Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Ортогональные центральные композиционные планы

В планах Бокса к ядру, построенному на основе ПФЭ или ДФЭ, добавляется одна точка в центре плана с координатами (0, 0, ..., 0) и 2k "звездных" точек с координатами (± g, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ± g). Построенный таким образом план будет ЦКП второго порядка. Общее количество точек плана при использовании композиционного планирования составит N = N0 +2k+ 1, где N0 – количество точек ядра плана. В табл. 5.1 и 5.2 содержится описание соответствующих матриц планирования для ЦКП при k = 2. Количество опытов для данного плана N = 22 + 2·2 + 1 = 9. Аналогично строятся ЦКП для произвольного числа факторов, при этом каждый фактор варьируется на пяти уровнях: – g; – 1; 0; 1; g.

Таблица 5.1   Таблица 5.2
Ядро плана   Дополнительные точки
x1 x2   x1 x2
+ +   g
+   – g
+   g
  – g
     

В матрице плана второго порядка не у всех столбцов соблюдается условие симметрии и не все пары столбцов ортогональны. Например, рассмотрим ЦКП второго порядка для трех переменных, табл. 5.3.

Таблица 5.3

План x0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x12 x22 x32
ПФЭ + + + + + + +
  + + + + + +
  + + + + + +
  + + + + + + +
  + + + + + +
  + + + + + + +
  + + + + + + +
  + + + + + + + + + +
Звезд­ный + –g g2
план + g g2
  + –g g2
  + g g2
  + –g g2
  + g g2
Центр плана +

Суммы так как ¹ 0 для всех строк плана. Для устранения асимметрии и нарушений ортогональности ЦКП Бокса необходимо провести преобразование квадратичных параметров и специальным образом выбрать величину плеча g.

Чтобы добиться соблюдения свойства симметричности следует перейти от xi2 к центрированным величинам xi* = xi2x2i ср (сумма центрированных величин равна нулю). Среднее значение x2i ср , как видно из табл. 5.3, для всех xi2 одинаково и равно

c = (N0+2g2)/N. (5.3)

Тогда исходную квадратичную модель (5.1) можно преобразовать

y' =b0 + b1x1+ … + b1xk + b12x1x2 + … + bk–1, k xk–1xk+

+b11(x12x21 ср + x21 ср) + … + bkk(xk2x2k ср + x2k ср) =

= d0 + b1x1+ … + b1xk + b12x1x2 + … + bk–1, k xk–1xk+ b11x1* + … + bkkxk*,

где d0 = b0 + b11 x21 ср + … + bk–1, k x2k ср = b0 + c(b11 + … + bk–1, k).

Исходная и преобразованная модели эквивалентны, кроме того, в них все коэффициенты, за исключением нулевого, совпадают.

После преобразования получим матрицу планирования, табл. 5.4.

Таблица 5.4

План x0 x1 x2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1* x2* x3*
ПФЭ + + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + + 1–с 1–с 1–с
  + + + + + + + 1–с 1–с 1–с
Звездный + –g g2–с –с –с
план + g g2–с –с –с
  + –g –с g2–с –с
  + g –с g2–с –с
  + –g –с –с g2–с
  + g –с –с g2–с
Центр плана + –с –с –с

Нетрудно заметить, что в этой таблице суммы элементов по всем столбцам, за исключением столбца x0, равны нулю, т.е. в преобразованной таблице соблюдается свойство симметричности.

Но столбцы квадратичных членов не являются ортогональными при произвольных значениях g

= ¹ 0, i ¹ j.

Ортогонализация столбцов, т. е. приравнивание к нулю, достигается специальным выбором величины g. Это значение величины g находится из уравнения

N0 (1 – c)2 – 4c(g2 c) + (2k – 4)c2 + c2 = 0

или

N0 – 2сN0 + N0 с2 – 4cg2 +4c2 + 22 – 4c2 + c2 =

N0 – 2(N0 +2g2)с + c2 (N0 + 2k +1)= N0 – 2с2 N + c2N = 0.

Следовательно, с2N = N0. Тогда с = (N0 /N)1/ 2.

Подставим найденное значение величины с в уравнение (5.3)

(N0 /N)1/ 2 = (N0+ 2g2 )/N.

Решив уравнение, найдем величину g, которая придает матрице планирования (в том числе табл. 5.4) свойство ортогональности

g = {[(N N0)1/2 N0]/2}1/ 2. (5.4)

Значения g, обеспечивающие ортогональность, например, для ядер 22, 23, 24, 25–1, составляют соответственно 1; 1,215; 1,414; 1,547.

Оценки коэффициентов регрессии определяются по модифицированной матрице независимых переменных, табл. 5.4:

.

В приведенной формуле m= и обозначает общее количество оцениваемых коэффициентов полинома, за исключением нулевого.

Оценка коэффициента , тогда .

Оценки дисперсии коэффициентов

;

,

где – оценка дисперсии среднего значения функции отклика в u-й точке плана.

Оценка дисперсии функции отклика

.

Оценки дисперсии коэффициентов являются различными, так как вычисляются по разным совокупностям точек плана. Оценка дисперсии функции отклика зависит не только от расстояния до заданной точки от центра, но и от ее положения в пространстве, т. е. ортогональный план второго порядка не являются ротатабельным.

Проверка однородности дисперсии воспроизводимости, адекватности модели, значимости коэффициентов полинома в случае применения ортогональных ЦКП второго порядка осуществляется по рассмотренной выше схеме.

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:609

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2019 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.