Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Каталоги оптимальных планов

Построение оптимальных планов для произвольных функций отклика представляет сложную задачу. В интересах облегчения решения такой задачи для некоторых типовых функций отклика составлены каталоги оптимальных планов [5, 9]. Рассмотрим некоторые из них для случаев, когда многомерное пространство допустимых значений факторов представляет собой куб или шар. Соответственно допустимые области значений факторов должны удовлетворять условиям:

для куба –1£ хi £ 1, i= 1, 2, …, k;

для шара х12 + х22 + … + хk2 £ 1.

1. Функция отклика представляет собой полином порядка q одного фактора (k = 1)

y ' = b0 + b1 x + b2 x2 + … + bq x q , q = 1, 2, … .

Примеры А-оптимальных планов представлены в табл. 5.6, D-оптимальных планов – в табл. 5.7. Соблюдение свойства оптимальности планов требует выполнения определенных соотношений по количеству реализаций в каждой точке плана. Это соотношение задается значением веса wj. Например, значение веса, равное 0,152, означает, что в соответствующей точке плана в ходе исследования следует провести 0,152-ю часть всех опытов. Для A-оптимальных планов веса точек различны, для D-оптимальных планов веса всех точек одинаковы.

Таблица 5.6

Степень полинома, q Значения фактора х / вес точки плана w
x (1) / w1 x (2) / w2 x (3) / w3 x (4) / w4 x (5) / w5
–1,0 / 0,25 0,0 / 0,5 1,0 / 0,25
–1,0 / 0,152 –0,468 / 0,348 0,468 / 0,348 1,0 / 0,152
–1,0 / 0,107 –0,683 / 0,25 0,0 / 0,286 0,683 / 0,25 1,0 / 0,107

 

Таблица 5.7

Степень полинома, q Значения фактора х
x (1) x (2) x (3) x (4) x (5)
–1,0 0,0 1,0
–1,0 –0,447 0,447 1,0
–1,0 –0,655 0,0 0,655 1,0

2. Выше были рассмотрены композиционные планы для оценки коэффициентов полной квадратичной функции (5.1) от k факторов. Кроме них существуют оптимальные планы на кубе, которые предусматривают выбор множеств точек с целочисленными координатами:

точка в центре куба (множество М0). Все координаты равны нулю;

множество точек Мk, соответствующих вершинам куба. Все координаты равны ±1. Количество точек 2k;

множество Мk – 1 середин ребер (все координаты равны ±1, за исключением одной нулевой координаты). Количество точек k2 k– 1;

множество центров граней размерности k l (l координат равно нулю). Количество точек равно Сkkl2kl, l = 2, 3, …, k – 1.

В табл. 5.8 приведены веса множества Мj, j = 0, 1, 2, …, k для различного количества факторов. Для получения веса конкретной точки плана следует вес соответствующего множества разделить на количество точек в множестве. Как видно из табл. 5.8, каждый фактор варьируется на трех уровнях, и не все сочетания множеств допустимы для конкретного плана.

Таблица 5.8

Критерий оптимальности плана Количество переменных, k Множество точек плана
М0 М1 М2 М3 М4 М5 М6
D 0,0962 0,3206 0,5832 - - - -
0,0655 - 0,4242 0,5103 - - -
0,0474 - - 0,5021 0,4506 - -
0,0368 - - - 0,5622 0,4021 -
0,0216 - - - - 0,6097 0,3297
A 0,376 0,391 0,233 - - - -
0,425 - 0,569 0,060 - - -
0,370 - 0,552 - 0,078 - -
0,427 - 0,573 - - - -
0,404 - - 0,556 - 0,040 -

Пример 5.5.1.Составить D-оптимальный план для k = 3.

Решение.

План представлен в табл. 5.9. План включает: точку с нулевыми координатами; двенадцать точек, соответствующих центрам ребер трехмерного куба; восемь точек, соответствующих вершинам куба. Этот план не включает точки, соответствующие центрам граней трехмерного куба.

Таблица 5.9

№ пп х1 х2 х3 Характеристика множества
Множество М0. Вес точки wj = 0,0655
+ 1 + 1 Множество М2. Суммарный вес точек множества 0,4242. Количество точек 2×k×(k – 1). Вес одной точки wj = 0,4242 / 12 = 0,0353
– 1 + 1
+ 1 – 1
– 1 – 1
+ 1 + 1
– 1 + 1
+ 1 – 1
– 1 – 1
+ 1 + 1
– 1 + 1
+ 1 – 1
– 1 – 1
+ 1 + 1 + 1 Множество М3. Суммарный вес точек множества 0,5103. Количество точек 2×k = 8. Вес одной точки wj = 0,5103/ 8 = 0,0638
– 1 + 1 + 1
+ 1 – 1 + 1
– 1 – 1 + 1
+ 1 + 1 – 1
– 1 + 1 – 1
+ 1 – 1 – 1
– 1 – 1 – 1

3. Оптимальные планы на шаре единичного радиуса для построения полных квадратичных моделей включают следующие множества точек:

точку в центре шара (множество М0). Все координаты равны нулю;

множество точек с координатами (±1, 0, …, 0), …., (0, 0, …, ±1). Это множество М1 содержит 2k точек;

множество М2 точек, соответствующих вершинам вписанного в шар многомерного куба. Координаты вершин куба принимают значения ±k1/2. Количество вершин куба равно 2k.

В табл. 5.10 приведены веса множества Мj, j = 0, 1, 2 для различного количества факторов k. Расчет веса конкретной точки плана производится делением веса соответствующего множества на количество точек в множестве. Как видно из табл. 5.10, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

Таблица 5.10

Критерий оптимальности Количество факторов, k Множество точек
М0 М1 М2
A 0,2918 0,2932 0,4148
0,1924 0,2586 0,5488
0,1377 0,2256 0,6368
0,1044 0,2000 0,6976
0,0825 0,1750 0,7425
D 0,1667 0,4167 0,4167
0,1000 0,3600 0,5400
0,0667 0,3111 0,6222
0,0476 0,2721 0,6803
0,0357 0,2411 0,7232

Пример 5.5.2.Составить D-оптимальный план на шаре для k = 3.

Решение.

D-оптимальный план имеет матрицу планирования для основных переменных, представленную в табл. 5.11. Количество точек плана равно 15, каждый фактор варьируется на пяти уровнях.

По своим параметрам представленный план во многом аналогичен центральному композиционному плану Бокса. Отличие заключается в величине радиуса гиперсферы – он равен единице (в ЦКП Бокса радиусы превышают единичное значение).

План на шаре более экономичен по сравнению с планом на кубе по количеству точек (аналогичный план на кубе содержит 21 точку), но вместо трех уровней варьирования фактора предполагает пять уровней.

Таблица 5.11

№ пп Фактор Вес точки плана Примечание
х1 х2 х3
0,1000 Множество М0
0,0600 Множество М1. Суммарный вес 0,3600. Количество точек 6.
– 1 0,0600
0,0600
– 1 0,0600
0,0600
– 1 0,0600
3 – 1/2 3 – 1/2 3 – 1/2 0,0675 Множество М2. Суммарный вес 0,5400. Количество точек 8.
– 3 – 1/2 3 – 1/2 3 – 1/2 0,0675
3 – 1/2 –3 – 1/2 3 – 1/2 0,0675
– 3 – 1/2 – 3 – 1/2 3 – 1/2 0,0675
3 – 1/2 3 – 1/2 – 3 – 1/2 0,0675
– 3 – 1/2 3 – 1/2 – 3 – 1/2 0,0675
3 – 1/2 – 3 – 1/2 – 3 – 1/2 0,0675
– 3 – 1/2 – 3 – 1/2 – 3 – 1/2 0,0675

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:522

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2019 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.