Устойчивостью называют свойство системы самостоятельно возвращаться в состояние равновесия после того, как внешнее входное воздействия вывело ее из состояния равновесия. Равновесием называют состояние системы, когда управляемая величина y (t ) постоянна, и все ее производные равны нулю. Исследование устойчивости является одной из основных задач в теории автоматического управления.

Как уже отмечалось, процесс управления определяется переходным процессом: законом изменения y (t ) после изменения x (t ). Переходной процесс САУ можно получить решением дифференциального уравнения САУ (1). Это решение может быть представлено суммой двух составляющих, вынужденной у в (t ) и переходной y п (t ):

y (t ) = у в (t ) + y п (t ),

где y в (t ) определяется свойствами системы и видом входного воздействия. САУ будет устойчивой, если с течением времени переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Однозначно судить об устойчивости системы можно по виду ее переходного процесса: затухающий переходной процесс (сходящийся к некоторой постоянной) соответствует устойчивой системе, расходящийся (стремящийся в бесконечность) – неустойчивой.

ПРИМЕРЫ переходных процессов неустойчивых САУ.

При исследовании устойчивости САУ решают следующие задачи:

Определение, является ли САУ устойчивой при заданных параметрах;

Определение допустимых изменений параметров САУ без нарушения устойчивости;

Поиск параметров и/или структуры САУ, при которых она может стать устойчивой.

Теорема Ляпунова

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейных САУ формулируется в теореме Ляпунова :

Если характеристическое уравнение САУ имеет все корни с отрицательной действительной частью, то система устойчива;

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то САУ неустойчива.

Характеристическое уравнение САУ записывается по виду дифференциального уравнения или передаточной функции системы. Так, из уравнения (1) после преобразования Лапласа мы имеем (см. вывод (2)):

Полином в левой части равенства вида:

называется характеристическим . Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы или звена:

Корни характеристического уравнения, количество которых соответствует порядку характеристического уравнения САУ, могут быть действительными, комплексными и чисто мнимыми. Их можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р . Согласно теореме, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости. Примеродного из возможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения устойчивой САУ 5-ого порядка показан на рис. 75.

В случае, если среди корней характеристического уравнения имеется нулевой корень или пара сопряженных чисто мнимых корней, расположенных на мнимой оси, система оказывается на границе устойчивости. Примерывозможных распределений в комплексной плоскости корней характеристического уравнения САУ 5-ого порядка, находящейся на границе устойчивости , приведены на рис. 77.

Системы, у которых имеется одна пара мнимых корней, могут совершать незатухающие колебания (автоколебания). Такие системы практически неработоспособны .

Рис. 77

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по теореме Ляпунова и связь результатов оценки с переходной характеристикой САУ.

Пусть САУ 3-го порядка имеет характеристическое уравнение вида:

На рис. 78 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –3,55, а два других – комплексными сопряженными числами с отрицательной действительной частью –0,525: (–0,525 – 0,657j ) и (–0,525 + 0,657j ).

Аналогично рассмотрим другую САУ 3-го порядка, с характеристическим уравнением вида:

На рис. 80 показан результат решения этого уравнения, полученный с использованием математического пакета Mathcad. Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –7,2, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 1,31: (1,31 + 4,64j ) и (1,31 – 4,64j ), т.е. распределение корней в комплексной плоскости свидетельствует по теореме Ляпунова о неустойчивости САУ.

Критерии устойчивости САУ

Для оценки устойчивости необходимо оценить расположение корней характеристического уравнения системы относительно координатных осей комплексной плоскости. Эту оценку можно осуществить непосредственным решением характеристического уравнения. Но для определения устойчивости не обязательно знать значения корней характеристического уравнения, достаточно проверить, являются ли действительные части всех корней отрицательными.

Правила, позволяющие исследовать устойчивость системы без непосредственного нахождения корней характеристического уравнения, называются критериями устойчивости .

На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней, т.к. характеристические уравнения высоких порядков трудно было решать «в ручную». Сейчас легко найти корни характеристического полинома с помощью компьютерных программ, однако такой подход не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости отдельных параметров САУ.

С помощью критериев устойчивости не только устанавливается факт устойчивости систем, но и оценивается влияние тех или иных параметров и структурных изменений в системе на устойчивость. Математически все формы критериев устойчивости эквивалентны, т.к. они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения попадают в левую полуплоскость комплексной системы координат .

6.2.1. Критерий Гурвица

Критерий Гурвица относится к алгебраическим критериям устойчивости, которые позволяют установить устойчива ли САУ или нет по результатам алгебраических действий над коэффициентами характеристического уравнения.

Бóльшая часть реальных САУ являются замкнутыми, т.е. имеют общую единичную обратную связь и, соответственно, передаточную функцию вида:

,

где W раз (р ) – передаточная функция разомкнутой САУ (без учета общей обратной связи).

Рассмотрим вывод характеристического уравнения замкнутой САУ, если дана передаточная функция соответствующей ей разомкнутой САУ. Согласно (17) характеристическое уравнение САУ получается приравниванием к нулю знаменателя ее передаточной функции, следовательно, для замкнутой системы запишем:

Однако, передаточная функция разомкнутой системы, согласно (2), имеет вид:

следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы может быть записано как:

Дробь равна нулю когда ее числитель равен нулю, следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы можно записать как сумму полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы, прировняв полученное выражение к нулю:

(18)

Важно! Для применения критерия Гурвица используется специальная форма записи характеристического уравнения, отличающаяся от (16) обратной нумерацией коэффициентов полинома:

Критерий Гурвица использует матрицу коэффициентов характеристического уравнения размером n ´n , составленную следующим образом:

По главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a 1 и заканчивая a n ;

Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева на право так, чтобы чередовались строки с четными и нечетными индексами;

В случае отсутствия коэффициента, а также, если индекс меньше 0 или больше n , на его месте пишется 0.

В результате получается матрица, первая строка которой содержит коэффициенты уравнения (19) a 1 , a 3 , a 5 ,… (все с нечетными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов, вторая строка – коэффициенты a 0 , a 2 , a 4 ,… (все с четными номерами) и нулями на месте отсутствующих элементов. Третья строка получается сдвигом первой строки на одну позицию вправо, четвертая – сдвигом второй строки на одну позицию вправо и т.д. Например, для САУ 5-го порядка (n = 5) эта матрица имеет вид:

Критерий Гурвица определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: все корни характеристического уравнения САУ имеют отрицательные действительные части, если при a 0 > 0 все n определителей Гурвица матрицы коэффициентов положительны .

Определители Гурвица вычисляются следующим образом:

При условии положительности всех коэффициентов характеристического уравнения достаточно проверить только n – 1первых определителей Гурвица, не вычисляя определитель для полной матрицы. При этом условии частные случаи критерия Гурвица для систем низких порядков получают, раскрывая определители матрицы коэффициентов. Так, в результате раскрытия определителей, для САУ первого и второго порядков необходимым и достаточным условием устойчивости является собственно положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Для САУ 3-го порядка – положительность всех коэффициентов и условие вида:

Определим с помощью критерия Гурвица, при каких значениях коэффициента статического преобразования регулятора k рассматриваемая система будет устойчивой. Запишем передаточную функцию разомкнутой САУ:

С использованием (18) запишем характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Для того уравнения, согласно форме (19), коэффициенты, соответственно равны:

При положительности всех коэффициентов этого уравнения 3-го порядка необходимым условием устойчивости также является выполнение условия (20):

a 1 ×a 2 – a 0 ×a 3 > 0,

Т.о., рассматриваемая САУ будет устойчива, если значение коэффициента статического преобразования k удовлетворяет условию :

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Гурвица исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Матрица коэффициентов Гурвица для САУ 3-го порядка имеет общий вид:

,

т.е. матрицы Гурвица для рассматриваемых САУ равны, соответственно:

и
.

Характеристические уравнения обеих САУ удовлетворяют критерию положительности всех коэффициентов, поэтому для оценки устойчивости по критерию Гурвица достаточно вычислить и проверить на положительность n – 1первых определителей Гурвица, т.е. для 3-го порядка – второй определитель. Результаты вычисления вторых определителей матрицы Гурвица для рассматриваемых систем (см. рис. 78 и рис. 80), полученные с использованием Mathcad, показаны на рис. 83–а и рис. 83–б соответственно. Как видно, результаты оценки устойчивости по Гурвицу совпадают с ранее полученными оценками по Ляпунову и результатами построения переходных характеристик рассматриваемых САУ (см. рис. 79 и рис. 81 соответственно) – положительный определитель соответствует устойчивой САУ, а отрицательный – неустойчивой.

Годограф по формуле (21) рассчитывают, изменяя частоту w от 0 до +¥, и строят в комплексной плоскости.

Критерий Михайлова определяет необходимое и достаточное условие устойчивости САУ следующим образом: САУ является устойчивой, если при изменении частоты от 0 до + ¥ годограф вектора Михайлова А(j w) начинается на положительной части действительной оси и, не обращаясь в ноль, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического полинома САУ.

У устойчивых систем годограф Михайлова имеет плавную спиралевидную форму и при w = 0 отсекает на действительной оси в положительном направлении отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 .

По виду годографа Михайлова можно определить и граничное состояние устойчивости САУ: в случае границы устойчивости первого типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ нулевого корня (см. рис. 77) отсутствует свободный член характеристического уравнения а 0 = 0 и годограф начинается из начала координат. При границе устойчивости второго типа, т.е. наличия у характеристического уравнения САУ пары чисто мнимых корней (см. рис. 77), годограф проходит через начало координат (обращается в ноль) при некотором ненулевом значении w, причем это значение и есть частота незатухающих колебаний системы .

Рассмотрим примеры оценки устойчивости по критерию Михайлова исследованных ранее по теореме Ляпунова систем 3-го порядка (см. рис. 78 и рис. 80). Формулы для расчета годографов Михайлова этих систем имеют вид, соответственно:

Годограф Михайлова для первой САУ показан на рис. 84. Как видно, его форма удовлетворяет всем условиям критерия:

Годограф начинается на положительной части действительной оси (отсекая при w = 0 на действительной оси отрезок, равный свободному члену характеристического уравнения а 0 = 3);

Не обращается в ноль;

С ростом значения частоты w, поворачиваясь против часовой стрелки, проходит последовательно первый, второй квадрант и в третьем квадранте, при w ® ¥, уходит в бесконечность.

Следует отметить, что для систем с высоким порядком характеристического уравнения (n = 5 и более) отсчет квадрантов при проверке условий критерия Михайлова после четвертого продолжается против часовой стрелки в том же порядке. Т.е., например, у устойчивой САУ 5-го порядка годограф должен последовательно проходить четыре квадранта, возвращаться в первый (для годографа – по порядку пятый) и в нем уходить в бесконечность. Пример годографа Михайлова для устойчивой САУ 5-го порядка с формулой для расчета годографа вида:

показан на рис. 86. Для удобства анализа начальный участок годографа, полученные при малых значениях частоты w, показан отдельным фрагментом. Видно, что годограф при w = 0 начинается на положительной части действительной оси и, последовательно, против часовой стрелки, проходя пять квадрантов, в пятом уходит в бесконечность.

Критерий Найквиста для амплитудно–фазовой характеристики (АФХ) формулируется следующим образом: замкнутая система будет устойчивой, если АФХ соответствующей разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывает точку с координатами [–1, j0].

Рассмотрим произвольную разомкнутую САУ, не содержащую интегрирующих звеньев. В этом случае значение АФХ для частоты w = 0 равно коэффициенту статического преобразования САУ:

W (j w) = W (j 0) = k .

При этом, если степень числителя передаточной функции меньше степени знаменателя, то график АФХ, начинаясь в точке с координатами (k , j 0) при изменения частоты от 0 до ¥ стремится к началу координат. На рис. 88–а показана АФХ устойчивой САУ – график не охватывает точку с координатами [–1, j 0], а на рис. 88–б – неустойчивой (график точку охватывает).

Если в составе САУ есть интегрирующие звенья, то АФХ при w = 0 обращается в бесконечность, т.е. график АФХ в этом случае начинается не на действительной оси, а приходит из бесконечности. В этом случае для оценки устойчивости по критерию Найквиста в контур включают не только кривую графика АФХ, но и часть окружности бесконечного радиуса, проводимой от действительной оси по часовой стрелке. Пример устойчивой САУ с АФХ такого вида показан на рис. 90–а , неустойчивой – на рис. 90–б .

Рис. 90

а)

б)

Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для АФХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:

Запишем по заданной W раз (p ) формулу расчета АФХ:

и, изменяя частоту w от 0 до +¥, построим график АФХ разомкнутой САУ с использованием математического пакета Mathcad (рис. 91). Для удобства анализа участок АФХ в области точки [–1, j 0], полученный для больших значений частоты w, показан на рис. 91 отдельным фрагментом. По фрагменту хорошо видно, что график охватывает точку [–1, j 0], следовательно замкнутая САУ является неустойчивой .

Рис. 91

6.2.4. Критерий Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ

Критерий Найквиста для логарифмической амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если для характеристик соответствующей ей разомкнутой системы выполняются два условия:

- при частоте равной частоте среза САУ w с модуль фазочастотной характеристики меньше 180 градусов: < 180°;

- при частоте равной w p значение ЛАЧХ меньше нуля: L (w p) < 0.

Как следует из формулировки критерия, для проверки его условий по характеристикам разомкнутой САУ первоначально необходимо определить две частоты: частоту среза w с и частоту w p . После этого для найденных значений частот следует проверить выполнимость обоих условий критерия.

Частотой среза САУ называется частота, при которой ЛАЧХ системы пересекает ось частот, то есть L (w с ) = 0. Эта частота также называется частотой единичного усиления САУ, так как сигнал этой частоты на выходе САУ имеет ту же амплитуду, что и на входе: А вых = А вх . Для этого случая справедливо:

Важно! Не путайте понятия частоты среза отдельных типовых звеньев САУ и всей системы в целом. Определение частот среза типовых звеньев рассмотрено в графе «Примечания» Приложения 1.

Частотой w p САУ называется частота, при которой ФЧХ САУ равняется 180° со знаком «плюс» или со знаком «минус». Если ФЧХ несколько раз пересекает ординату ±180, то выполнение условия проверяется для крайней правой точки.

Важно! Рассматриваемые характеристики – частоты среза w с и частота w p – имеются не у всякой САУ. Если ЛАЧХ системы вообще не пересекает ось частот, то есть L (w) ¹ 0 ни при каких значениях w, то у такой системы нет частоты среза. Аналогично, если ФЧХ системы ни при каких значениях частоты не принимает значение ±180°, то данная САУ не характеризуется параметром w p . В этих случаях для оценки устойчивости следует выбрать другие критерии.

На рис. 92–а показано, как по графикам ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ определить частоты w с и w p .

Рис. 92

а)

б)

ПРИМЕРЫ: 1) ЛАЧХ САУ без частоты среза w с; 2) ЛФЧХ САУ без частоты w p .

Проверим выполнимость условий критерия Найквиста для характеристик разомкнутой САУ, показанных на рис. 92–а . Определим графически величины L (w p) и j(w с ) как показано на рис. 92–б. Как видно, L (w p) < 0, а < 180°, т.е. оба условия критерия Найквиста выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является устойчивой . Из рис. 92–б также можно сделать вывод о том, что для устойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с < w p .

Для характеристик разомкнутой САУ на рис. 93–а L (w p) > 0, а > 180°, т.е. оба условия критерия Найквиста не выполняются, следовательно, замкнутая САУ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой, является неустойчивой . Из рис. 93–а также можно сделать вывод о том, что для неустойчивости САУ по критерию Найквиста достаточно, чтобы выполнялось условие w с > w p .

Рис. 93

а)

б)

Для характеристик разомкнутой САУ, которой соответствует замкнутая система, находящаяся на границе устойчивости , L (w p) = 0 и = 180°, w с = w p (см. рис. 93–б ). У такой системы для сигнала с частотой w с , т.е. с частотой единичного усиления, фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного составляет –180°. Это говорит о том, что после прохождения САУ величина сигнала меняет знак, сохраняя абсолютную величину (энергию), то есть устанавливаются незатухающие колебания. АФХ такой САУ показана на рис. 89 .

Рассмотрим пример оценки устойчивости по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ на примере замкнутой САУ, которой соответствует разомкнутая система с передаточной функцией вида:

Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ, построенные с использованием математического пакета Mathcad по формулам (11) и (12), приведены на рис. 94. Как видно по рисунку, ЛАЧХ равна нулю при w с » 13,5 с -1 . ЛФЧХ на частоте w p » 5,7 с -1 меняет знак – после того, как j(w) достигает значения –180° (радиус-вектор, поворачиваясь по часовой стрелки, переходит в верхнюю полуплоскость) отсчет фазового сдвига продолжается в области положительных значений. При этом из двух условий критерия Найквиста формально нарушается только второе: значение ЛАЧХ на частоте среза не является отрицательным (L (w p) » 18 > 0). Первое условие ( < 180°) формально выполняется: » 130° < 180°. Однако следует понимать, что опережение по фазе в 130° соответствует, при отсчете по часовой стрелке без смены знака, отставанию на величину:

j(w с ) = –360° + 130° = –230°,

следовательно, замкнутая САУ неустойчива. К такому же выводу можно придти, сравнив величины w с и w p: w с > w p . Оценка устойчивости этой САУ по критерию Найквиста для АФХ, выполненная в конце раздела 6.2.3, также показала отсутствие устойчивости.

Выполним проверку оценки устойчивости по критериям Найквиста с использованием теоремы Ляпунова. По заданной запишем с использованием формулы (18) характеристическое уравнение замкнутой САУ:

Решение характеристического уравнения замкнутой САУ, полученное с использованием математического пакета Mathcad, имеет вид:

Множество корней уравнения представлено в круглых скобках. Как видно, один из корней уравнения оказался отрицательным действительным числом –17,74, а два других – комплексными сопряженными числами с положительной действительной частью 3,657. Эти корни равны, соответственно, (3,657+ 12,22j ) и (3,657– 12,22j ). Т.о. по теореме Ляпунова замкнутая САУ неустойчива , что согласуется с результатами оценки устойчивости, полученными с применением обоих критериев Найквиста.

Рис. 94

Запасы устойчивости САУ

Технические характеристики устройств, входящих в состав САУ, меняются в процессе эксплуатации, и, следовательно, со временем изменяются и постоянные передаточной функции САУ. Следователь, недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно, чтобы она сохраняла устойчивость при некоторых изменениях параметров САУ в сравнении с расчетными, т.е. обладала запасами устойчивости . Запас определяет удаление системы от границы устойчивости.

Запасом устойчивости по амплитуде DL называется величина в децибелах, на которую нужно сместить вверх ЛАЧХ разомкнутой САУ так, чтобы привести соответствующую ей устойчивую замкнутую систему к границе устойчивости. На рис. 95 показано смещение вверх ЛАЧХ устойчивой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ).

где А(w p) < 1 – модуль АФХ на частоте w p .

Зная DL , можно определить величину коэффициента статического преобразования разомкнутой САУ, при которой соответствующая ей замкнутая система окажется на границе устойчивости:

;

,

(23)

где k

Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования для разомкнутой САУ с передаточной функцией вида:

ЛАЧХ и ЛФЧХ этой САУ показаны на рис. 96. По графикам характеристик видно, что частота среза САУ составляет w с » 50 с -1 , а ЛФЧХ достигает значения –180° на частоте w p » 100 с -1 и после этого меняет знак. Запас устойчивости по амплитуде для этой САУ равен
, следовательно, по формуле (23):

.

При изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр , ЛФЧХ САУ не изменится, а ЛАЧХ сместится вверх (см. рис. 96). Как видно, при найденном значении k гр = 425,975 частота среза разомкнутой САУ w с 1 становиться равной 100 с -1 , т.е. w с 1 = w p . А значит, в соответствии с критерием Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.

На рис. 97 показано смещение вниз ЛФЧХ разомкнутой САУ, исходные характеристики которой были рассмотрены в примере оценки устойчивости по критерию Найквиста (см. рис. 92–б ). Как видно, смещение исходной ЛФЧХ параллельно самой себе вниз на величину Dj(w с ) приводит к смещению частоты w p разомкнутой САУ влево : для новой ЛФЧХ, показанной пунктиром, значение этой частоты w p1 = w с , что, по критерию Найквиста для ЛАЧХ и ЛФЧХ, свидетельствует о нахождении замкнутой системы на границе устойчивости. Из рис. 97 следует, что величину Dj(w с ) можно определить как:

Напомним, что w с это частота единичного усиления: сигнал с такой частотой на выходе САУ имеет ту же величину амплитуды, что и на входе. Следовательно, длина радиус-вектора, проведенного в точку АФХ, которая соответствует w с , равна 1. Эту точку можно найти на графике АФХ по пересечению с окружностью единичного радиуса (см. рис. 98).

Из рис. 98 хорошо видно, что если график АФХ разомкнутой САУ повернуть на величину угла, равную Dj(w с ), то график будет проходить через точку [–1, j 0], что приведет замкнутую систему к границе устойчивости по критерию Найквиста для АФХ.

Для той же АФХ рассмотрим определение запаса устойчивости по амплитуде. Частоте w p соответствует фазовый сдвиг ±180°, следовательно, точку АФХ, соответствующую этой частоте, можно найти по пересечению графика с действительной осью (рис. 99). Модуль АФХ, определяющий коэффициент ослабления амплитуды сигнала с такой частотой на выходе САУ, равен длине радиус-вектора, проведенного из начала координат в соответствующую точку АФХ. Для АФХ на рис. 99 эта величина равна А(w p), и по ней с использованием формулы (22) можно рассчитать DL .

где k – коэффициент статического преобразования исходной разомкнутой САУ .

Рассмотрим пример определения граничного значения коэффициента статического преобразования по АФХ разомкнутой САУ, для которой ранее расчет k гр был выполнен по логарифмическим характеристикам (см. начиная с формулы (23) и до рис. 96). АФХ этой САУ с исходным значением k = 107 показана на рис. 100. Для удобства анализа графика в области точки [–1, j 0] его фрагмент показан отдельно. Как видно, у САУ с исходным значением k модуль АФХ А(w p) » 0,25, следовательно, по формуле (25):

Найденное значение k гр = 428 с удовлетворительной точностью совпадает с результатом расчета по ЛАЧХ (k гр = 425,975). Погрешности в расчетах обусловлены приближенным определением по графикам DL и А(w p).

Рис. 100

Как видно из рис. 100, при изменении коэффициента статического преобразования САУ до значения, равного k гр = 428, АФХ САУ пройдет через точку с координатами [–1, j 0], а значит, в соответствии с критерием Найквиста для АФХ, соответствующая рассматриваемой разомкнутой САУ замкнутая система действительно окажется на границе устойчивости.

Запасы устойчивости САУ по амплитуде DL и фазе Dj(w с ), наряду с показателями, определяемыми по переходной характеристике (см. раздел 2.3.2.), являются основными показателями качества управления.

Литература

1. Анхимюк, В.Л. Теория автоматического управления. / В.Л. Анхимюк, О.Ф. Опейко, Н.Н. Михеев; под ред. В.Л. Анхимюк. – Мн.: Дизайн ПРО, 2000. – 352 с.

2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, В.П. Попов. – М.: Наука, 1975. – 766с.

3. Андрющенко, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Андрющенко. – Л.: ЛГУ, 1990. – 256 с.

4. Клюев, А.С. Проектирование систем автоматизации технологических процессов: справочное пособие / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1990. – 464 с.

5. Клюев, А.С. Техника чтения схем автоматического управления и технологического контроля / А.С. Клюев, Б.В. Глазов и др. – М.: Энергоатомиздат, 1991. – 432 с.

6. Федоров, Ю.Н. Справочник инженера по АСУ ТП: проектирование и разработка: учеб.-практ. пособие / Ю.Н. Федоров. – М.: Инфра-Инженерия, 2008. – 928 с.

7. Поляков, К.Ю. Теория автоматического управления для «чайников». К.Ю. Поляков // Преподавание, наука и жизнь [Электронный ресурс]. – 2009. – Режим доступа: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Дата доступа: 01.06.2011.

8. Тихонов, А.И. Теория автоматического управления: курс лекций / А.И. Тихонов. – Иваново: ИГЭУ, 2002. – 188 с.

9. Яковлев, А.В. Система стабилизации частоты вращения электродвигателя: лабораторная работа по курсу «Технические средства САУ» /А.В. Яковлев. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 24 с.

10. Зайцев, Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г.Ф. Зайцев. – К.: Выща шк., 1989. – 431 с.

11. Туманов, М.П. Теория управления. Теория линейных систем автоматического управления: учебное пособие / М.П. Туманов. – М.: МГИЭМ, 2005. – 82 с.

12. Кузьменко, Н.В. Конспект лекций по дисциплине «Автоматизация технологических процессов и производств»: учеб. пособие / Н.В. Кузьменко. – Ангарск: АГТА, 2005. – 77 с.

13. Беспалов, А.В. Динамический звенья. Временные характеристики. Учеб. пособие / А.В. Беспалов, Н.И. Харитонов и др. – М.: РХТУ им. Д.И. Менделеева, 2001. – 80 с.

14. Савин, М.М. Теория автоматического управления: учеб. пособие / М.М. Савин, В.С. Елсуков, О.Н. Пятина. – Ростов на Дону: Феникс, 2007. – 469 с.

15. Филлипс, Ч. Системы управления с обратной связью / Ч. Филлипс, Р. Харбор. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 616 с.

10.1. Понятие структурной устойчивости. АФЧХ астатических САУ

САУ может быть неустойчивой по двум причинам: неподходящий состав динамических звеньев и неподходящие значения параметров звеньев.

САУ, неустойчивые по первой причине называются структурно неустойчивыми . Это означает, что изменением параметров САУ нельзя добиться ее устойчивости, нужно менять ее структуру.

Например, если САУ состоит из любого количества инерционных и колебательных звеньев, она имеет вид, показанный на рис.72. При увеличении коэффициента усиления САУ K каждая точка ее АФЧХ удаляется от начала координат, пока при некотором значении K крит АФЧХ не пересечет точку (-1, j0 ). При дальнейшем увеличении K , САУ будет неустойчива. И наоборот, при уменьшении K такую САУ в принципе возможно сделать устойчивой, поэтому ее называют структурно устойчивой .

Если САУ астатическая, то при ее размыкании характеристическое уравнение можно представить в виде: pD 1 p(p) = 0 , где n - порядок астатизма , равный количеству последовательно включенных интеграторов. Это уравнение имеет нулевые корни, поэтому при 0 , АФЧХ стремится к (рис.71в и 71г). Например, пусть W р (p) = , здесь = 1 , тогда АФЧХ разомкнутой САУ:

W(j) = = P() + jQ().

Так как порядок знаменателя больше порядка числителя, то при 0 имеем P() - , Q() -j . Подобная АФЧХ представлена на рис.73.

Так как АФЧХ терпит разрыв, трудно сказать, охватывает ли она точку (-1,j0) . В этом случае пользуются следующим приемом: если АФЧХ терпит разрыв, уходя в бесконечность при 0 , ее дополняют мысленно полуокружностью бесконечного радиуса, начинающейся на положительной вещественной полуоси и продолжающейся до АФЧХ в отрицательном направлении. После этого можно применить критерий Найквиста. Как видно из рисунка, САУ, имеющая одно интегрирующее звено, является структурно устойчивой.

Если САУ имеет два интегрирующих звена (порядок астатизма = 2 ), ее АФЧХ уходит в бесконечность во втором квадранте (рис.74). Например, пусть W р (p) = , тогда АФЧХ САУ:

W(j) = = P() + jQ().

При 0 имеем P() -, Q() + j. Такая САУ не будет устойчива ни при каких значениях параметров, то есть она структурно неустойчива.

Структурно неустойчивую САУ можно сделать устойчивой, включив в нее корректирующие звенья (например, дифференцирующие или форсирующие) или изменив структуру САУ, например, с помощью местных обратных связей.

10.2. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости .

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФЧХ разомкнутой САУ от критической точки в направлении вещественной оси и определяется расстоянием h от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.75).

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

Как уже отмечалось, с ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФЧХ и при некотором значении K = K кр АФЧХ пройдет через критическую точку (рис.76) и попадет на границу устойчивости, а при K > K кр замкнутая САУ станет неустойчива. Однако в случае “клювообразных” АФЧХ (получаются из-за наличия внутренних обратных связей) не только увеличение, но и уменьшение K может привести к потере устойчивости замкнутых САУ (рис.77). В этом случае запас устойчивости определяется двумя отрезками h 1 и h 2 , заключенными между критической точкой и АФЧХ.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости h и , за пределы которых она выходить не должна. Эти пределы выставляются в виде сектора, вычерчиваемого вокруг критической точки, в который АФЧХ разомкнутой САУ входить не должна (рис.78).

10.3. Анализ устойчивости по ЛЧХ

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по ЛЧХ разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФЧХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи K 1 2 . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая нет.(рис.79).

Если W 1 (p) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W 2 (p) = KW 1 (p) , где K = K 2 /K 1 . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K (безынерционное звено) и W 1 (p) , поэтому результирующие ЛЧХ строятся как сумма ЛЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L 2 () = 20lgK + L 1 () ,

а ЛФЧХ: 2 () = 1 () .

Пересечениям АФЧХ вещественной оси соответствует значение фазы = - . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ = - линии координатной сетки. При этом, как видно на АФЧХ, амплитуды A 1 () 2 () > 1 , что соответствует на САЧХ значениям L 1 () = 20lgA 1 () 2 () > 0 .

Сравнивая АФЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ = - будут соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю h 1 и h 2 , определенным по АФЧХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где = - , но в логарифмическом масштабе.

Особыми точками являются точки пересечения АФЧХ с единичной окружностью. Частоты c1 и c2 , при которых это происходит называют частотами среза .

В точках пересечения A() = 1 = > L() = 0 - ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось. Если при частоте среза фаза АФЧХ c1 > - (рис.79а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис.79б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии = - . И наоборот для неустойчивой замкнутой САУ (рис.79а кривая 2) c2 -, поэтому при = c2 ЛФЧХ проходит ниже линии = - . Угол 1 = c1 -(-) является запасом устойчивости по фазе. Этот угол соответствует расстоянию от линии = - до ЛФЧХ.

В каком квадранте уходит в бесконечность АФЧХ разомкнутой САУ если порядок астатизма равен трем? Является ли такая САУ структурно устойчивой в замкнутом состоянии:

Как сделать устойчивой структурно неустойчивую САУ?

Что называется запасом устойчивости по модулю?

Что называется запасом устойчивости по фазе?

В чем особенность определения запасов устойчивости для клювообразных САУ?

Как влияет коэффициент усиления САУ на запасы устойчивости?

Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛАЧХ оси w?

Чему соответствуют на АФЧХ пересечение ЛФЧХ значения j = -p?

Что называется частотой среза?

Сформулируйте критерий Найквиста для логарифмических характеристик.

В чем особенность логарифмических характеристик, если АФЧХ имеет клювообразный характер?

Устойчивость системы автоматического управления является одной из важнейших характеристик системы, т.к. от нее зависит работоспособность системы. Система, у которой отсутствует устойчивость, не может качественно решать задачу управления. Отсутствие устойчивости также может привести к разрушению самой системы в процессе управления или разрушению объекта управления, поэтому использование неустойчивых систем нецелесообразно.

Устойчивость системы автоматического управления - это свойство системы воз-

вращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему состояния первоначального равновесия.

Примером устойчивых и неустойчивых систем могут служить системы из шарика, расположенного на вогнутой и выпуклой поверхности, представленные на рисунке 60.

Рис.60. Примеры систем: а) устойчивой; б) неустойчивой

На рисунке 60а шарик, расположенный на вогнутой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, после окончания внешнего воздействия возвратится в положение первоначального равновесия. При отсутствии трения о поверхность или его минимальном значении шарик будет совершать непродолжительные колебания около положения равновесия до возвращения в первоначальное положение равновесия (кривая 1- затухающий колебательный процесс). При большом трении шарик возвратится в положение первоначального равновесия без колебаний (кривая 2 - апериодический процесс). При очень большом значении трения шарик может не вернуться в положение первоначального равновесия (кривая 3), но возвратится в область, близкую к положению равновесия. В рассмотренном случае налицо наличие устойчивой системы. В устойчивых САУ возникают подобные переходные процессы (затухающие колебательные и апериодические).

На рисунке 60б шарик, расположенный на выпуклой поверхности и смещенный в сторону определенным усилием, не возвратится в положение первоначального равновесия (кривая 4), поэтому система является неустойчивой. В неустойчивых системах возникают переходные процессы виде расходящихся колебаний (кривая 5) или апериодические (кривая 4).

Неустойчивость САУ, как правило, возникает из-за очень сильного действия обратной связи. Причинами динамической неустойчивости обычно являются значительные инерционные характеристики звеньев замкнутой системы, из-за которых сигнал обратной связи в режиме колебаний так отстает от входного сигнала, что оказывается с ним в фазе. Получается, что характер действия отрицательной обратной связи приобретает характер

положительной.

Составим математическое описание устойчивости и неустойчивости. Так как устойчивость системы зависит только от характера ее свободного движения, то данное свободное движение системы можно описать однородным дифференциальным уравнением:

характеристическое уравнение, которого будет представлено следующим выражением:

Общее решение однородного дифференциального уравнения (2.19.) представим в следующем виде:

где C k – постоянные, зависящие от начальных условий, p k – корни характеристического уравнения.

Корни характеристического уравнения могут быть комплексными (p k = α k ± jβ k ), действительными (p k = α k ) или мнимыми (p k = jβ k ). Комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой, т.е. если имеется корень уравнения с положительной мнимой частью, то обязательно будет существовать корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью. y(t) при t → ∞ из (2.21.) будет стремиться к нулю лишь тогда, когда каждое слагаемое С к е p k t → 0. Характер данной функции будет зависеть от вида корня. Возможные случаи расположения корней p k на комплексной плоскости и соответствующие им функции y(t) = С к е p k t представлены на рисунке 61. Вид функций показан внутри эллипсов.

Рис.61. Влияние расположения корней характеристического уравнения на

составляющие свободного движения системы

На рисунке 61 видно, что если каждому действительному корню p k = α k для выражения (2.21.) будет соответствовать слагаемое:

y к (t) = С к е α k t (2.22.)

тогда приα к < 0 (корень p 1) функция при t → ∞ будет стремиться к нулю, при α к > 0 (корень p 3 ) функция будет неограниченно возрастать, а при α к = 0 (корень p 2)функция будет оставаться постоянной.

Если характеристическое уравнение будет иметь комплексные корни, то каждой паре сопряженных комплексных корней p k, k+1 = α k ± jβ k , будут соответствовать два слагаемых, которые можно объединить и представить в виде следующего выражения:

Данная функция представляет собой синусоиду с изменяющейся по экспоненте амплитудой и частотой β k . При отрицательной действительной части двух комплексных корней α к, к+1 < 0 , (корни p 4 и p 5 )колебательная составляющая функции будет затухать, а при положительной действительной части α к, к+1 > 0 , (корни p 8 и p 9 ) амплитуда колебаний будет увеличиваться неограниченно. При отсутствии действительной части комплексных корней α к, к+1 = 0 (корни p 6 и p 7 ), т.е. наличии только мнимых корней, функция будет представлять собой незатухающую синусоиду с частотой β k .

Исходя из определения устойчивости, если первоначальное положение равновесия принимается за ноль, то у устойчивых систем величина выходного параметра с течением времени должна стремиться к нулю, т.е. система сама возвратится в положение равновесия. Необходимым и достаточным условием этого является, чтобы все слагаемые решения дифференциального уравнения (2.21.) с течением времени стремились к нулю, что может быть достигнуто при отрицательных действительных корнях уравнения, а комплексные корни должны иметь отрицательную действительную часть. Существование хотя бы одного положительного действительного корня или пары комплексных корней с положительной действительной частью приведет к тому, что величина выходного параметра системы не возвратится к первоначальному значению, т.е. система будет неустойчивой.

Анализируя местоположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости, представленное на рисунке 62, можно заметить, что САУ является устойчивой, если все корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости и все они являются действительными отрицательными или комплексными с отрицательной действительной частью. Наличие хотя бы одного корня в правой полуплоскости будет характеризовать неустойчивость системы.

Устойчивость системы является внутренним свойством системы, зависящим только от вида корней характеристического уравнения, описывающего свойства системы, и не зависящим от внешнего воздействия. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является положение всех корней уравнения в левой (отрицательной) полуплоскости.

Положительную и отрицательную полуплоскости, в которых находятся положительные или отрицательные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивость или неустойчивость системы, разделяет мнимая ось ± jβ . Данная ось является границей устойчивости, поэтому если у характеристического уравнения есть одна пара чисто мнимых корней p k, k+1 =± jβ k , а другие корни находятсяв отрицательной полуплоскости, то система характеризуется наличием незатухающих колебаний с частотой ω = β к. Принято считать, что в таком случае система находится на колебательной границе устойчивости .

Точка β = 0 на мнимой оси соответствует нулевому корню. Считается, что уравнение, имеющее один нулевой корень, находится на апериодической границе устойчивости , а при наличии двух нулевых корней система неустойчива.

Рис.62. Расположение корней характеристического уравнения устойчивой системы на

комплексной плоскости

Не стоит забывать, что уравнения почти всех реальных САУ не являются линейными, а приведены к линейным уравнениям с помощью линеаризации, поэтому допущения, сделанные при линеаризации, могут повлиять на правильность определения устойчивости системы.

А. М. Ляпунов в 1892 г. в своей работе «Общая задача об устойчивости движения» привел доказательство теоремы, в которой были сделаны следующие выводы для линеаризованных уравнений:

1. Если все действительные корни характеристического уравнения системы являются отрицательными, то система считается устойчивой.

2. Если хотя бы один действительный корень характеристического уравнения системы положительный, то система считается неустойчивой.

3. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то нельзя судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению.

Следовательно, вывод об устойчивости реальных систем необходимо делать на основе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.

Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают необходимое и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.

Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.

ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

Тема 4. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Диплом, это двадцать минут позора и кусок хлеба на всю жизнь. Временная функция многовариантна, характеристическое уравнение черт знает какого порядка, но система работает устойчиво. Стоит ли подводить под это дело еще и частотный анализ?

Владимир Кузьмин. Новосибирский геофизик Уральской школы. ХХ в.

Ты никогда не будешь достаточно знать, если не будешь знать больше чем достаточно.

Уильям Блейк.

Введение.

1. Критерии устойчивости. Понятие устойчивости системы. Условие устойчивости САУ. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Рауса. Критерий Гурвица.

2. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента. Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Найквиста.

3. Запас устойчивости систем. Понятие структурной устойчивости. Понятие запаса устойчивости. Анализ устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.

4. Точность систем. Статическая точность. Динамическая точность.

5. Качество систем. Показатели качества систем управления. Показатели качества переходного процесса. Последовательное корректирующее устройство. Параллельное корректирующее устройство. Метод Солодовникова. Программы анализа качества процессов управления.

6. Случайные процессы в системах. Модели случайных сигналов. Фильтрация помех. Фильтр Винера. Частотная характеристика фильтра.

Введение

Важнейшей задачей анализа динамических систем управления является решение вопроса об их устойчивости. Техническое понятие устойчивости систем автоматического управления отражает свойство технической системы не только стабильно работать в нормальных режимах, но и "не уходить вразнос" при отклонении всевозможных параметров системы от номинала и влиянии на систему дестабилизирующих воздействий, т. е. способности системе возвращаться к равновесному состоянию, из которого она выводится возмущающими или управляющими воздействиями. Устойчивость системы - техническое требование в ряду более сложных требований, связанных с показателями качества и точности САУ.

4.1 . КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ .

Понятие устойчивости системы. Система находится в состоянии равновесия, если при отсутствии воздействия на систему возмущающих факторов ошибка регулирования (разность между заданным и фактическим состоянием системы) стремится к нулю. Под устойчивостью понимается способность динамической системы возвращаться в равновесное состояние после окончания действия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система после воздействия возмущения удаляется от равновесного состояния или начинает совершать вокруг него колебания с нарастающей амплитудой.

Возникновение неустойчивых (расходящихся) колебаний в системе можно проследить на примере следящей системы с обратной связью (рис. 4.1.1). Допустим, что в установившемся состоянии равновесия при опорном сигнале u o на регуляторе Р выходное состояние объекта управления ОУ равно y уст. Это состояние поддерживается сигналом рассогласования е уст, который формируется в регуляторе Р по разности опорного сигнала и сигнала обратной связи у ос-уст, т.е. е уст = u o -у ос-уст. В первый момент включения системы в силу инерционности обратной связи у ос = 0, а, следовательно, e(t) >> е уст, что вызывает нарастание выходной величины y(t), которая будет стремиться к y(t) >> у уст по крайней мере, до тех пор, пока сигнал обратной связи не начнет уменьшать значение e(t). Однако значительно возросшая величина y(t) через ОС передается на вход регулятора системы и может настолько существенно уменьшить значение e(t), что это может привести к последующему снижению величины выходного сигнала до значений y(t) << у уст, т.е. к возникновению колебательного процесса относительно равновесного состояния. При неблагоприятном соотношении параметров системы колебательный процесс может быть незатухающим и даже расходящимся. Пример такого процесса в концертной акустике хорошо известен – свист из динамиков, если коэффициент обратной связи от динамиков на микрофоны на определенных частотах становится положительным.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы. Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы. Соответственно, и задача исследования систем на устойчивость может быть поставлена двояко:

1) устойчива ли система при заданном значении ее параметров;

2) в каких диапазонах можно изменять параметры системы, не нарушая ее устойчивости.

Вторая задача исследования имеет место при наладке и эксплуатации систем автоматического управления.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения для системы ищется в виде:

y(t) = у св (t) + у вын (t). (4.1.1)

Здесь у св (t) – свободная составляющая, общее решение однородного дифференциального уравнения с нулевой правой частью:

a 0 y (n) + a 1 y (n-1) + ... + a n-1 y’ + a n y = 0,

т.е. когда все внешние воздействия сняты, и состояние системы определяются лишь собственной структурой.

Функция у вын (t) представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения, под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t). Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденной. Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы при наличии на входе определенного воздействия u(t) или f(t) после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис. 4.1.2). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р. После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей у вын = y(t®∞). Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P o sin(wt+j), то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть у вын = y max sin(wt+j).

Только устойчивая система является работоспособной. Основы строгой теории устойчивости динамических систем были разработаны акад. А. М. Ляпуновым в работе «Общая задача об устойчивости движения» (1892 г.). Понятия об устойчивости, вытекающие из этой работы, заключаются в следующем.

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, то ее устойчивость не зависит от величины возмущения. Линейная система, устойчивая при малых возмущениях, будет устойчива и при больших. Нелинейные системы могут быть устойчивы при малых возмущениях и неустойчивы при больших.

Наглядное представление о системах, устойчивых при малых и неустойчивых при больших возмущениях, дает поведение шара во впадине на рисунке слева. При малых воздействиях на шар и его малых отклонениях не выше края впадины шар возвращается в исходное положение и система шар - поверхность устойчива. При больших воздействиях с отклонением за край впадины шар не возвращается в исходное положение - система неустойчива. Поэтому устойчивость систем исследуется отдельно для случая малых и больших возмущений.

Проблема устойчивости обычно возникает в замкнутых системах из-за влияния обратной связи. Поэтому в дальнейшем устойчивость исследуется на примерах замкнутых систем, хотя методы исследования устойчивости универсальны.

Условие устойчивости САУ. Применительно к сигналам в САУ частное решение для вынужденной составляющей обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Вопрос устойчивости сводится к выяснению устойчивости свободного движения системы и требует анализа характера решения уравнения свободного движения, составленного относительно отклонения выходной величины y(t) от установившегося состояния.

Как известно, передаточная функция любой линейной динамической системы может быть приведена к виду:

W(p) = K(p)/H(p) =

= / , (4.1.2)

где a и b - постоянные коэффициенты, которые представляют собой вещественные числа и выражаются через конкретные физические параметры элементов системы. Полином К(р) может не содержать членов с оператором р и представлять собой произведение коэффициентов передачи звеньев, образующих систему.

Важнейшим свойством выражения (4.1.2) является условие n≥m, т. е. порядок полинома Н(р) знаменателя передаточной функции не ниже порядка полинома К(р) ее числителя. Это условие вытекает из физических свойств звеньев реальных динамических систем.

PAGE \* MERGEFORMAT 14

Лекция №4

Устойчивость САУ

Свойство системы приходить в исходное состояние после снятия возмущения называется устойчивостью.

Определение.

Кривые 1 и 2 характеризуют устойчивую систему, кривые 3 и 4 характеризуют системы неустойчивые.ε

Системы 5 и 6 на границе устойчивости  5 - нейтральная система, 6 - колебательная граница устойчивости.

Пусть дифференциальное уравнение САУ в операторной форме имеет вид 

Тогда решение дифференциального уравнения (движение системы) состоит из двух частей  Вынужденное движение того же вида что и входное воздействие.

При отсутствии кратных корней где С i -постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий,

 1 ,  2 …,  n – корни характеристического уравнения

Расположение корней характеристического

уравнения системы на комплексной плоскости

Корни характеристического уравнения не зависят ни от вида возмущения, ни от

начальных условий, а определяются только коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 ,…,а n , то есть параметрами и структурой системы.

1-корень действительный, больше нуля;

2-корень действительный, меньше нуля;

3-корень равен нулю;

4-два нулевых корня;

5-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых

Положительна;

6-два комплексных сопряженных корня, действительная часть которых отрицательная;

7-два мнимых сопряженных корня.

Методы анализа устойчивости :

1. Прямые (основаны на решении дифференциальных уравнений);
2. Косвенные (критерии устойчивости).

Теоремы А.М. Ляпунова.

Теорема 1.

Теорема 2.

Примечания:

1. Если среди корней характеристического уравнения имеется два и более нулевых корня, то система неустойчива.
2. Если один корень нулевой, а все остальные находятся в левой полуплоскости, то система нейтральна.
3. Если 2 корня мнимые сопряженные, а все остальные в левой полуплоскости, то система на колебательной границе устойчивости.

Критерии устойчивости САУ.

Критерий устойчивости - это правило, позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

В 1877г. Раус установил:

1. Критерий устойчивости Гурвица

Критерий разработан в 1895г.

Пусть определено характеристическое уравнение замкнутой системы: уравнение приводим к виду, чтобы a 0 >0.

Составим главный определитель Гурвица по следующему правилу:

по главной диагонали записываются коэффициенты уравнения, начиная со второго по последний, столбцы вверх от диагонали заполняются коэффициентами с возрастающими индексами, а столбцы вниз от диагонали - коэффициентами с убывающими индексами. В случае отсутствия в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше 0 и больше n пишут нуль.

Выделим диагональные миноры или простейшие определители в главном определителе Гурвица:

Формулировка критерия.

Для систем выше второго порядка кроме положительности всех коэффициентов характеристического уравнения необходимо выполнение следующих неравенств:

1. Для систем третьего порядка:
2. Для систем четвертого порядка:
3. Для систем пятого порядка:

1. Для систем шестого порядка:

Пример. Дано характеристическое уравнение исследовать устойчивость системы по Гурвицу.

Для устойчивых систем необходимо и

2. Критерий Рауса

Критерий Рауса используется при исследовании устойчивости систем высокого порядка.

Формулировка критерия:

Таблица Рауса.

Алгоритм заполнения таблицы: в первой и второй строках записываются коэффициенты уравнения с четными и нечетными индексами; элементы остальных строк вычисляются по следующему правилу:

Достоинство критерия: можно исследовать устойчивость систем любого порядка.

2. Критерий устойчивости Найквиста

Принцип аргумента

В основе частотных методов лежит принцип аргумента.

Проведем анализ свойств многочлена вида:

Где  i - корни уравнения

На комплексной плоскости каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень  i можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку  i : |  i | - длина вектора, arg  i - угол между вектором и положительным направлением оси абсцисс. Отобразим D(p) в пространство Фурье, тогда где j  -  i - элементарный вектор.

Концы элементарных векторов находятся на мнимой оси.

Модуль вектора, а аргумент (фаза)

Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ. Тогда при изменении  от до каждый элементарный вектор (j  -  i ) повернется на угол +  , если  i лежит в левой полуплоскости.

Пусть D ( )=0 имеет m корней в правой полуплоскости и n - m корней в левой, тогда при возрастании  от до изменение аргумента вектора D(j  ) (угол поворота D(j  ), равный сумме изменений аргументов элементарных векторов) будет

Принцип аргумента:

Критерий Найквиста базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ, так как по виду частотных характеристик разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Критерий Найквиста нашел широкое применение в инженерной практике по следующим причинам:

1. Устойчивость системы в замкнутом состоянии исследуют по частотной передаточной функции ее разомкнутой цепи, а эта функция, чаще всего состоит из простых сомножителей. Коэффициентами являются реальные параметры системы, что позволяет выбирать их из условий устойчивости.
2. Для исследования устойчивости можно использовать экспериментально полученные частотные характеристики наиболее сложных элементов системы (объект регулирования, исполнительный орган), что повышает точность полученных результатов.
3. Исследовать устойчивость можно по ЛЧХ, построение которых несложно.
4. Удобно определять запасы устойчивости.

1. Система, устойчивая в разомкнутом состоянии

Пусть введем вспомогательную функцию заменим p  j  , тогда

Согласно принципа аргумента изменение аргумента D(j  ) и D з (j  ) при 0<  <  равно Тогда то есть годограф W 1 (j  ) не должен охватывать начало координат.

Для упрощения анализа и расчетов сместим начало радиуса-вектора из начала координат в точку (-1, j 0), а вместо вспомогательной функции W 1 (j  ) используем АФХ разомкнутой системы W (j  ).

Формулировка критерия №1

Примеры.

Отметим, что разность числа положительных и отрицательных переходов АФХ левее точки (-1, j 0) равна нулю.

2. Система, имеющая полюсы на мнимой оси в разомкнутом состоянии

Для анализа устойчивости системы АФХ дополняют окружностью бесконечно большого радиуса при  0 против часовой стрелки до положительной вещественной полуоси при нулевых полюсах, а в случае чисто мнимых корней - полуокружностью по часовой стрелке в точке разрыва непрерывности АФХ.

Формулировка критерия №2

1. Система с неустойчивой разомкнутой цепью

Более общий случай - знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Появление неустойчивости разомкнутой системы вызывается двумя причинами:

1. Следствием наличия неустойчивых звеньев;
2. Следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительной или отрицательной обратными связями.

X отя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательным и его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи .

Пусть характеристический многочлен D (p ) разомкнутой системы имеет m корней с положительной вещественной частью.

Тогда

Вспомогательная функция при замене p  j  согласно принципа аргумента для устойчивых замкнутых систем должна иметь следующее изменение аргумента при

Формулировка критерия №3

Формулировка Я.З. Цыпкина

Критерий Найквиста для ЛЧХ

Примечание: фазовая характеристика ЛЧХ астатических систем дополняется монотонным участком +  /2 при  0.

Пример 1. Здесь m =0  система устойчива, но при уменьшении k система может быть неустойчива, поэтому такие системы называются условно-устойчивыми.

Пример 2. 20 lgk 1/ T 0 Здесь При любых k система неустойчива. Такие системы называются структурно-неустойчивыми.

Пример 3. АФХ охватывает точку с координатами (-1, j 0) 1/2 раза, следовательно замкнутая система устойчива.

Пример 4. при  0 АФХ имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси. На участке от -1 до -  имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна -1/2, а для устойчивости замкнутой системы требуется +1/2, так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень - система неустойчива.

Абсолютно-устойчивой называют систему, которая сохраняет устойчивость при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи, иначе система условно- устойчивая.

Системы, которые можно сделать устойчивыми путём изменения их параметров, называются структурно-устойчивыми , иначе – структурно-неустойчивыми.

Запасы устойчивости

Для нормального функционирования всякая САР должна быть удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас устойчивости. Необходимость этого обусловлена следующими причинами:

1. Уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, при их составлении не учитывают второстепенные факторы;
2. При линеаризации уравнений погрешности приближения дополнительно увеличиваются;
3. Параметры элементов определяют с некоторой погрешностью;
4. Параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;
5. При эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.

В практике инженерных расчетов наиболее широко используют определение запаса устойчивости на основе критерия НАЙКВИСТА, по удалению АФХ разомкнутой системы от критической точки с координатами (-1, j 0), что оценивают двумя показателями: запасом устойчивости по фазе  и запасом устойчивости по модулю (по амплитуде) H .

Для того чтобы САР имела запасы устойчивости не менее  и H , АФХ ее разомкнутой цепи при удовлетворении критерия устойчивости не должна заходить в часть кольца, заштрихованного на рис. 1, где H определяется соотношением

Если устойчивость определяется по ЛЧХ условно-устойчивых систем, то для обеспечения запасов устойчивости не менее  и h необходимо, чтобы:

а) при h  L  - h фазо-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам θ > -180  +  или θ < -180  -  , т.е. не заходила в заштрихованную область 1 на рис. 2;

б) при -180  +   θ  -180  -  амплитудно-частотная характеристика удовлетворяла неравенствам L < - h или L > h , т.е. не заходила в заштрихованные области 2" и 2"" на рис. 2.

Для абсолютно устойчивой системы запасы устойчивости  и h определяют так, как показано на рис. 3:

1. Запас по фазе

1. Запас по модулю h =- L (ω -π ), где ω -π – частота, при которой θ=-180 ˚ .

Необходимые значения запасов устойчивости зависит от класса САР и требований к качеству регулирования. Ориентировочно должно быть  =30  60  и h =6  20дБ.

Минимально допустимые запасы устойчивости по амплитуде должны быть не менее 6дБ (то есть передаточный коэффициент разомкнутой системы в два раза меньше критического), а по фазе не менее 25  30  .

Устойчивость системы со звеном чистого запаздывания

Если АФХ разомкнутой системы проходит через точку (-1, j 0), то система на грани устойчивости.

Систему с чистым запаздыванием можно сделать устойчивой, если в схему включить безынерционное звено с передаточным коэффициентом, меньшим 1. Возможны и другие виды корректирующих устройств.

Структурно-устойчивые и структурно-неустойчивые системы

Один из способов изменения качества системы (в смысле устойчивости) – это изменить передаточный коэффициент разомкнутой системы.

При изменении k L ( ) поднимется либо опускается. Если k увеличивать, L ( ) поднимается и  ср будет возрастать, а система останется неустойчивой. Если k уменьшать, то систему можно сделать устойчивой. Это один из способов коррекции системы.

Системы, которые можно сделать устойчивыми путем изменения параметров системы, называются СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВЫМИ.

Для этих систем есть критический передаточный коэффициент разомкнутой системы. K крит. – это такой передаточный коэффициент, когда система на грани устойчивости.

Существуют системы СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВЫЕ – это такие системы, которые невозможно сделать устойчивыми изменением параметров системы, а требуется для устойчивости изменять структуру системы.

Пример.

Рассмотрим три случая:

1. Пусть

Тогда

Проверим работу системы на устойчивость.

Δ = а 3 Δ 2 >0.

Для определения k рс.кр. приравняем нулю  2 .

Тогда

При при

Рассматриваемая система СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ, так как ее можно стабилизировать путем изменения параметров звеньев.

1. Пусть и те же, что в первом случае.

Теперь Статической ошибки по каналу управления нет.

Условия устойчивости по Гурвицу:

Пусть  2 =0, тогда если то система неустойчивая.

Данная система с астатизмом 1-го порядка СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВАЯ.

1. Пусть

Всегда система неустойчива. Эта система СТРУКТУРНО-НЕУСТОЙЧИВАЯ.