Задача: 
Явные схемы:
Разность назад по пространственной переменной:
Доказать, что схема устойчива в равномерной норме при .
Разность вперед по пространственной переменной:
Доказать, что схема не имеет единственного решения, т.к. не хватает уравнений.
Неявные схемы:
Разность назад по пространственной переменной:

Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
Матрица этой системы имеет строгое диагональное преобладание по строкам
(с ), положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы, следовательно, равномерная норма обратной матрицы не больше 1. 
.
Схема устойчива в равномерной норме и .
Разность вперед по пространственной переменной:

Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:
.
Матрица этой системы при имеет строгое диагональное преобладание по строкам (с ), положительные диагональные и неположительные внедиагональные элементы, следовательно, равномерная норма обратной матрицы не больше 1.

.
Схема условно устойчива в равномерной норме и .
Схема 2-го порядка по :
 
Доказать устойчивость в равномерной норме при .
Док-во. Матричная запись перехода со слоя на слой:

При 

|