Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Явные схемы для уравнения движения в полуплоскости

Задача:  
Разность назад по пространственной переменной:

Аппроксимация:
Схема:
Ошибка:
Оценить погрешность решения в равномерной норме через максимальные значения начальных данных  и ошибок аппроксимации.
Решение:

Пусть , тогда

т.е. схема по крайней мере условно устойчива.

Пусть , тогда

Если , то

При  величина должна быть ограниченной:
,
и, следовательно, для ограниченности  необходима ограниченность
 - необходимое условие устойчивости.
Оно является и достаточным, т.к. ,
т.е. схема  условно устойчива.

Разность вперед по пространственной переменной:

Аппроксимация:
Схема:
Доказать, что схема неустойчива.
Док-во. Применим спектральный критерий: будем искать решение однородного разностного уравнения

в виде . Тогда для определения постоянной  имеем

Очевидно, что при , а необходимым условием устойчивости является существование положительной постоянной C такой, что  при любом .

Центральная разность по пространственной переменной:

Аппроксимация:
Схема:
Ошибка:
Доказать, схема условно устойчива.
Док-во. Применим спектральный критерий: будем искать решение однородного разностного уравнения

в виде . Тогда для определения постоянной  имеем

Так как  ,     то при   решение ограничено, поскольку  .
Выясним, в какой норме будет устойчивость. Определим на каждом слое скалярное произведение и норму:

и оператор .
Тогда .
Так как  то

Тогда , если .
Следовательно,

т.е. схема условно устойчива в норме, являющейся разностным аналогом нормы .

Дата публикации:2012-12-06

Просмотров:1177

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.