Комбинаторика — раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика возникла в XVI веке. Первые комбинаторные задачи касались азартных игр. Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров, для решения других проблем теории информации.

Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их представлений, изучении основ геометрии, неассоциативных алгебр и др.

Пример комбинаторной задачи. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

I способ. Постараемся выписать все такие числа. На первом месте может стоять любая цифра кроме 0. Например, 2. На втором месте любая цифра из 0, 4, 6 и 8. Пусть 0. Тогда в качестве третьей цифры можно выбрать любую из 4, 6, 8. Получаем три числа

Вместо 0 на второе место можно было поставить 4, тогда третье цифрой можно записать или 0, или 6, или 8:

Рассуждая аналогично, получаем ещё две тройки трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте:

Других, кроме выписанных 12-ти, трёхзначных чисел с цифрой 2 на первом месте, и удовлетворяющих условию, нет.

Если на первом месте записать цифру 4, а остальные выбирать из цифр 0, 2, 6, 8, то получим ещё 12 чисел:

По столько же трёхзначных чисел можно составить с цифрой 6 на первом месте и цифрой 8 на первом месте. Значит, искомое количество:

Вот эти числа:

204, 206, 208, 240, 246, 248, 260, 264, 268, 280, 284, 286;

402, 406, 408, 420, 426, 428, 460, 462, 468, 480, 482, 486;

602, 604, 608, 620, 624, 628, 640, 642, 648, 680, 682, 684;

802, 804, 806, 820, 824, 826, 840, 842, 846, 860, 862, 864.

Ответ: 48. ◄

Метод рассуждения, которым мы воспользовались при решении предыдущей задачи, называется перебором возможных вариантов .

Правила сложения и умножения

Комбинаторное правило сложения (правило "или") — одно из основных правил комбинаторики, утверждающее, что, если имеется n элементов и элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 A n можно выбрать m n способами, то выбрать или A 1 , или A 2 , или, и так далее, A n можно

m 1 + m 2 + ... + m n

способами.

Например, выбрать подарок ребёнку из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог можно

способами.

Ответ: 19. ◄

Правило умножения (правило "и") — ещё одно из важных правил комбинаторики. Согласно ему, если элемент A 1 можно выбрать m 1 способами, элемент A 2 можно выбрать m 2 способами и так далее, элемент A n можно выбрать m n способами, то набор элементов (A 1 , A 2 , ... , A n ) можно выбрать

m 1 · m 2 · ... · m n

способами.

Например.

1) Выбрать ребёнку в подарок машинку, плюшевого медведя и железную дорогу, выбирая из 9 машинок, 7 плюшевых медведей и 3 железных дорог, можно

9 · 7 · 3 = 189

способами.

Ответ: 189.

2) Воспользуемся правилом умножения для решения задачи, уже рассмотренной выше: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

II способ.

0 не может стоять первым, значит первую цифру нужно выбрать из 2, 4, 6, 8 — 4 способа;

второй цифрой может быть любая из четырёх оставшихся — 4 способа;

третью цифру можно выбрать среди трёх оставшихся — 3 способа.

Итак, искомое количество трёхзначных чисел:

4 · 4 · 3 = 48.

Ответ: 48. ◄

Перестановки

Множество из n элементов называется упорядоченным , если каждому его элементу поставлено в соответствие натуральное число от 1 до n .

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество из n элементов.

Например, из 4 элементов ♦ ♣ ♠ можно составить следующие 24 перестановки:

♦ ♣ ♠	♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♠ ♣	♦ ♠ ♣	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♦ ♠	♣ ♦ ♠	♠ ♦ ♣
♦ ♣ ♠	♣ ♠ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♦ ♣	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦
♦ ♠ ♣	♠ ♣ ♦	♣ ♠ ♦	♠ ♣ ♦

◄

Количество перестановок из n элементов принято обозначать P n . С помощью перебора возможных вариантов легко убедиться, в том что

P 1 = 1; P 2 = 2; P 3 = 6; P 4 = 24.

Вообще, число всевозможных перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n , то есть n ! (читается "эн факториал"):

P n = 1 · 2 · 3 · ... · (n - 1 ) · n = n !.

Для P n справедлива рекуррентная формула:

P n = n · P n - 1 .

Значение факториала определено не только для натуральных чисел, но и для 0:

0! = 1 .

Таблица факториалов целых чисел от 0 до 10
n		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n !	1	1	2	6	24	120	720	5 040	40 320	362 880	3 628 800

Например, сколькими способами 5 мальчиков и 5 девочек могут занять в театре места в одном ряду с 1-го по 10-е место, если никакие два мальчика и никакие две девочки не сидят рядом?

Возможны два случая с одинаковым количеством способов: 1) мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных и 2) наоборот.

Рассмотрим первый случай. Мальчики по нечётным местам могут сесть

P 5 = 120

способами. Столько способов и для девочек на чётных местах. Согласно правилу умножения, мальчики — на нечётных местах, девочки на чётных могут расположиться

120 · 120 = 14 400

способами. Значит, всего способов

14 400 + 14 400 = 28 800.

Ответ: 28 800. ◄

Перестановки с повторениями

Перестановкой с повторениями из n элементов, среди которых k разных, при этом насчитывается n 1 неразличимых элементов первого типа, n 2 неразличимых элементов второго типа и так далее, n k неразличимых элементов k -го типа (где n 1 + n 2 + … + n k = n ), называется любое расположение этих элементов по n различным местам.

Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n 1 , n 2 , …, n k раз каждый обозначается и вычисляется следующим образом:$$P_{n_1,n_2, ... , n_k}=\frac{n!}{n_1!n_2! ... n_k!}~.$$

Например, сколько различных десятизначных чисел можно составить из цифр: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4?

В данном случае: n = 10, n 1 = 1, n 2 = 2, n 3 = 3, n 4 = 4,$$P_{1, 2, 3, 4}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=\frac{10!}{1!2! 3! 4!}=12~600.$$

Ответ: 12 600. ◄

Размещения

Размещением из n элементов по m (m ≤ n) m элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Два размещения из n элементов по m считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

Например, составим все размещения из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

A B; A C;A D;

B A; B C; B D;

C A; C В; C D;

D A; D В; D C.

◄

Число всех размещений из n элементов по m обозначают \(A_n^m\) (читается: "А из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$A_n^m=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot ...\cdot (n-m+1)\\A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

Примеры задач.

1) Воспользуемся понятием размещений из n элементов по m для решения задачи, уже дважды рассмотренной ранее: Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

II I способ.

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами из набора 2, 4, 6, 8. В каждом из этих случаев количество пар второй и третей цифры равно числу размещений из 4 оставшихся цифр по 2. Значит искомое количество трёхзначных чисел равно:$$4\cdot A_4^2=4\cdot \frac{4!}{(4-2)!}=4\cdot \frac{4!}{2!}=4\cdot (3\cdot 4)=48.$$Ответ: 48.

2) Для полёта в космос необходимо укомплектовать экипаж из шести человек. В него должны входить: командир корабля, первый и второй его помощники, два бортинженера, один из которых старший, и один врач. Командный состав выбирается из 20 лётчиков, бортинженеры — из 15 специалистов, а врач — из 5 медиков. Сколькими способами можно укомплектовать экипаж?

Поскольку в выборе командного состава важен порядок, то командира и двух его помощников можно выбрать \(A_{20}^3\) способами. Порядок бортинженеров тоже важен, значит, для их выбора существует \(A_{15}^2\) способов. Врач всего один, для его выбора существует 5 способов. Воспользуемся комбинаторным правилом умножения и найдём количество возможных экипажей корабля:$$A_{20}^3\cdot A_{15}^2\cdot 5=\frac{20!}{17!}\cdot \frac{15!}{13!}\cdot 5=(18\cdot 19\cdot 20)\cdot (14\cdot 15)\cdot 5=7~182~000.$$Ответ: 7 182 000. ◄

Понятно, что, если m = n , то$$A_n^m=A_n^n=P_n=n!.$$

Справедливо также, что, если m = n - 1 , то$$A_n^{n-1}=A_n^n=P_n=n!.$$

Размещения с повторениями

Помимо обычных размещений бывают и размещения с повторениями или выборки с возвращением .

Пусть имеется n различных объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем под номером 1 его название, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был только что взят), запишем его название, пометив номером 2, и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Размещения с повторениями обозначаются \(\overline{A}_n^m\) и, согласно правилу умножения, вычисляются по формуле$$\overline{A}_n^m=n^m.$$Заметим, что здесь допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Это неудивительно: каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован повторно.

Например, количество вариантов шестизначного пароля, в котором каждый знак является цифрой от 0 до 9 или буквой латинского алфавита (одна и та же строчная и прописная буква — один символ) и может повторяться, равно:$$\overline{A}_{10+26}^6=\overline{A}_{36}^6=36^6=2~176~782~336.$$Если же строчные и прописные буквы считаются различными символами (как это обычно и бывает), то количество возможных паролей становится ещё более колоссальным:$$\overline{A}_{10+26+26}^6=\overline{A}_{62}^6=62^6=56~800~235~584.$$

◄

Сочетания

Сочетанием из n элементов по m (m ≤ n) называется любое множество, состоящее из m элементов, выбранных из данных n элементов.

В отличии от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по m считаются различными, если они различаются хотя бы одним элементом.

Например, составим все сочетания из четырёх элементов A, B, C, D по два элемента:

A B; A C;A D;

B C; B D;

C D .

◄

Число всех сочетаний из n элементов по m обозначают \(C_n^m\) (читается: "C из n по m ") и вычисляется по любой из формул:$$C_n^m=\frac{A_n^m}{P_m}$$$$C_n^m=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)~\cdot~ ...~\cdot~ (n-m+1)}{1\cdot2\cdot3~\cdot~...~\cdot ~m}$$$$C_n^m=\frac{n!}{m!\cdot (n-m)!}.$$

Примеры задач.

1) Бригада, занимающаяся ремонтом школы, состоит из 12 маляров и 5 плотников. Из них для ремонта физкультурного зала надо выделить 4 маляров и 2 плотников. Сколькими способами можно это сделать?

Так как порядок маляров в каждой выбранной четвёрке и порядок плотников в каждой выбранной паре не имеет значения, то, согласно комбинаторному правилу умножения, искомое количество способов равно:$$C_{12}^4 \cdot C_5^2 =\frac{12!}{4!\cdot 8!}\cdot \frac{5!}{2!\cdot 3!}=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \frac{4\cdot5}{1\cdot 2}=4~950.$$Ответ: 4 950. ◄

2) В классе обучаются 30 учащихся, среди которых 13 мальчиков и 17 девочек. Сколькими способами можно сформировать команду из 7 учащихся этого класса, если в неё должна входить хотя бы одна девочка?

Количество всех возможных команд по 7 человек из класса равно \(C_{30}^7\). Количество команд в которых только мальчики — \(C_{13}^7\). Значит, количество команд, в которых есть хотя бы одна девочка, равно:$$C_{30}^7 - C_{13}^7 =\frac{30!}{7!\cdot 23!} - \frac{13!}{7!\cdot 6!}=2~035~800-1~716=2~034~084.$$Ответ: 2 034 084. ◄

Сочетания с повторениями

Помимо обычных сочетаний рассматривают сочетания с повторениями .

Пусть в множестве имеется n объектов. Выберем из них m штук, действуя по следующему принципу. Возьмём любой, но не будем его устанавливать в какой-то ряд, а просто запишем, сам же объект после этого вернём к остальным. Затем опять из всех n объектов выберем один (в том числе, возможно, и тот, который был взят и записан ранее), запишем его название и снова вернём объект обратно. И так далее, пока не получим m названий.

Принципиальное отличие от размещений с повторениями заключается в том, что в данном случае элементы списка не нумеруются. Например, список "A, С, A, В" и список "А, А, В, С" считаются одинаковыми.

Сочетания с повторениями обозначаются \(\overline{C}_n^m\) и вычисляются по формуле$$\overline{C}_n^m=P_{m,~n-1}=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$И ещё один способ записи той же формулы:$$\overline{C}_n^m=C_{m+n-1}^m=\frac{(m+n-1)!}{m!\cdot (n-1)!}.$$Заметим, что подобно размещениям с повторениями, допустим случай, когда m > n , то есть выбранных объектов больше, чем их всего имеется. Действительно, каждый объект после "использования" возвращается обратно и может быть использован снова и снова.

Например, выясним сколькими способами можно купить 7 пирожных в кондитерском отделе, если в продаже 4 их сорта?

Естественно полагать, что количество пирожных каждого вида не меньше 7, и при желании можно купить только пирожные одного из них. Так как порядок в котором кладут купленные пирожные в коробку не важен, то имеем дело с сочетаниями с повторениями. Так как нужно выбрать 7 пирожных из 4 его видов, то искомое количество способов равно:$$\overline{C}_4^7=\frac{(7+4-1)!}{7!\cdot (4-1)!}=\frac{10!}{7!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3}=120.$$

Ответ: 120. ◄

Бином Ньютона и биномиальные коэффициенты

Равенство$$(x+a)^n=C_n^0x^na^0+C_n^1x^{n-1}a^1+...+C_n^mx^{n-m}a^m+...+C_n^nx^0a^n$$называют биномом Ньютона или формулой Ньютона . Правая часть равенства называется биномиальным разложением в сумму , а коэффициенты \(C_n^0,~C_n^1,~...~,~C_n^n\) — биномиальными коэффициентами .

Свойства биномиальных коэффициентов:

\(~~~~~~~~1.~~C_n^0=C_n^n=1\\ ~~~~~~~~2.~~C_n^m=C_n^{n-m}\\ ~~~~~~~~3.~~C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\\ ~~~~~~~~4.~~C_n^0+C_n^1+C_n^2+~...~+C_n^n=2^n\\ ~~~~~~~~5.~~C_n^0+C_n^2+C_n^4+~... =C_n^1+C_n^3+C_n^5+~...=2^{n-1}\\ ~~~~~~~~6.~~C_n^n+C_{n+1}^n+C_{n+2}^n+~...~+C_{n+m-1}^n=C_{n+m}^{n+1}\\ \)

Свойства биномиального разложения:

1. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома,

то есть равно n + 1 .

2. Сумма показателей степеней x и a каждого члена разложения равна показателю степени бинома,

то есть (n - m) + m = n .

3. Общий член разложения (обозначается T n +1 ) имеет вид$$T_{n+1}=C_n^m x^{n-m}a^m,~~~~m=0,~1,~2,~...~,~n.$$

Треугольник Паскаля

Все возможные значения биномиальных коэффициентов (числа сочетаний) для каждого показателя степени бинома n можно записать в виде бесконечной треугольной таблицы. Такая таблица называется треугольником Паскаля:

					\(C_0^0\)
				\(C_1^0\)		\(C_1^1\)
			\(C_2^0\)		\(C_2^1\)		\(C_2^2\)
		\(C_3^0\)		\(C_3^1\)		\(C_3^2\)		\(C_3^3\)
	\(C_4^0\)		\(C_4^1\)		\(C_4^2\)		\(C_4^3\)		\(C_4^4\)
\(C_5^0\)		\(C_5^1\)		\(C_5^2\)		\(C_5^3\)		\(C_5^4\)		\(C_5^5\)
	. . .				. . .				. . .

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1. Действительно, \(C_n^0=C_n^n=1\). А каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним: \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\).

Таким образом, этот треугольник предлагает ещё один (рекуррентный) способ вычисления чисел \(C_n^m\):

n = 0									1
n = 1								1		1
n = 2							1		2		1
n = 3						1		3		3		1
n = 4					1		4		6		4		1
n = 5				1		5		10		10		5		1
n = 6			1		6		15		20		15		6		1
n = 7		1		7		21		35		35		21		7		1
n = 8	1		8		28		56		70		56		28		8		1
...				...				...		...				...

Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Правило умножения (основная формула комбинаторики)

Общее число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждой группы и расставить их в определенном порядке (то есть получить упорядоченную совокупность ), равно:

Пример 1

Монету подбросили 3 раза. Сколько различных результатов бросаний можно ожидать?

Решение

Первая монета имеет альтернативы – либо орел, либо решка. Для второй монеты также есть альтернативы и т.д., т.е. .

Искомое количество способов:

Правило сложения

Если любые две группы и не имеют общих элементов, то выбор одного элемента или из , или из , …или из можно осуществить способами.

Пример 2

На полке 30 книг, из них 20 математических, 6 технических и 4 экономических. Сколько существует способов выбора одной математической или одной экономической книги.

Решение

Математическая книга может быть выбрана способами, экономическая - способами.

По правилу суммы существует способа выбора математической или экономической книги.

Размещения и перестановки

Размещения – это упорядоченные совокупности элементов, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Размещения без повторений , когда отобранный элемент перед отбором следующего не возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором без возвращения, а его результат – размещением без повторений из элементов по .

Число различных способов, которыми можно произвести последовательный выбор без возвращения элементов из генеральной совокупности объема , равно:

Пример 3

Расписание дня состоит из 5 различных уроков. Определите число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11, отличающихся от других вариантов как составом, так и порядком следования. поэтому:

Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок множества из элементов равно

Пример 4

Сколькими способами можно рассадить 4 человек за одним столом?

Решение

Каждый вариант рассадки отличается только порядком участников, то есть является перестановкой из 4 элементов:

Размещения с повторениями , когда отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Такой выбор называется последовательным выбором с возвращением, а его результат - размещением с повторениями из элементов по .

Общее число различных способов, которыми можно произвести выбор с возвращением элементов из генеральной совокупности объема , равно

Пример 5

Лифт останавливается на 7 этажах. Сколькими способами могут выйти на этих этажах 6 пассажиров, находящихся в кабине лифта?

Решение

Каждый из способов распределения пассажиров по этажам представляет собой комбинацию 6 пассажиров по 7 этажам, отличающуюся от других комбинаций как составом, так и их порядком. Так как одном этаже может выйти как один, так и несколько пассажиров, то одни и те же пассажиры могут повторяться. Поэтому число таких комбинаций равно числу размещений с повторениями из 7 элементов по 6:

Сочетания

Сочетаниями из n элементов по k называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Пусть из генеральной совокупности берется сразу несколько элементов (либо элементы берут последовательно, но порядок их появления не учитывается). В результате такого одновременного неупорядоченного выбора элементов из генеральной совокупности объема получаются комбинации, которые называются сочетаниями без повторений из элементов по .

Число сочетаний из элементов по равно:

Пример 6

В ящике 9 яблок. Сколькими способами можно выбрать 3 яблока из ящика?

Решение

Каждый вариант выбора состоит из 3 яблок и отличается от других только составом, то есть представляет собой сочетания без повторений из 9 элементов:

Количество способов, которыми можно выбрать 3 яблока из 9:

Пусть из генеральной совокупности объема выбирается элементов, один за другим, причем каждый отобранный элемент перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность. При этом ведется запись, какие элементы появились и сколько раз, однако порядок их появления не учитывается. Получившиеся совокупности называются сочетаниями с повторениями из элементов по .

Число сочетаний с повторениями из элементов по :

Пример 7

На почте продают открытки 3 видов. Сколькими способами можно купить 6 открыток?

Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями из 3 по 6:

Разбиение множества на группы

Пусть множество из различных элементов разбивается на групп так, то в первую группу попадают элементов, во вторую - элементов, в -ю группу - элементов, причем . Такую ситуацию называют разбиением множества на группы.

Число разбиений на групп, когда в первую попадают элементов, во вторую - элементов, в k-ю группу - элементов, равно:

Пример 8

Группу из 16 человек требуется разбить на три подгруппы, в первой из которых должно быть 5 человек, во второй – 7 человек, в третьей – 4 человека. Сколькими способами это можно сделать?

Большинство формул комбинаторики используют понятие факториала. Термин «факториал» произошел от латинского слова factor («производящий») и обозначает созвучное действие - произведение.

Определение 5.1. Произведение п первых последовательных натуральных чисел называется п-факториал.

Обозначение: п.

Единственная формула для вычисления факториалов, которая будет использоваться, выражает определение факториалов:

Например: 4! = 1 2 3 4 = 24.

Особо оговариваются частные случаи значения факториала: 0! = 1 и 1! = 1.

Многие творчески настроенные студенты пытаются использовать собственные формулы для вычисления факториала, что приводит к ошибкам. Стоит напомнить, что факториал разности не равен разности факториалов и, соответственно, сначала следует выполнять действие в скобках, а потом от результата брать факториалы.

Например: (3 - 2)! = 1! = 1. Ошибочно выполнять действия в ином порядке: 3! - 2! = 1 - 2*3-1-2 = 6- 2 = 4. Как видим 4 Ф 1 и, соответственно, (3 - 2)! Ф 3! - 2!.

Сокращать факториалы в дробном выражении можно, но тоже осторожно.

Если надо поделить факториал большого числа на факториал другого большого числа, то выгодно расписать произведение натуральных чисел в укороченном виде. Для этого надо понимать, что факториал является просто другой короткой формой записи особого произведения. А одну форму записи можно заменить на другую, где бы она ни встречалась. Например:

По основному, всеми любимому свойству дроби одинаковые множители в числителе и знаменателе можно сокращать, в каком бы виде они ни выражались, в том числе и через факториалы. Зная, что внутри любого произведения п первых последовательных натуральных чисел будет содержаться более короткий ряд сомножителей, на который предстоит поделить, сократив одинаковые множители, можно сразу записывать только оставшийся «хвостик» произведения, причем уже без знаков факториала.

Уже не ошибки, но трудности возникают иногда, когда приходится оперировать буквенными выражениями с факториалами. В связи с этим стоит осмыслить следующий факт. Каждый сомножитель в записи значения факториалов отличается от предыдущего на единицу. Поэтому число, стоящее в таком произведении перед множителем п, имеет вид (п - 1), а перед ним стоит число вида (п - 2). Значит, при необходимости п можно записать, например, в таком виде: п = 1 2 3 ... (п - 2) (п - 1) п = (п - 2)! (п - 1) п.

Дальнейший текст надо прочесть и разобраться в приведенных обоснованиях, но запоминать их необязательно. Для людей, не занимающихся математикой, а только нуждающихся в использовании ее результатов для обработки информации в своей области знаний, будет предложен способ систематизации основных понятий и формул комбинаторики, а также поиска нужной математической модели для решения комбинаторной задачи. Однако без понимания сути комбинирования разных видов труднее будет пользоваться схемой поиска решения комбинаторных задач.

Не приводя строгих доказательств, посмотрим, как можно подметить закономерности при подсчете количества комбинаций разных видов. Комбинировать элементы исходного множества можно двумя принципиально отличными способами: используя в каждой комбинации только различные элементы или допуская повторение одних и тех же элементов в комбинации. В первом случае, выбрав из множества в подмножество элемент, повторно его уже использовать нельзя, так как он уже удален из исходного множества. При втором способе выбора допускается, что один и тот же элемент может быть использован несколько раз. Сначала напомним первый способ составления комбинаций, не допускающий повторения одних и тех же элементов в одной комбинации.

Пример 5.5

В семье четыре ребенка: Аия, Боря, Ваня, Галя. Они постоянно спорят между собой за лучшее место в машине, в кино, за столом. Родители, устав от разборок, постановили, что каждый следующий раз дети садятся по-разному. Через сколько раз придется повторить рассадку?

Решение

Пока детей было двое, то возможны были только две комбинации: А - Б, Б - А.

Когда подрос Ваня, его можно было разместить на трех местах но отношению к каждой из этих комбинаций: по бокам и между старшими детьми.

Для комбинации А - Б возможны три варианта: В - А - Б, А - Б - В, А-В - Б, и для комбинации Б - Л есть еще три варианта: В - Б - Л, Б - Л - В, Б - В - Л.

Всего два раза по три новые комбинации, что соответствует действию умножения 2 3.

Когда детей стало четыре, то по отношению к каждой из предыдущих (2 *3) = = 6 комбинаций четвертого ребенка можно было опять-таки разместить по бокам или на одном из двух мест между старшими тремя детьми, т.е. на одном из четырех мест. Например, для комбинации В - А - Б получится четыре новые комбинации:

Таким образом, вместо каждой из предыдущих (2 3) комбинаций получится четыре новые комбинации. Всего надо взять (2 - 3) раз по 4, что соответствует действию умножения: (2 3) 4, или можно записать 1 *2-3*4 = 4!.

Ответ : 24 раза.

Если же в описанной в примере семье появится пятый ребенок, то его можно уже будет посадить на одно из пяти мест: два но бокам и на три пропуска между старшими детьми, т.е. получится (1 *2*3* 4) *5 = 5! комбинаций и т.д.

В приведенном примере шла речь о том, как по-разному можно расположить п элементов, и получили ответ - п комбинаций. Такие комбинации называются перестановками.

Определение 5.2. Множества, отличающиеся от исходного множества порядком расположения его элементов, называются перестановками.

Обозначение: Р п.

Утверждение 5.1. Число перестановок определяется по формуле Р п = п.

Теперь, после обоснования подсчета числа перестановок, естественно принять, что 0! = 1 и 1! = 1, поскольку одноэлементное и пустое множество можно представить (упорядочивай, не упорядочивай) только в одном виде.

Определение 5.3. Упорядоченные m-элементные подмножества данного множества из п элементов называются размещениями из п элементов по т.

Обозначение: А™, где п > т.

Чтобы обосновать выведение формулы для подсчета числа размещений, рассмотрим следующий пример.

Пример 5.6

Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, если цифры в записи числа не могут повторяться?

Решение

В данной задаче речь идет о подсчете количества упорядоченных трехэлементных подмножеств множества из шести элементов, т.е. о числе размещений.

На первое место в числе можно поставить любую из шести доступных цифр, при этом пустыми останутся два разряда в записи числа. Претендентами на вторые места в каждом из шести случаев будут уже не 6, а 5 оставшихся цифр. В каждом из шести случаев это будут, конечно, разные цифры, но нам не важно, какие именно цифры. В комбинаторике достаточно учитывать количество доступных для выбора элементов. В результате, приставив к каждой из первых шести цифр по одной из оставшихся пяти цифр, получим уже 6 раз по 5 наборов цифр, т.е. (6 5) наборов. В каждом из этих (6-5) наборов осталось одно неиспользованное место, на которое можно поставить по одной из оставшихся четырех цифр. Получится (6 5) раз но 4 варианта, т.е. (6-5-4) комбинаций.

Ответ : 120 чисел.

Легко заметить, что при такой процедуре в ответе получается произведение чисел, уменьшающихся на единицу. В общем случае при выборе из п элементов это произведение выглядит так: п (п - 1) (п - 2) ... . Таких сомножителей должно быть т , по числу мест в каждой комбинации. Последний сомножитель в общем виде представить сложнее, но достаточно внимательно проанализировать полученное произведение. В каждом сомножителе вычитаемое на единицу больше, чем в предыдущем множителе. Поскольку начинается произведение фактически с вычитания нуля, а всего в произведении т разностей, то последнее уменьшаемое равно (т - 1). Так, обработав информацию при помощи нахождения сходств и различий в полученных выражениях, можно получить общий ответ о числе комбинаций при данной выборке: п (п - 1) ... [п - (т - 1)].

Утверждение 5.2. Число размещений определяется по формулам

Обоснование. В первой формуле расписаны «почти 77!», но без первых сомножителей из (77-777)!. Во второй формуле из факториала убраны первые сомножители из (77-777)! при помощи деления.

Замечание. Л" = Р п, если 77 = 777.

Если не повторять каждый раз все рассуждения, а пользоваться готовой формулой (5.1), то решение примера 5.6 выглядит так: число элементов в исходном множестве п = 6, /7? = 3, упорядоченность записи элементов в подмножестве - важна. Тогда

Рассмотрим другую, но очень похожую задачу: сколько различных произведений из трех различных множителей можно составить, взяв в качестве множителей числа 1, 2, 3, 4, 5, 7?

Отличие в процедуре составления данных комбинаций состоит в том, что не надо учитывать порядок расположения элементов в подмножествах, так как от перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Подобные комбинации называются сочетаниями.

Определение 5.4. Неупорядоченное т/7-элементное подмножество данного множества из п элементов называется сочетанием из п элементов

ПО 777.

Обозначение: С" 7 , где п > т.

Утверждение 5.3. Число сочетаний определяется по формуле

Обоснование. Неупорядоченных подмножеств из т элементов будет меньше, чем упорядоченных т -элементных подмножеств того же множества, во столько раз, сколько существует перестановок внутри каждого набора из т зафиксированных элементов. Уменьшение в несколько раз соответствует действию деления, поэтому

Довольно долго и достаточно подробно мы рассматривали три вида комбинаций первого, бесповторного способа их составления. Чтобы использовать эту информацию, необходимо представить ее в компактном виде. Для этого еще раз используем такой способ обработки информации, как нахождение сходств и различий в трех определениях и табличный способ представления информации. Такой анализ информации позволит выделить три параметра, определяющих подсчет количества комбинаций без повторов: число элементов в исходном множестве п, число элементов в подмножестве т , наличие упорядоченности в подмножествах. Отличия в составлении комбинаций наблюдается по двум вопросам:

• наличие совпадения числа элементов в множестве и числа элементов в подмножестве;
• отличие подмножеств друг от друга по порядку записи элементов.

Теперь можно организовать выбор математической модели - формулы - для подсчета числа комбинаций в виде таблицы (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Выбор формул для подсчета комбинаций без повторений

В этой таблице явно не хватает сочетания ответов «да - нет»: количество элементов в исходном множестве и в составляемом подмножестве совпадает и не надо учитывать порядок записи элементов в подмножестве. На прямой вопрос о количестве способов выбора пяти юношей из пяти имеющихся юношей в группе без учета порядка все отвечают правильно: 1, но очень часто встречаются ошибки при поверхностном формальном использовании таблицы.

Есть еще одна проблема, связанная с использованием таблицы: трудность определения необходимости упорядоченности подмножеств. Первоначально не осознавая важности этого вопроса и не уделяя ему должного внимания, в дальнейшем многие студенты делают ошибки, причины которых связаны именно с определением наличия упорядоченности в составляемых комбинациях. На материале комбинаторики проявляется мотив изучения этого свойства множеств, его роль. В силу его важности необходима актуализация знаний об упорядоченных множествах именно на этом этапе.

Нумерованная упорядоченность вызывает меньше трудностей в ее определении. Например, очередь из бабушек, у которых на ладошке записан номер их в очереди, чтобы, отойдя подышать воздухом, отдохнуть на скамеечке, они не перепутали свою очередь, выстроившись перед заветной целью в установленном порядке. Иерархическая упорядоченность вызывает большие затруднения. Если в тексте определены разные должности или функции для выбираемых элементов, то таким образом устанавливается требование упорядоченности для составляемых в сюжете комбинаций.

Помогают смягчить трудности в определении иерархической упорядоченности ролевые игры. Они опять-таки реализуют прием представления себя участником описываемых событий. Например, здесь стоит вспомнить организацию классных часов, а именно, школьного самоуправления, которым придется заниматься будущим учителям.

Представляем, как ведущий классного часа предлагает выбрать старосту класса, ответственного за дежурство по школе, за стенгазету, за организацию турпоходов, за культурную программу, подготовку всевозможных предметных недель и записывает на доске много всяких должностей, чтобы заинтересовать учащихся выбором наиболее адекватной должности, подавив позицию «лишь бы не меня». После опубликования должностей ведущий начинает собирать предложения, учитывает самоотводы и переходы на более предпочтительные должности. В результате на доске может оказаться несколько столбцов - списков фамилий, некоторые из которых будут отличаться не самими фамилиями, а лишь порядком их записи в соответствующем столбце. Далее начинается голосование, которое может собрать разное количество голосов под списками актива класса, отличающимися друг от друга только по порядку записи одних и тех же фамилий, но на разные должности. Разное количество голосов убеждает, что это были разные выборки, разные комбинации, пусть и из одинаковых фамилий, но по-разному упорядоченных. В связи с этим лучше ставить вопрос об упорядоченности подмножеств в алгоритме решения комбинаторных задач в следующей форме: «Могут ли отличаться подмножества друг от друга не только по содержанию, но и по порядку записи элементов?»

Определение требования упорядоченности подмножеств смущает студентов или, наоборот, преждевременно радует еще и тогда, когда в тексте фигурирует слово «порядок». Например, учитель берет коробку, в которой лежат пятнадцать карточек с буквами. Он достает из коробки по четыре карточки и раскладывает их ряд в алфавитном порядке. Требуется ли в данном сюжете упорядоченность выбираемых подмножеств? Обычно обязательно среди ответов присутствует радостное «Да!». Написано же, что есть алфавитный порядок в выбираемых четверках. Здесь выручает приведенная формулировка вопроса об упорядоченности. Среди выбранных четверок не будет наборов из одинаковых букв, но расположенных в разном порядке. Значит, подмножества не будут отличаться друг от друга по порядку записи элементов в них. Наборов будет столько же, сколько было бы, если бы их не выкладывали в ряд, а раскладывали бы по мешочкам, внутри которых между элементами порядка не будет. Такое количественное осмысление вопроса об упорядоченности элементов в комбинациях очень важно для комбинаторики.

При овладении умением определять упорядоченность составляемых комбинаций эффективна бывает организация обсуждения следующего вопроса: «Упорядоченных или неупорядоченных подмножеств получится больше, если выбирать парочки из студентов, сидящих на занятии?» Прежде всего и всегда присутствуют неправильные ответы. Только понимание того, что на каждую неупорядоченную парочку придутся две упорядоченные пары, отличающиеся друг от друга только порядком записи фамилий, приводит к оптимистичному убеждению: «Упорядоченных больше».

Пример 5.7

Из десяти студентов нужно выбрать троих для работы в приемной комиссии с абитуриентами. Сколько комбинаций надо рассмотреть, чтобы сделать полный перебор вариантов?

Решение

Этап 1. Краткая словесная (вербальная) обработка: например, «выбрать три студента из десяти студентов».

Этап 2. Полная запись условия на языке математических символов.

Для реализации этого этапа работы над комбинаторной задачей необходимо знание символики комбинаторики и умение определять наличие такого свойства множеств, как их упорядоченность. Поэтому предлагается следующая заготовка для символьной обработки текста с целью решения комбинаторных задач.

Дано: п =...; т =...;

порядок: да /нет.

Для примера 5.8 эта заготовка заполнится следующим образом:

Дано: п = 10; т = 3;

порядок: нет.

На основе этой заготовки и табл. 5.2 выбор необходимой для решения задачи математической модели выполняется легко.

Поскольку в данном условии число элементов в множестве и подмножестве нс равны (/? Ф т ), то на два вопроса таблицы ответы: «нет - нет». В соответствующей строке таблицы находится формула для подсчета числа сочетаний из п элементов по т. Таким образом, запись решения задачи в целом будет выглядеть так:

«Выбрать три студента из десяти студентов».

Дано: п - 10; т = 3;

порядок: нет.

Ответ: 120 комбинаций надо рассмотреть, чтобы сделать полный перебор вариантов.

Для более продвинутых пользователей табл. 5.2 можно расширить, добавив еще один параметр - повторное использование элементов в подмножестве (табл. 5.3).

Таблица 53

Выбор формул для подсчета всех возможных комбинаций

Комбинации		Подмножества могут отличаться но порядку элементов?	Возможно повторное использование элементов в подмножествах?
Перестановки				Р п = п
Размещения				а;:,=
Сочетания				ш (п-т)т!
Размещения с повторениями				А„ = и""
Сочетания с повторениями				W _ (//2-1-/7-1)! " ~т!-(л- 1)!
Перестановки с повторениями			k Jповторов 1- го элемента, k 2 повторов 2- го элемента, k n повторов /7-го элемента.	Pn(k t,&2,= п V- k 2 ! *„!

Принцип выбора математической модели по табл. 5.3 аналогичен показанному в примере 5.7. Некоторые затруднения могут возникнуть с конкретизацией формулы для подсчета числа перестановок с повторениями. Поэтому рассмотрим подробнее пример ее использования.

Пример 5.8

Дети любят играть в игры со словами, в частности составлять слова из букв загаданного слова. Выигрывает тот, кто составит больше слов с наибольшим количеством букв. Для простоты предположим, что загадано слово «гагара». Чтобы не упустить выгодные длинные варианты, посчитаем, сколько шестибуквенных комбинаций из букв слова «гагара» в принципе можно составить.

Решение

Этап 1: «Выбрать шесть букв из шести букв».

Дано: п = 6; т = 6;

порядок: да;

повтор: да, к а = 3, к г = 2, k ? = 1

Поскольку на три вопроса таблицы ответ «да», то выбираем математическую модель с использованием подсчета числа перестановок с повторениями. Элемент «а» повторяется в исходном множестве три раза, а значит, и в шестиэлементных комбинациях повторно будет использоваться три раза. Аналогично элемент «р» имеет количество повторов, равное двум. Далее - самое простое. Поскольку математическая модель выбрана, остается правильно подставить значения неизвестных в формулу и выполнить необходимые вычисления:

Ответ : 60.

Вид формулы для подсчета числа перестановок с повторениями легко обосновать. Если бы все шесть букв были разные, то количество перестановок равнялось бы 6!. Но если в подмножествах могут фигурировать, например, три одинаковые буквы, то неважно, какая из этих одинаковых букв на каком месте, отведенном для этих букв, находится. А это значит, что количество перестановок с повторениями будет меньше количества бес- повторных перестановок во столько раз, сколько перестановок одинаковых элементов можно сделать, т.е. в /^-факториал раз. Поэтому в формуле числа перестановок с повторениями появился знаменатель в отличие от формулы бесповторных перестановок.

2.1. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

2.3. Геометрические вероятности

2.4. Теорема сложения вероятностей

2.5. Полная группа событий

2.6. Противоположные события

2.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий

2.8. Произведение событий. Условная вероятность

2.9. Теорема умножения вероятностей

2.10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

2.10. Вероятность появления хотя бы одного события

Лекция №3 следствия теорем сложения и умножения

3.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

3.2. Формула полной вероятности

3.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

4. Повторение испытаний

4.1. Формула Бернулли

4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

5.3. Биномиальное распределение

5.4. Распределение Пуассона

5.5. Геометрическое распределение

5.6. Гипергеометрическое распределение

6. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

6.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.3. Вероятностный смысл математического ожидания

6.4. Свойства математического ожидания

6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

7.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

7.3. Дисперсия дискретной случайной величины

7.4. Формула для вычисления дисперсии

7.5. Свойства дисперсии

7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

7.7. Среднее квадратическое отклонение

7.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

7.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

7.10. Начальные и центральные теоретические моменты

8. Закон больших чисел

8.1. Предварительные замечания

8.2. Неравенство Чебышева

8.3. Теорема Чебышева

8.4. Сущность теоремы Чебышева

8.5. Значение теоремы Чебышева для практики

8.6. Теорема Бернулли

Функция распределения вероятностей случайной величины

9.1. Определение функции распределения

9.2. Свойства функции распределения

9.3. График функции распределения

10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

10.1. Определение плотности распределения

10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

10.3. Закон равномерного распределения вероятностей

11. Нормальное распределение

11.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

11.2. Нормальное распределение

11.3. Нормальная кривая

11.4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

11.5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

11.6. Вычисление вероятности заданного отклонения

11.7. Правило трех сигм

11.8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

11.9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

11.10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

11.11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

11.12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

11.13. Распределение «хи квадрат»

11.14. Распределение Стьюдента

11.15. Распределение f Фишера – Снедекора

12. Показательное распределение

12.1. Определение показательного распределения

12.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

§ 3. Числовые характеристики показательного распределения

12.4. Функция надежности

12.5. Показательный закон надежности

12.6. Характеристическое свойство показательного закона надежности

1.7. Основные формулы комбинаторики

При нахождении вероятностей в схеме классического определения широко используется комбинаторика, поэтому напомним наиболее употребительные определения и формулы для вычисления.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р n = n !

Заметим, что удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Пример . Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение . Искомое число трехзначных чисел Р 3 = 3! = 123 = 6.

Размещениями n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Пример . Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение . Искомое число сигналов
.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

.

Пример . Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Решение . Искомое число способов
.

Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством

Замечание . Выше предполагалось, что все n элементов различны. Если же некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n 1 элементов одного вида, n 2 элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями

,

где n 1 + n 2 + ... = n .

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

1. Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А , либо В можно m + n способами.

2. Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А , В ) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Приведем несколько примеров непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение. Обозначим через А событие – набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (А )=1/10.

Пример 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение. Обозначим через В событие – набраны две нужные цифры. Всего можно набрать столько различных цифр, сколько может быть составлено размещений из десяти цифр по две, т.е.
. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов равно 90. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию В лишь один исход. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Р (В )=1/90.

Пример 3. Указать ошибку «решения» задачи: «Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 4 (событие А )».

Решение. Всего возможны 2 исхода испытания: сумма выпавших очков равна 4, сумма выпавших очков не равна 4. Событию А благоприятствует один исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность

Р (А ) = 1/2.

Ошибка этого решения состоит в том, что рассматриваемые исходы не являются равновозможными.

Правильное решение . Общее число равновозможных исходов испытания равно 66 = 36 (каждое число выпавших очков на одной кости может сочетаться со всеми числами очков другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только 3 исхода: (1; 3), (3; 1), (2; 2) (в скобках указаны числа выпавших очков). Следовательно, искомая вероятность

Р (А ) = 3/36 = 1/12.

Пример 4. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 6 деталей из 10, т. е. числу сочетаний из 10 элементов но 6 элементов ().

Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди шести взятых деталей 4 стандартных). Четыре стандартные детали можно взять на семи стандартных деталей способами; при этом остальные 6 – 4 = 2 детали должны быть нестандартными; взять же 2 нестандартные детали из 10 – 7 = 3 нестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
.

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно выполнить способами, а другую - способами, то все действие можно выполнить числом способов.

Пример. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется:

5 различных ручек,

7 различных карандашей,

10 различных линеек.

Сколькими способами можно составить требуемыйнабор?

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки, карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку, выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку – можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш – можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку – можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить

Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

Пример. Сколько существуетнаборов длиныиз нулей и единиц?

Решение. Действием в данном случае является составление набора длины из нулей и единиц.

Набор будет составлен, если все позиций (мест) будут заполнены нулями и единицами. Действие распадается на частей: заполнить первую позицию, вторую и т.д., заполнить - ю позицию. Первую часть действия – написать первую компоненту - можно двумя способами: можно написать 0, а можно написать 1, написать вторую компоненту тоже можно двумя способами, и так все мест в наборе: на каждом месте можно написать либо 0 либо 1:

Тогда все действие согласно комбинаторному принципу умножения можно выполнить числом способов:

Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга, и одно из них можно выполнить способами, а другое - способами, то оба действия можно выполнить числом способов.

Пример.

Выборкой объема из множества называется всякая последовательность из элементов множества .

Если элементы в выборке не повторяются, то выборка называется бесповторной , иначе – выборкой с повторениями

При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется выбор: берутся все элементы сразу,или же поочередно (по одному).

Расположение элементоввыборки в определенном порядке называется упорядочением , при этом выборка называется упорядоченной , в противном случае – неупорядоченной .

Рассмотрим бесповторную выборку

Расположение различных элементов в определенном порядке называется перестановкой без повторений из элементов.

Например, на множестве из трех элементов возможны следующие перестановки: .

Число различных перестановок без повторений из элементов обозначается и равно , т.е.

Сочетанием без повторений из элементов по называется неупорядоченное - элементное подмножество -элементного множества. Число сочетаний без повторений из элементов по равно :

Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить бригаду из трех человек для дежурства вгруппе из 30 человек. Поскольку порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются , то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений:

Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек можно выбрать 4060 различными способами.

Размещением без повторений из элементов по называется упорядоченное - элементное подмножество -элементного множества.

Теорема.

Число размещений без повторений из элементов по равно:

Доказательство . Чтобы получить упорядоченное - элементное подмножество -элементного множества, нужно выполнить два этапа: выбрать элементов из (это можно выполнить числом способов) и затем упорядочить выбранные элементы (это можно сделать числом способов). Согласно комбинаторному принципу умножения, все действие -получить упорядоченное - элементное подмножество -элементного множества – можно числом способов.

Свойства сочетаний без повторений :

Доказательство. Поскольку и , то утверждаемое очевидно.

2) (без доказательства).

Значения могут быть найдены не расчетом по формуле количества сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль (1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Закономерность его построения такова: складывая две рядом стоящие числа, получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка – значения числа сочетаний из 1 (), вторая – из 2 ( - слева направо), и т.д.

Рассмотрим выборку с повторениями

Пусть имеется выборка из элементов, причем элементов из них - одинаковые.

1. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно:

- число перестановок с повторениями на множестве из элементов

2. Сочетание с повторениями из элементов по - неупорядоченная выборка элементов с возвращением из множества, содержащегоэлементов:

- число различных сочетанийс повторениями из элементов по

3. Размещения с повторениями из элементов по - расположение различных шаров по различным ячейкам

- число различных размещений с повторениями

Пример . Сколько различных 4-буквенных слов можно составить из символов ?

Решение. Другими словами, требуется найти число перестановок с повторениями на4 элементах выборки, в которойдва элемента одинаковы:

Пример . Сколько различных перестановок можно составить избукв словаАБАКАН?

Решение. Требуется найти число перестановок на множестве из 6 элементов, среди которых три элемента одинаковы:

.

Верно обобщение рассматриваемой формулы: число различных перестановок на множестве из элементов, среди которых имеется

Элементов первого вида,

Элементов второго вида,

Элементов - го вида

равно:

Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?

Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на множестве из 8 букв, среди которых:

буква К повторяется 2 раза;

буква О повторяется 3 раза;

буква Л повторяется 2 раза

буква А повторяется 1 раз.

Таким образом, .

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок, если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?

Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу сочетаний с повторениями:

Пример. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть несколько человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещения с повторениями:

Пример. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам по одному в вагон?

Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть только один человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то используем формулу размещений без повторений:

Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный принцип умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7 этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира, …, разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить9 способами, и т.д. :

Пример. Сколько различных сигналов можно составить из четырех флажков различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флажков?

Решение. Составить сигнал можно из двух флажков, из трех или из четырех. Перечисленные ситуации взаимно исключают друг друга (два флажка – это не три и не четыре),поэтому вычислим, сколькими способами можно составить сигнал в каждой из перечисленных ситуаций,и сложим полученные результаты.

Действие – составить сигнал – означает выбрать флажки из четырех и расположить их в определенном порядке. Таким образом, в каждом случае нужно выполнить два этапа: первый - выбрать флажки, второй – расположить выбранные флажки в определенном порядке.

Составляем сигналы из двух флажков: выбрать два флажка из четырех можно различными способами, и расположить выбранные два флажка в определенном порядке можно числом способов. Таким образом, согласно комбинаторному принципу умножения, можно составить различных сигналов из двух флажков. способами. Значит, можно составить различных сигнала из четырех флажков.

Применим теперь комбинаторный принцип сложения: всего существует сигналов из не менее, чем двух флажков.

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4 равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000 комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных номеров равно 270.000.000.

Е.Г. Hикифорова