Возникновение задачи о трисекции угла (т. е. деления угла на три равные части) обуславливается необходимостью решения задачи о построении правильных многоугольников. Построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой должно было произвести на пифагорейцев большое впечатление, потому что правильная пятиконечная звезда была их опознавательным знаком (она символизировала здоровье). Известна следующая легенда.

Один пифагореец умирал на чужбине и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал. Перед смертью он велел ему изобразить на своем жилище пятиконечную звезду: если когда-нибудь мимо будет идти пифагореец, он обязательно спросит о ней. И действительно, несколько лет спустя некий пифагореец увидел этот знак и вознаградил хозяина дома.

Происхождение задачи о трисекции угла также связано с практической деятельностью, в частности, уметь делить окружность на равные части нужно было при изготовлении колеса со спицами, деление угла или дуги окружности на несколько равных частей необходимо было и в архитектуре, в создании орнаментов, в строительной технике и в астрономии.

С помощью циркуля и линейки для n=6 и 8 правильные n-угольники построить можно, а для n =7 и 9 нельзя. Построение правильного семиугольника - интересная задача: ее можно решить с помощью способа «вставок». Построение правильного семиугольника предложил Архимед. А вот попытки построить правильный девятиугольник как раз и должны были привести к задаче трисекции угла, потому что для построения правильного девятиугольника нужно было построить угол 360°/9= 120/3, т. е. разделить угол 120° на три равные части.

Почему греки предпочитали циркуль и линейку иным инструментам?

Ответить на этот вопрос однозначно и в достаточной степени убедительно ученые не могут. Потому ли, что циркуль и линейка являются наиболее простыми инструментами? Может быть и так. Однако можно указать множество иных инструментов, столь же простых, как циркуль и линейка, или почти столь же простых. С помощью некоторых из них решаются и сформулированные задачи.

В соответствующей литературе можно найти попытки объяснения такой необычной симпатии греков именно к циркулю и линейке. Любая геометрическая фигура состоит из двух видов линий – прямой или кривой. А любая кривая состоит из частей окружностей различного диаметра. При этом прямая и окружность – единственные линии постоянной кривизны на плоскости.

Деление прямого угла на три равные части.

В некоторых частных случаях легко удается выполнить деление угла. Так, деление прямого угла на три равные части умели производить еще пифагорейцы, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60º.

Пусть требуется разделить на три равные части прямой (MAN.

Откладываем на луче AN произвольный отрезок АС, на котором строим равносторонний треугольник АСВ. Так как (САВ равен 60º, то (ВАМ равен 30º. Построим биссектрису АD угла САВ, получаем искомое деление прямого (МАN на три равные угла: (NAD, (DAB, (ВАМ.

Задача о трисекции угла оказывается разрешимой и при некоторых других частных значениях угла (например, для углов в 90о / 2n, где n – натуральное число). То, что любой угол невозможно разделить на три равные части с помощью только циркуля и линейки было доказано лишь в первой половине XIX века.

Решение способом «вставок»

Некоторые способы трисекции угла, рассматриваемые греками, использовали так называемый метод вставки. Он заключался в том, чтобы найти положение прямой, проходящей через данную точку O, на которой две заданные прямые (или прямая и окружность) высекали бы отрезок данной длины a. Такое построение можно осуществить с помощью циркуля и линейки с двумя делениями, расстояние между которыми равно a.

С помощью «вставок» разделить угол на три равные части очень легко. Возьмем на стороне угла с вершиной В произвольную точку А и опустим из нее перпендикуляр АС на другую сторону.

Проведем через точку А луч сонаправленный с лучом ВС. Вставим теперь между лучами АС и l отрезок DE длиной 2АВ так, чтобы его продолжение проходило через точку В. Тогда (ЕВС= (ABC/3. В самом деле, пусть G - середина отрезка DE. Точка А лежит на окружности с диаметром DE, поэтому AG = GE = DE/2 = AB. Треугольники BAG и AGE равнобедренные, поэтому (ABG = (AGB = 2(AEG = 2(EBC.

Папп Александрийский показал, что задача «вставления» отрезка между данными перпендикулярными прямыми l1 и l2 сводится к построению точки пересечения окружности и гиперболы. Рассмотрим прямоугольник ABCD, продолжения сторон ВС и CD которого являются данными прямыми, а вершина А является данной точкой, через которую нужно провести прямую, пересекающую прямые l1 и l2 в таких точках Е и F, что отрезок EF имеет данную длину.

Достроим треугольник DEF до параллелограмма DEFG. Для построения искомой прямой достаточно построить точку G, а затем через точку А провести прямую, параллельную прямой DG. Точка G удалена от точки D на данное расстояние DG = EF, поэтому точка G лежит на окружности, которую можно построить.

С другой стороны, из подобия треугольников ABF и EDA получаем АВ: ED = BF: AD, т. е. ED*BF=AB*AD. Следовательно, FG*BF=AB*AD = SABCD, т. е. точка G лежит на гиперболе (если направить оси Ох и Оу по лучам BF и ВА, то эта гипербола задается уравнением xy = SABCD)

Решение с помощью квaдрaтрисы

К «грaммическим» зaдaчaм относится зaдaчa о делении углa в любом отношении. Первую кривую для решения тaкой зaдaчи изобрел Гиппий Элидский. B дальнейшем (нaчинaя с Динострaтa) эту кривую тaкже использовaли и для решения квaдрaтуры кругa. Лейбниц нaзвaл эту кривую квaдрaтрисой.

Oнa получается следующим образом. Пусть в квaдрaте ABCD концы отрезкa B′C′ рaвномерно движутся по сторонaм, соответственно, BA и CD, a отрезок AN рaвномерно врaщaется вокруг точки A. Oтрезок B′C′ в нaчaльный момент совпaдaет с отрезком BC, a отрезок AN – с отрезком AB; обa отрезкa одновременно достигaют своего конечного положения AD. Квaдрaтрисой нaзывaется кривaя, которую при этом описывaет точкa пересечения отрезков B′C′ и AN.

Для того чтобы разделить острый угол φ в некотором отношении, надо на вышеприведенном чертеже отложить угол DAL = φ, где L лежит на квадратрисе. Опустим перпендикуляр LH на отрезок AD. Пазделим этот перпендикуляр в нужном отношении точкой P. Проведем через P отрезок, параллельный AD, до пересечения с квадратрисой в точке Q; луч AQ делит угол LAD в необходимом отношении, так как, по определению квадратрисы, (LAQ: (QAD = (LP: (LH.

Практическая работа по построению трисектрис угла

Способом «вставок»

С помощью квaдрaтрисы

Решение с помощью теоремы Морлея

Так как любой угол нельзя разделить на три равные части, то мы можем решить задачу о трисекции угла в обратном порядке, используя теорему Морлея.

Теорема. Пусть ближайшие к стороне ВС трисектрисы углов B и С пересекаются в точке A1; точки В1 и С1 определяются аналогично. Тогда треугольник А1В1С1 равносторонний, а отрезок С1С является перпендикуляром к основанию правильного треугольника.

Решим следующую задачу: построим треугольник, из всех углов которого проведены трисектрисы.

План построения.

1) Построим два произвольных угла (BAC1 и (АВС1, одна сторона которых является общей.

Построенные углы должны удовлетворять неравенству:

2) Пусть луч АС1 – ось симметрии. Отразим (ВАС1 относительно оси АС1. Аналогично, отразим относительно оси ВС1 (АВС1.

3) Пусть луч АС2 – ось симметрии. Отразим (C1АC2 относительно оси АС2. Аналогично, отразим относительно оси ВС2 (C1ВC2.

4) Соединим точки пересечения трисектрис С1 и С2 отрезком С1С2.

5) В теореме Морли сказано, что при пересечении трисектрис треугольника получается правильный треугольник, а отрезок С1С2 является перпендикуляром к основанию правильного треугольника и проходит через вершину этого треугольника. Для того, чтобы построить правильный треугольник, зная его высоту, необходимо: а) построить лучи, исходящие из точки С1 под углом 30º относительно отрезка С1С2; б) отметить точки пересечения построенных лучей с трисектрисами буквами В1 и А1; в) соединить точки А1, В1, С1. Получим равносторонний треугольник А1В1С1.

6) Проведем лучи из точки С, проходящие через вершины правильного треугольника В1 и А1.

Оставим на рисунке отрезки трисектрис треугольника.

Мы построили треугольник АВС, из всех углов которого проведены трисектрисы.

Неразрешимость трисекции угла с помощью циркуля и линейки

Для доказательства невозможности разделить любой угол на три равные части с помощью циркуля и линейки достаточно доказать, что нельзя так разделить некоторый конкретный угол. Мы докажем, что с помощью циркуля и линейки нельзя произвести трисекцию угла 30°. Введем систему координат Оху, выбрав в качестве начала координат вершину данного угла АОВ и направив ось Ох по стороне ОА. Можно считать, что точки А и В удалены от точки О на расстояние 1. Тогда в задаче трисекции угла требуется по точке с координатами (cos Зφ, sin Зφ) построить точку (cosφ, sinφ). В случае, когда φ=10°, исходная точка имеет координаты. Обе ее координаты выражаются в квадратных радикалах. Поэтому достаточно доказать, что число sin 10° не выражается в квадратных радикалах.

Так как sin3φ = sin(φ + 2φ) =

sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ

Sinφ cos2φ + cosφ sin2φ =

cos2α = cos2α - sin2α

sin2α = 2sinα cosα

Sinφ(cos2φ - sin2φ) + cosφ(2sinφ cosφ) =

sin2α + cos2α = 1 cos2α = 1 - sin2α

Sinφ(1 - sin2φ - sin2φ) + 2sinφ cos2φ =

Sinφ(1 - 2sin2φ) + 2sinφ(1 - sin2φ) =

Sinφ(1 - 2sin2φ + 2 - 2sin2φ) =

Sinφ(3 - 4sin2φ) =

3sinφ - 4sin3φ sin3φ = 3sinφ - 4sin3φ, то число х = sin 10° удовлетворяет кубическому уравнению

3x - 4x3 = ½ (φ =10°, 3φ =30°, sin3φ = ½)

8x3 - 6x + 1 = 0

(2x)3 -3*2x + 1 = 0

Достаточно доказать, что у этого уравнения нет рациональных корней. Предположим, что 2x=p/q, где р и q - целые числа, не имеющие общих делителей. Тогда p3 – 3pq2 + q3 = 0, т. е. q3=p(3q2-p2). Следовательно, число q делится на р, а значит, р=±1. Поэтому ±13q2 + q3 =0, т. е. q2(q±3)= ±1. Число 1 делится на q, поэтому q=±1. В итоге получаем, что х=±1/2. Легко проверить, что значения ±1/2 не являются корнями уравнения. Получено противоречие, поэтому уравнение не имеет рациональных корней, а значит, число sin10° не выражается в квадратных радикалах.

Применение

Трисекция угла необходима при построении правильных многоугольников. Мы рассмотрим процесс построения на примере правильного девятиугольника, вписанного в окружность.

Строим прямоугольный треугольник АВС. Строим трисектрисы ВС1 и ВС2. Получились углы по 30º. Делим один из образовавшихся углов на два по 15º биссектрисой. К прямому углу «добавляем» по 15º с каждой стороны. Снова строим трисектрисы получившегося угла DBE. Повторяем так еще дважды, поворачивая треугольник в точке В так, чтобы DB совпала с предыдущим положением ВЕ. Соединяем полученные точки.

Нам удалось построить правильный девятиугольник, используя построение трисектрис.

Трисектор

Задача о трисекции угла в общем случае не разрешима при помощи циркуля и линейки, но это вовсе не значит, что данную задачу нельзя решить другими вспомогательными средствами.

Для достижения указанной цели придумано много механических приборов, которые называются трисекторами. Простейший трисектор легко изготовить из плотной бумаги, картона или тонкой жести. Он послужит подсобным чертёжным инструментом.

Трисектор и схема его применения.

Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски ВD составляет прямой угол с прямой АС; он касается полукруга в точке В; длина этой полоски произвольна. На том же рисунке показано применение трисектора. Пусть, например, требуется разделить на три равные части угол КSМ

Трисектор помещают так, чтобы вершина угла S находилась на линии ВD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SВ и SО, и деление данного угла на три равные части окончено. Для доказательства соединим отрезком прямой центр полукруга О с точкой касания N. Легко убедиться в том, что треугольник АSВ равен треугольнику SВО, а треугольник SВО равен треугольнику OSN. Из равенства этих трех треугольников следует, что углы АSВ, ВS0 и 0SN равны между собой, что и требовалось доказать.

Такой способ трисекции угла не является чисто геометрическим; его скорее можно назвать механическим.

Часы-трисектор

(инструкция по применению)

Оборудование: циркуль, линейка, часы со стрелками, карандаш, прозрачная бумага.

Ход работы:

Переведите фигуру данного угла на прозрачную бумагу и в тот момент, когда обе стрелки часов совмещаются, наложите чертеж на циферблат так, чтобы вершина угла совпала с центром вращения стрелок и одна сторона угла пошла вдоль стрелок.

В тот момент, когда минутная стрелка часов передвинется до совпадения с направлением второй стороны данного угла, проведите из вершины угла луч по направлению часовой стрелки. Образуется угол, равный углу поворота часовой стрелки. Теперь при помощи циркуля и линейки этот угол удвойте и удвоенный угол снова удвойте. Полученный таким образом угол и будет составлять ⅓данного.

Действительно, всякий раз, когда минутная стрелка описывает некий угол, часовая стрелка за это время передвигается на угол, в 12 раз меньший, а после увеличения этого угла в 4 раза получается угол (a/12)*4=⅓ a.

Заключение

Итак, неразрешимые задачи на построение сыграли особую роль в истории математики. В конце концов, было доказано, что эти задачи невозможно решить, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка задачи - «доказать неразрешимость» - была смелым шагом вперёд.

Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре.

Закончив и проанализировав свою исследовательскую работу, я сделала следующие выводы:

✓ возникновение подобных задач обуславливалось их практической значимостью (в частности, построение правильных многоугольников);

✓ подобные задачи вызывают развитие новых методов и теорий (способ «вставок», появление квадратрисы, теоремы Морли);

✓ неразрешимые задачи привлекают больше внимания к наукам: найти решение или доказать невозможность – большой почёт.

А также я узнала:

✓ о математиках, изучавших данную задачу;

✓ новые понятия, термины (трисекция, трисектор, квадратриса) и теоремы (Морлея) и научилась:

✓ эффективно находить и отбирать необходимый материал;

✓ систематизировать полученные знания;

✓ правильно оформлять научно-исследовательскую работу.

Выполнить трисекцию угла - это значит разделить угол на три равные части. Сделать это, конечно, совсем нетрудно. Можно, например, измерить данный угол транспортиром, разделить найденное число градусов на три, а затем отложить посредством того же транспортира угол, содержащий полученное в частном число градусов. Но можно обойтись

и без транспортира, применяя метод «последовательных приближений»: построив произвольным радиусом дугу, для которой данный угол является центральным, возьмем на глаз хорду, соответствующую третьей части дуги, и отложим эту хорду последовательно три раза по дуге, начиная от одного из ее концов. Если после этого мы окажемся на другом конце дуги, задача решена. Если же, как это обыкновенно и бывает, мы не дойдем до другого конца дуги, или перейдем через него, то взятую нами на глаз хорду надо исправить, увеличив или уменьшив ее на одну треть расстояния от полученной точки до конца дуги, причем эту одну треть берем опять-таки на глаз. Эту исправленную хорду снова откладываем на дуге и в случае надобности вновь исправляем тем же способом. Каждая новая (исправленная) хорда будет давать все более точное решение, и, наконец, повторив операцию несколько раз, мы получим хорду, которая уложится на данной дуге практически ровно три раза, и трисекция угла будет выполнена. Конечно, эти два способа позволяют делить данный угол не только на три, но на любое число равных частей.

Однако, когда математики говорят о проблеме трисекции угла, они имеют в виду не эти весьма ценные в практическом отношении, но все же лишь приближенные способы, а точный способ, притом основанный на применении исключительно циркуля и линейки. Необходимо еще отметить, что имеется в виду использование одного лишь ребра линейки и что линейка должна служить только для проведения прямых (не допускается использование, например, масштабных делений), а циркуль - только для вычерчивания окружностей. Наконец, искомый способ должен давать решение задачи посредством конечного числа операций проведения прямых и окружностей. Последнее замечание очень существенно. Так, установив (по формуле суммы геометрической бесконечно убывающей прогрессии), что

можно предложить следующее решение задачи трисекции угла, требующее применения только линейки и циркуля: делим данный угол на 4 равные части, что, как известно, выполнимо посредством циркуля и линейки, а затем к полученному углу прибавляем поправку, равную четверти его самого, т. е. данного угла, потом вторую поправку,

равную первой, т. е. данного угла, и т. д. Точное решение задачи этим способом требует бесконечно большого числа операций (делений углов на 4 равные части), а потому не является тем классическим решением, какое имеют в виду, когда говорят о решении задачи трисекции угла и других задач на построение.

Итак, у нас будет идти речь о точном решении задачи трисекции угла посредством проведения конечного числа прямых и окружностей.

Для некоторых углов эта задача решается весьма просто. Так, для трисекции угла в 180° достаточно построить угол в 60°, т. е. угол равностороннего треугольника, а для трисекции углов в 90° и 45° - углы в 30° и 15°, т. е. половину и четверть угла равностороннего треугольника. Однако доказано, что наряду с бесконечным множеством углов, допускающих трисекцию, существует бесконечное же множество углов, не допускающих трисекции (в указанном выше смысле). Так, нельзя разделить на три равные части (посредством проведения конечного числа прямых и окружностей) ни угол в 60°, ни угол в 30°, ни угол в 15°, ни угол в 40°, ни угол в 120°, ни бесконечное множество других углов.

Теперь выясним, правилен ли следующий часто рекомендуемый способ деления произвольного угла на три равные части. Из вершины В произвольным радиусом проводим дугу окружности, которая пересечет стороны угла в точках (черт. 39). Делим хорду на три равные части и соединяем точки деления с В. Углы окажутся, будто бы, равными, и трисекция произвольного угла следовательно, будет выполнена так, как

требуется, т. е. посредством проведения конечного числа прямых и окружностей: деление отрезка на три равные части, которое здесь требовалось, выполнимо, как известно, именно так.

Предлагающие такое решение полагают, что равенство отрезков на которые мы разделили хорду влечет за собой и равенство дуг которые получатся, если продолжить и до пересечения с окружностью. Так ли это? Если эти дуги равны, то равны и углы (пусть каждый из них равен а), равны и стягивающие их хорды Но отрезок больше отрезка (это утверждение подсказывается чертежом, но ниже мы его докажем), а отрезок равен отрезку так как углы и равны:

Следовательно, при равенстве отрезков и отрезки и вопреки условию неравны, и предположение о равенстве и надо отвергнуть.

Опустив перпендикуляр из вершины В на хорду замечаем, что вся фигура симметрична относительно ВК: перегнув чертеж по мы приведем обе его половинки к совпадению. Отсюда заключаем, что отрезок III перпендикулярен к а в силу этого отрезок параллелен и треугольники и подобны, что дает: Но а потому и как мы и утверждали выше.

Деление угла пополам (рисунок 26, а). Из вершиныВ углаABC произвольным радиусом R 1 проводят дугу до пересечения ее со сторонами угла в точках М и N . Затем из точек M и N проводят дуги радиусом > R 1 до взаимного пересечения их в точке D . Прямая BD разделит данный угол пополам.

Деление угла на 4, 8 и т. д. равных частей осуществляется последовательным делением пополам каждой части угла (рисунок 26, б).

Рисунок 26

В том случае, когда угол задан сторонами, не пересекающимися в пределах чертежа, например AB иCD на рисунке 26, в, деление угла пополам выполняют так. На произвольном, но одинаковом расстоянииl от сторон угла проводят прямыеKL || AB иMN || CD и продолжают их до пересечения в точкеО . Полученный уголL ON делят пополам прямойOF . ПрямаяOF разделит пополам также и заданный угол.

Деление прямого угла на три равные части (рисунок 27). Из вершины прямого угла – точкиВ проводят дугу произвольным радиусомR до пересечения ее с обеими сторонами угла в точкахA иC . Тем же радиусомR из точекA иС проводят дуги до пересечения с дугойAC в точкахМ иN . Прямые, проведенные через вершину углаВ и точкиМ иN , разделят прямой угол на три равные части.

Рисунок 27

2.4 Деление окружности на равные части, построение правильных многоугольников

2.4.1 Деление окружности на равные части и построение правильных вписанных многоугольников

Для деления окружности пополам достаточно провести любой ее диаметр. Два взаимно перпендикулярных диаметра разделят окружность на четыре равные части (рисунок 28, а). Разделив каждую четвертую часть пополам, получают восьмые части, а при дальнейшем делении – шестнадцатые, тридцать вторые части и т. д. (рисунок 28, б). Если соединить прямыми точки деления, то можно получить стороны правильного вписанного квадрата (а 4 ), восьмиугольника (а 8 ) и т. д. (рисунок 28, в).

Рисунок 28

Деление окружности на 3, 6, 12 и т, д. равных частей, а также построение соответствующих правильных вписанных многоугольников осуществляют следующим образом. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра1–2 и3–4 (рисунок 29 а). Из точек1 и2 как из центров описывают дуги радиусом окружностиR до пересечения с ней в точкахА, В, С иD . ТочкиA ,B ,1, С, D и2 делят окружность на шесть равных частей. Эти же точки, взятые через одну, разделят окружность на три равные части (рисунок 29, б). Для деления окружности на 12 равных частей описывают еще две дуги радиусом окружности из точек3 и4 (рисунок 29, в).

Рисунок 29

Построить правильные вписанные треугольник, шестиугольник и т. д. можно также с помощью линейки и угольника в 30 и 60°. На рисунке 30 приведено подобное построение для вписанного треугольника.

Рисунок 30

Деление окружности на семь равных частей и построение правильного вписанного семиугольника (рисунок 31) выполняют с помощью половины стороны вписанного треугольника, приблизительно равной стороне вписанного семиугольника.

Рисунок 31

Для деления окружности на пять или десять равных частей проводят два взаимно перпендикулярных диаметра (рисунок 32, а). РадиусOA делят пополам и, получив точкуВ , описывают из нее дугу радиусомR = BC до пересечения ее в точкеD с горизонтальным диаметром. Расстояние между точкамиC иD равно длине стороны правильного вписанного пятиугольника (а 5 ), а отрезокOD равен длине стороны правильного вписанного десятиугольника (а 10 ). Деление окружности на пять и десять равных частей, а также построение вписанных правильных пятиугольника и десятиугольника показаны на рисунке 32, б. Примером использования деления окружности на пять частей является пятиконечная звезда (рисунок 32, в).

Рисунок 32

На рисунке 33 приведен общий способ приближенного деления окружности на равные части . Пусть требуется разделить окружность на девять равных частей. В окружности проводят два взаимно перпендикулярных диаметра и вертикальный диаметрAB делят на девять равных частей с помощью вспомогательной прямой (рисунок 33, а). Из точкиB описывают дугу радиусомR =AB , и на пересечении ее с продолжением горизонтального диаметра получают точкиС иD . Из точекC иD через четные или нечетные точки деления диаметраAB проводят лучи. Точки пересечения лучей с окружностью разделят ее на девять равных частей (рисунок 33, б).

Рисунок 33

При построении необходимо учитывать, что такой способ деления окружности на равные части требует особенно большой точности выполнения всех операций.

Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла

Россия. г. Пенза

Е. И. Терёшкин.

Возьмем прямой угол BAD (чертеж1) достроим его да квадрата ABCD, примем сторону квадрата за 1. Продолжим стороны BC и DC до величины равной. Поставим точки M и N. Соединим точки M и N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен на 3 равновеликие части т.е.

Чертеж 1.

Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.

По теореме Пифагора находим. Из точки радиусом опишем окружность. Из точки через точку проводим линию до пересечения с большой дугой и ставим точку. , .

Диаметры большого круга. Проводим линию, она пересекает малый круг в точке. Из точки, через точку проводим линию до пересечения с большой дугой, ставим точку. Соединяем точки и.

По теореме Пифагора Из точки проводим линию. подобен, значит

Рассмотрим, т.к. этот угол вписанный и опирается на диаметр, а в этом треугольнике будет средняя линия, а значит По теореме косинусов, значит но, значит линия проходит через точку, т.е. через центр квадрата.

Далее чертим две пересекающиеся прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные углы были тупыми (чертеж 3) и острыми (чертеж 4). В местах пересечения ставим точки. Из точек любым радиусом описываем окружность.

Чертеж 3. Чертеж 4.

Там где стороны верхнего тупого угла (чертеж 3) и острого (чертеж 4) пересекаются с дугой окружности ставим точки M и N. Проводим биссектрисы обоих тупых углов (чертеж 3) и острых углов (чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются с окружностями ставим точки и. Из точек радиусом описываем окружности. Там где биссектрисы пересекаются с нижней точкой окружности ставим точки F. Соединяем точки N с точками F. В местах пересечений линий NF с малой окружностью ставим точки Е. Из точек через точки Е проводим линии до пересечения с большой дугой и ставим точки. Соединяем точки М с точками. В местах пересечений линий М и F ставим точки О. От точек О в сторону точек F по биссектрисам откладываем расстояние СО. Получаем точки А. Из точек А // МС проводим линии до пересечения с продолжениями линий CN и ставим точки В. Из точек А // ВС проводим линии до пересечения с продолжениями линий МС и ставим точки D. Соединяем точки М с точками А и точки N с точками А. Если требуется разделить начальные углы MCN на три равновеликие части, то из точек С направляя вверх проводим линии параллельные AM и AN.

Теперь в местах пересечения АМ и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М с точками N. В местах пересечения хорды MN с биссектрисой А ставим точку. Треугольники АМ и АN равны по двум катетам. Треугольники АРС и АСQ равны, т.к. а АС - общая. Следовательно в обоих чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.

Чертеж 5.

На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.

Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,

Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.

Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.

Треугольники АВМ равны треугольникам AND по трем сторонам, значит и треугольники АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно в обоих чертежах, а и фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ могут находиться, а могут и не находиться и точки F на линиях АN могут находиться, а могут и не находиться.

Рассмотрим на обоих чертежах по два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры АЕND. Сумма углов у обоих одинакова. а значит или

В обоих чертежах равны фигурам АЕND.

В результате получается:

Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.

следовательно

или Но где находятся точки Е и F пока не известно.

Чертеж 6.

На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.

Так как углы МАN симметричны относительно биссектрис ромбов АС, потому что, а, значит точки Е и F если и не находятся на линиях АМ и АN, то находятся на одинаковом расстоянии от этих линий. Иными словами и, если таковые углы существуют, то эти углы равны между собой. Если меньше то больше на 2 И наоборот если больше то меньше на 2

На чертеже 6 (а, б) рассмотрим (вместе равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.

На чертеже 7 (а, б) рассмотрим и ромб АВСD.

Получится, что

Но и могут быть равны каким-либо углам, если.

Следовательно, наши углы NAF и EAM = 0, и точка Е находится на линии АМ, а точка F находится на линии AN и.

Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.

В виде приложения мы можем теперь заняться решением одной уже раньше затронутой популярной математической проблемы, - а именно, задачи о делении любого угла на равных частей, в частности для - задачи о трисекции угла. Задача состоит в том, чтобы найти точное построение с помощью циркуля и линейки, которое давало бы деление любого угла на три равные части. Для целого ряда специальных значений угла легко можно найти такие построения. Я хочу познакомить вас с ходом мыслей в доказательстве невозможности трисекции угла в указанном смысле; при этом я прошу вас вспомнить доказательство невозможности построения правильного семиугольника с помощью циркуля и линейки. Как и в том доказательстве, мы сведем задачу к неприводимому кубическому уравнению и затем покажем, что его невозможно решить посредством одних только извлечений квадратного корня. Но только теперь в уравнение будет входить параметр - угол - тогда как раньше коэффициенты были целыми числами; в соответствии с этим теперь вместо числовой должна оказаться функциональная неприводимость.

Чтобы получить уравнение, дающее запись нашей проблемы, представим себе, что на положительной полуоси действительных чисел построен угол (рис. 41); тогда его вторая сторона пересечет окружность радиуса 1 в точке

Наша задача сводится к тому, чтобы найти такое независимое от величины угла построение, состоящее из конечного числа операций с циркулем и линейкой, которое всякий раз давало бы точку пересечения этой окружности со стороной угла т. е. точку

Это значение z удовлетворяет уравнению

и аналитический эквивалент нашей геометрической задачи состоит в том, чтобы решить это уравнение посредством конечного числа извлечений квадратных корней из рациональных функций от ибо это суть координаты точки w, из которых мы должны исходить при нашем построении.

Прежде всего надо убедиться в том, что уравнение (3) неприводимо с точки зрения теории функций. Правда, это уравнение не вполне подходит под тот тип уравнений, который мы имели в виду в предыдущих общих рассуждениях: вместо рационально входящего комплексного параметра w здесь рационально входят две функции - косинус и синус - действительного параметра Мы назовем здесь многочлен приводимым при условии, что он распадается на многочлены относительно , коэффициенты которых тоже являются рациональными функциями от Можно дать критерий понимаемой в этом смысле приводимости, вполне подобный прежнему. А именно, если в равенстве (3) пробегает все действительные значения, то пробегает в то же время окружность радиуса 1 в плоскости w, которой в силу стереографической проекции соответствует экватор на сфере w. Линия, лежащая над этой окружностью на римановой поверхности уравнения и одновременно пробегающая все три листа, при помощи (3) взаимно однозначно отображается на окружность радиуса 1 сферы и поэтому может быть до некоторой степени названа его «одномерным римановым изображением». Ясно, что подобным образом можно для всякого уравнения вида построить такое риманово изображение; для этого нужно взять столько экземпляров окружностей с радиусом 1 и с длиной дуги сколько корней имеет уравнение, и скрепить их соответственно связности корней.

Далее заключаем совершенно подобно прежнему, что уравнение только тогда могло бы быть приводимым, если бы его одномерное риманово изображение распадалось на отдельные части, но в данном случае это не имеет места, и потому неприводимость нашего уравнения (3) доказана.

Прежнее доказательство того, что всякое кубическое уравнение с рациональными численными коэффициентами, разрешимое посредством ряда извлечений квадратного корня, является приводимым, может быть дословно перенесено на настоящий случай неприводимого в функциональном смысле уравнения (3); стоит только вместо слов «рациональные числа» говорить каждый раз «рациональные функции от После этого является вполне доказанным наше утверждение о том, что невозможно выполнить посредством конечного числа операций (с циркулем и линейкой) деление на три части произвольного угла таким образом, все старания людей, занимающихся трисекцией угла, обречены на вечную бесплодность!

Теперь перейдем к рассмотрению несколько более сложного примера.