Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Планирование полного факторного эксперимента.

Харло

…уровню соответствовало значение +1, а нижнему -1, а основному нуль.

Для факторов с непрерывной областью определения это можно сделать с помощью преобразования:

- натуральное значение фактора

- натуральное значение основного уровня

- интервал выравнивания

Тогда - это кодированное значение фактора с № i

Процесс преобразования с помощью этих формул называется кодированием данных.

На интервал варьирования накладываются ограничения:

1) он не должен быть меньше погрешности в измерении фактора.

2) Верхний и нижний уровни должны быть в области определения.

Априорные данные в процессе эксперимента могут корректироваться.

 

Рассмотрим планирование факторного эксперимента на примере более простой и наиболее часто используемой полиномиальной модели. Если число факторов k, то для полного факторного эксперимента требуется 2k опыта. Условия эксперимента записываются в виде таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов, такие столбцы называются матрицами планирования. Построим матрицу планирования для 2-х факторов:

№ опыта Х1 Х2 У
+1 +1 У1
-1 +1 У2
+1 -1 У3
-1 -1 У4

Матрица планирования состоит из вектор-столбцов и вектор-строк. С ростом числа факторов k возникает необходимость в разработке правил построения матриц. На практике используется 3 приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей. В этом случае записывается исходный план для значения +1 нового фактора, а затем повторяется план для другого значения (-1) нового фактора.

Используя таблицы получим план для 3-х факторов:

1) способ

№ опыта Х1 Х2 Х3 У
+1 +1 +1 У1
-1 +1 +1 У2
+1 -1 +1 У3
-1 -1 +1 У4
+1 +1 -1 У5
-1 +1 -1 У6
+1 -1 -1 У7
-1 -1 -1 У8

 

Существуют другие способы построения планов эксперимента. Правило перемножения столбцов матриц, то есть вместо столбца Х3 строится столбец Х1Х2

2) способ

№ опыта Х1 Х2 Х3 У
+1 +1 +1 У1
-1 +1 -1 У2
+1 -1 -1 У3
-1 -1 +1 У4
+1 +1 -1 У5
-1 +1 +1 У6
+1 -1 +1 У7
-1 -1 -1 У8

 

Правило чередования знаков: в первом столбце знаки меняются поочередно, во втором – через 2, в третьем – через 4, и т.д.

3) способ

№ опыта Х1 Х2 Х3 У
+1 +1 +1 У1
-1 +1 +1 У2
+1 -1 +1 У3
-1 -1 +1 У4
+1 +1 -1 У5
-1 +1 -1 У6
+1 -1 -1 У7
-1 -1 -1 У8

 

Матрицы планирования обладают следующими свойствами:

1) симметричность относительно центра эксперимента – это значит, что для каждого фактора алгебраическая сумма элементов вектора столбца = 0 :

2) условие нормировки: сумма квадратов элементов каждого столбца = числу опытов:

3) ортогональность матриц: сумма почленных произведений любых

2-х различных столбцов = 0:

4) Ротатабельность – это свойство означает, что точность выходного параметра, то есть точность величины У одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Правильно составленная матрица эксперимента должна обладать всеми четырьмя перечисленными свойствами.

Для нахождения коэффициентов линейной модели, к примеру У=а01х12х23х3, используется формула

Чтобы все коэффициенты модели вычислялись по одной формуле, в матрицу планирования удобно ввести фиктивную переменную х0, которая во всех опытах принимает значение +1, т.е. х0 = +1.

Для 3-х факторов:

а0 = 1/8(у12+…+у8) – среднее арифметическое;

а0 = 1/8(у12+ у34+…-у8);

а0 = 1/8(у12- у34+…-у8);

а0 = 1/8(у12+ у3456- у678).

Значение коэффициентов аi соответствует вкладу фактора в силу его влияния, чем больше значение аi, тем больше влияние фактора “i”.

При планировании эксперимента, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Если результат окажется неудовлетворительным, то необходимо учитывать нелинейные эффекты. Полный факторный эксперимент, типа 2k позволяет оценить эффект взаимодействие факторов. Для этого, пользуясь примером перемножения столбцов, получают столбец произведения 2-х факторов.

При вычислении коэффициентов, с этим столбцом образуется как с вектор столбцом любого фактора.

Например, при планировании ПФЭ 22

№ опыта Х1 Х2 X1+Х2 У
+1 +1 +1 У1
-1 +1 -1 У2
+1 -1 -1 У3
-1 -1 +1 У4

Например, при ПФУ 23 можно получить мат. модель в виде:

У=а01х12х23х3+ а12х1 х2+а13х1 х323х2 х3+ а123+ х1 х2 х3

№ опыта Х0 Х1 Х2 Х3 Х1Х2 Х1Х3 Х2Х3 Х1Х2Х3 У
+ + + + + + + + У1
+ - + + - - + - У2
+ + - + - + - - У3
+ - - + + - - + У4
+ + + - + - - - У5
+ - + - - + - + У6
+ + - - - - + + У7
+ - - - + + + - У8

 

а0 = 1/8(у12+…+у8);

а1= 1/8(у12+ у345678);

а2= 1/8(у12- у345678);

а3 = 1/8(у12+ у345678);

а12 = 1/8(у12- у345678);

а13 = 1/8(у12+ у345678);

а23 = 1/8(у12- у345678);

а123 = 1/8(у12- у345678).

Эффекты Х1Х2, Х1Х3, Х2Х3 – называются коэффициентами парного взаимодействия, или взаимодействий первого порядка.

Эффект Х1Х2Х3 – это эффект взаимодействия второго порядка.

Эффект максимального порядка = k-1. полное число коэффициентов aj = числу опытов полного факторного эксперимента. Ортогональные матрицы позволяют получить независимые оценки для всех коэффициентов. Это справедливо только для линейных моделей. Если же модель, например, квадратичная, то в этом случае столбец для х0 будет совпадать со столбцами х12 х22 и т.д..

В результате мы не можем сказать за счет чего, получается значение для a0. оценка a0 оказывается смещенной и кроме того a0 включает в себя вклады всех квадратичных оценок. Это символически записывается в виде

a0 β0+∑ βii

Если квадратичные слагаемые не значимые мы значение квадратичных слагаемых можем отбросить, и тогда оценка получится не смешанной. Для квадратичной модели оценки всех коэффициентов кроме a0 – несмешанные.

Вывод: полный факторный эксперимент, типа 2k позволяет учесть линейные эффекты и эффекты взаимодействия.

 

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:606

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.