогрессии 2,4; 2,6;:: разность равна 2 .
2) В геометрической прогрессии 0,3; 0,9;:: третий член равен 2,7.
3) 11-й член арифметической прогрессии, у которой а1 = -4,2; d = 0,4, равен 0,2.
4) Сумма 5 первых членов геометрической прогрессии, у которой b1= 1 q = - 2, равна 11.
5) Последовательность чисел, кратных 5, является геометрической прогрессией.
6) Последовательность степеней числа 3 является арифметической прогрессией

Теория в кластере

1 группа- арифметическая
прогрессия
2 группа-геометрическая
прогрессия
3 группа-последовательности

Защита кластера

«Дорогу осилит идущий,
математику
мыслящий»

Задача из арифметики Магницкого

Некто продал лошадь за 156 рублей. Но покупатель, обретя лошадь, раздумал и возвратил продавцу, говоря: «Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит». Тогда продавец предложил другие условия:
"Если по-твоему цена лошади высока, то купи ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне 1/4 коп., за второй-1/2коп., за третий-1коп., и т.д.“
Покупатель, соблазненный низкой ценой, и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придется уплатить не более 10 рублей.

Решение задачи из арифметики Магницкого

1. Составим последовательность чисел

2. Данная последовательность является геометрической
прогрессией со знаменателем q =2, n = 24.

3. Попытаемся подсчитать сумму

5. Имеем

4. Зная формулу

Легенда и изобретений шахмат Задача

Ученик4. Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше (4 зерна), на третью еще в 2 раза больше (4 зерна) и т. д. до 64-ой клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Работа по карточкам НАЗАД, В ИСТОРИЮ!

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий АРХИМЕД (ок. 287–212 гг. до н.э)
Термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.
Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом (в 3 веке). Формула суммы членов геометрической прогрессии дана в книге Евклида “Начала” (3 век до н.э.).
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в сочинении «Книги абака» в 1202г. (Леонардо Пизанский)

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Интересные факты

1) Химия. При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.
2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.
4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
5)Экономика. Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.

Спасибо Всем!

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни
приведут.

«Прогрессия - движение вперед».

Используемая литература

1.Алгебра.Учебник для 9 класса Ю.Н.Макарычев
2.Алгебра Открытые уроки С.Н.Зеленская
3.Сборник заданий для проведения письменного экзамена за курс 9-летней общеобразовательной школы С.Н.Данилюк
4.Интернет-ресурс WWW. kopilka urokov.ru

Слайд 1

Арифметическая и Геометрическая прогрессии
Проект ученика 9б класса Тесли Дмитрия

Слайд 2

Прогрессия
- числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d. Число d называется разностью прогрессии. - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q. Число q называется знаменателем прогрессии.

Слайд 3

Прогрессия
Арифметическая Геометрическая
Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле: an=a1+d(n–1) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется так: Sn=0,5(a1+an)n Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле: bn=b1qn-1 Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется так: Sn=b1(qn-1)/q-1

Слайд 4

Арифметическая прогрессия
Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 – 1855), который еще в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за одну минуту, сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т.д. равны, он умножил 101 на 50, т.е. на число таких сумм. Иначе говоря, он заметил закономерность, присущую арифметическим прогрессиям.

Слайд 5

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
- это геометрическая прогрессия, у которой |q|

Слайд 6

Арифметическая и геометрическая прогрессии, как оправдание войн
Английский экономист епископ Мальтус использовал геометрическую и арифметическую прогрессии для оправдания войн: средства потребления (пища, одежда) растут по законам арифметической прогрессии, а люди размножаются по законам геометрической прогрессии. Чтоб избавиться от лишнего населения необходимы войны.

Слайд 7

Практическое применение геометрической прогрессии
Вероятно, первая ситуация, в которой людям пришлось столкнуться с геометрической прогрессией – подсчет численности стада, проведенный несколько раз, через равные промежутки времени. Если не происходит никаких чрезвычайных ситуаций, количество новорожденных и умерших животных пропорционально числу всех животных. Значит, если за какой-то период времени количество овец у пастуха увеличилось с 10 голов до 20, то за следующий такой же период оно снова вырастит вдвое и станет равным 40.

Слайд 8

Экология и промышленность
Прирост древесины в лесном массиве происходит по законам геометрической прогрессии. При этом у каждой породы дерева свой коэффициент годового роста объема. Учет этих изменений позволяет планировать вырубку части лесных массивов и одновременную работу по восстановлению лесов.

Слайд 9

Биология
Бактерия за одну секунду делится на три. Сколько бактерий будет в пробирке за пять секунд? Первый член прогрессии – одна бактерия. По формуле найдем, что на вторую секунду мы будем иметь 3 бактерии, на третью - 9, на четвертую - 27, на пятую - 32. Таким образом можно рассчитать количество бактерий в пробирке в любой момент времени.

Слайд 10

Экономика
В жизненной практике геометрическая прогрессия появляется в первую очередь в задаче об исчислении сложных процентов. Срочный вклад, положенный в сберегательный банк, ежегодно увеличивается на 5%. Каким станет вклад через 5 лет, если вначале он был равен 1000 рублей? На следующий после вклада год мы будем иметь 1050 рублей, на третий год – 1102,5, на четвертый – 1157,625, на пятый – 1215,50625 рублей.

1 слайд

Закончился ХХ век, а вот термин “прогрессия” был введен римским автором Боэцием еще в IV в. н.э. От латинского слова progressio – “движение вперед”. Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Считалось, что в древнеегипетском папирусе Ахмеса находилась древнейшая задача на прогрессии о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающая за собою двухтысячелетнюю давность. Но есть гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в знаменитом египетском папирусе Ринда. Папирус этот, разысканный Риндом полвека назад, составлен около 2000 лет до нашей эры и является списком с другого, еще более древнего математического сочинения, относящегося, быть может, к третьему тысячелетию до нашей эры. В числе арифметических, алгебраических и геометрических задач этого документа имеется такая, которую мы приводим в вольной передаче.

2 слайд

1) 2; 5; 8; 11;14; 17;… 2) 3; 9; 27; 81; 243;… 3) 1; 6; 11; 20; 25;… 4) –4; –8; –16; –32; … 5) 5; 25; 35; 45; 55;… 6) –2; –4; – 6; – 8; … арифметическая прогрессия d = 3 арифметическая прогрессия d = – 2 геометрическая прогрессия q = 3 последовательность чисел геометрическая прогрессия q = 2 последовательность чисел

3 слайд

4 слайд

Изучена данная тема, Пройдена теории схема, Вы много новых формул узнали, Задачи с прогрессией решали. И вот в последний урок Нас поведет Красивый лозунг “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”

5 слайд

Решение: Очевидно, количество хлеба, полученные участниками раздела, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член x, разность y. Тогда: а1–Доля первого – x, а2–Доля второго – x+y, а3–Доля третьего – x+2y, а4–Доля четвертого – x+3y, а5–Доля пятого – x+4у. На основании условия задачи составляем следующие 2 уравнения:

6 слайд

Задача 1: (задача из папируса Ринда) Сто мер хлеба разделили между 5 людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых получили в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?

7 слайд

8 слайд

9 слайд

Урок сегодня завершён, Дружней вас не сыскать. Но каждый должен знать: Познание, упорство, труд К прогрессу в жизни приведут.

10 слайд

11 слайд

Ответы: 6.1 (20,4) (И) 6.2. (является), 6.5. (6;8,2;10’4;12’6;14’8;17.), 6.8. (b1=34 или b1= –34).

12 слайд

Задания из сборника предназначенного для подготовки к итоговой аттестации в новой форме по алгебре в 9 классе, предлагаются задания которые оцениваются в 2 балла: 6.1. 1) Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а ее десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии. 6.2. 1) Число –3,8 является восьмым членом арифметической прогрессии (ап), а число –11 является ее двенадцатым членом. Является ли членом этой прогрессии число –30,8? 6.5. 1) Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию. 6.8. 1) В геометрической прогрессии b12 = З15 и b14 = З17. Найдите b1.

13 слайд

Ответы: 1) 102; (П) 2) 0,5; (В) 3) 2; (Р) 4) 6; (Г) 5) – 1,2; (Е) 6) 8; (С)

14 слайд

«Карусель» - обучающая самостоятельная работа 1)Дано: (а n), а1 = – 3, а2 = 4. Найти: а16 – ? 2)Дано: (b n) , b 12 = – 32, b 13 = – 16.Найти: q – ? 3)Дано: (а n), а21 = – 44, а22 = – 42. Найти: d - ? 4)Дано: (b n) , bп > 0, b2 = 4, b4 = 9. Найти: b3 – ? 5)Дано: (а n), а1 = 28, а21 = 4. Найти: d - ? 6) Дано: (b n) , q = 2. Найти: b5 – ? 7) Дано: (а n), а7 = 16, а9 = 30. Найти: а8 –? 1) (П) ;2) (В) ;3) (Р); 4) (Г); 5) (Е); 6) (С).

15 слайд

Свойства геометрической прогрессии Дано: (b n) геометрическая прогрессия, b n >0 b4=6; b6=24 Найти: b5 Решение: используя свойство геометрической прогрессии имеем: Ответ: 12(Д) Решение

16 слайд

Свойства арифметической прогрессии Дано: (а n) арифметическая прогрессия а4=12,5; а6=17,5 Найти: а5 Решение: используя свойство арифметической прогрессии имеем: Ответ: 15(О) Решение

17 слайд

Нетрудно видеть, что получился магический квадрат, константа C которого равна 3a+12d. Действительно, сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой диагонали квадрата равна 3a+12d. Пусть дана арифметическая прогрессия: a, a+d, a+2d, a+3d, …, a+8d, где a и d натуральные числа. Расположим её члены в таблицу.

18 слайд

Занимательное свойство арифметической прогрессии. А теперь, рассмотрим еще одно свойство членов арифметической прогрессии. Оно, скорее всего, занимательное. Нам дана “стайка девяти чисел” 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17, 19. Она представляет собой арифметическую прогрессию. Кроме того, данная стайка чисел привлекательна способностью разместиться в девяти клетках квадрата так, что образуется магический квадрат с константой, равной 33

Арифметическая и геометрическая прогрессия Какая тема объединяет понятия:

1) Разность 2) Сумма n первых членов 3) Знаменатель 4) Первый член

5) Среднее арифметическое

6) Среднее геометрическое?