Схемы для уравнения движения для начально-краевой задачи

Задача:  

Явные схемы:
Разность назад по пространственной переменной:
 
Доказать, что схема устойчива в равномерной норме при .

Разность вперед по пространственной переменной:

  
Доказать, что схема не имеет единственного решения, т.к. не хватает уравнений.

Неявные схемы:
Разность назад по пространственной переменной:
 
Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
Матрица этой системы имеет строгое диагональное преобладание по строкам
(с ), положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы, следовательно, равномерная норма обратной матрицы не больше 1. 
.
Схема устойчива в равномерной норме и .

Разность вперед по пространственной переменной:
 
Доказать устойчивость в равномерной норме при .

Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
Матрица этой системы при  имеет строгое диагональное преобладание по строкам (с ), положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы, следовательно, равномерная норма обратной матрицы не больше 1. 

.
Схема условно устойчива в равномерной норме и .

Схема 2-го порядка по :

Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:

При