Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Приложении 3. Описание лабораторных работ

Практическое занятие 7.

Корреляция. Расчет уравнения регрессии.

 

Методом наименьших квадратов найти уравнение вида Y=bо +b1X, наилучшим образом описывающую положительную регрессионную зависимость Y от X.

Для этого составляем систему уравнений:

Syi - S(b +b1X) = 0 ¶Ф/¶b0 = S(yi -(b0+b1xi)) = 0

Sxiyi - S(b0+b1xi) =0 ¶Ф/¶b1 = S(yi -(b0+b1xi)xi ) = 0

 

После преобразований находим

b = [SxiSyi - NSxiyi ]/[ (Sxi)2-NSxi2]

b0 =Ycp-b1Xcp

Коэффициент корреляции рассчитываем по формуле

R = [S(xi -xcp)(yi -ycp)]/(n-1)SxSy -1£R£+1

или

R=b1Sx/Sy = b1{[nSxi2 -(Sxi)2 ]/[nSyi2 -(Syi)2 ]}1/2

Проверку вычислений проводят по формуле:

S(xi+yi)2 = Sxi2 + 2Sxiyi + Syi2

Качество аппроксимации оценивают, сравнивая S2ост и дисперсию относительно среднего

Sу2 = [S(yi-Ycp)2]/(n-1)

S2ост = [SS(yin -Yicp)2]/( Smi -L)

где L - число коэффициентов в уравнении регрессии.

Пример

Получены экспериментальные точки зависимости Y(X)

Х Y x*y x*x y*y
11,5 132,25
Sum=42 64,5 753,25

 

После расчетов получили

 

Y=4,3+0,9214*X

R=b1*((nSxi^2-(Sxi)^2)/(nSyi^2-(Syi)^2))^0,5  
R=0,9214*((6*364-42^2)/(6*753,25-64,5^2))^0,5
R=0,996264        
         

R^2=0.99254

 

Лабораторная работа 3 "Симплекс"

 

"Симплекс-метод определения режимов (параметров) оптимума (техно-

логического) процесса при двухфакторном эксперименте".

 

по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"

 

1.Теоретичекая часть.

Симплекс - простейший многоугольник в данном факторном пространс-

тве. Если есть функция двух параметров F(X1,X2), максимум (или мини-

мум) которой нам неоходимо найти, то используется треугольник. Если

такая же задача стоит перед нами для функции трех факторов

F(X1,X2,X3), то используется пирамида с треугольным основанием (тетра-

эдр). Если есть функция четырех параметров ,то используется пентаэдр и

т.д. Вид функциональной зависимости не имеет значения, но желательно,

чтобы эта функция имела экстремум и была непрерывна.

Сущность метода состоит в том, что поиск (эксперимент) проводится

вначале (в случае функции F(X1,X2)) при трех значениях параметров

(факторов), расположенных в вершинах треугольника:Х11,X21; X12,X22;

X13,Y23. (Рис.1) После нахождения значений функции во всех трех точках

F1(Х11,X21), F2(X12,X22), F3(X13,Y23) их сравнивают между собой.

Координаты следующей точки определяют, располагая ее с противопо-

ложной стороны от точки, в которой F(X1,X2) минимальна, если ищут мак-

симум (или максимальна, если ищут минимум). Пусть, например, F1<F2 и

F1<F3, тогда, при поиске максимума, переворачиваем треугольник вокруг

оси между точками 2 и 3 и, таким образом, получают коррдинаты точки 4.

При этом треугольник перевернут. (Рис.2) После нахождения значения

функции в точке 4 получают F4(X14,X24). Сравнивают между собой значе-

ния функции в вершинах треугольника 2,3,4.

 

 


 

- 2 -

 

X2 I Х2 I

I I

I o 3 I o 3 o 4

I 1 o o 2 I 1 o o 2

I ______________ X1 I_________________ Х1

Рис.1 Рис.2

 

Если,например, F2<F4 и F2<F3 находят координаты точки 5 напротив

точки 2, перевернув треугольник вокруг оси между точками 3 и 4. Срав-

нивая между собой значения функции F в точках 3,4 и 5 находят коорди-

наты точки 6 и т.д. до достижения оптимум - максимума или минимума

функции F.

Соединяя на графике точки последовательно между собой, мы получа-

ем ломаную линию, постепенно приближающуюся к оптимуму.

В оптимуме значения F будут меньше в последующей точке по сравне-

нию с предыдущей.

Функция F - это "целевая функция" или параметр оптимизации. Это

может быть какая-то характеристика материала, например механическая

прочность (временное сопротивление) при разрыве или фукция желатель-

ности D, учитывающая роль нескольких параметров, как количественных,

так,возможно, и качественных: D=(D1*D2*D3..Dn)^1/n или это может быть

минимальная сумма квадратов отклонений отдельных параметров Xi от за-

данных (желаемых) Xiж : Summa(Ki*(Xi-Xiж)^2). Коэффициент Кi отражает

важность (весомость) параметра i.

В простейшем случае, если параметры равнозначны, K1=K2=...=Kn=1.

 

2. Порядок выполнения работы.

После запуска программы, программа запрашивает координаты первой

точки и шаг поиска, которые студент выбирает и вводит самостоятельно.

После ввода параметров программа рассчитывает и на экране показываются

координаты точек 2 и 3 и значения функции F во всех точках. Программа

сама сравнивает между собой значения в разных точках и указывает коор-


 

- 3 -

динаты точек 4 и 5. Если функция F в точке 5 больше предыдущих, то по-

иск продолжается до тех пор, пока в следующей точке не будет значение

F меньше, чем в предыдущей. При выполнении работы студент вводит также

порядковые номера точек.

Студент должен записать координаты и значения целевой функции в

каждой точке до достижения максимума. После записей нужно выйти из

программы, набрав номер 100.

Сбои в работе программы происходят, когда значения F у двух точек

оказываются равными. В этом случае после записи координат последней

точки нужно выйти из программы и запустить ее заново, введя в качестве

координат первой точки координаты последней предыдущей и изменим шаг

поиска в сторону уменьшения. Иногда целесообразно несколько сместить

одну из координат, но меньше , чем на шаг поиска.

После выхода из программы нужно построить график. Для этого сле-

дует запустить программу Simplexg. После ее запуска на экране появля-

ется координатная сетка Х2(Х1).

Программа запрашивает координаты точек, которые студент должен

ввести по порядку. При этом на экране можно наблюдать каким образом

происходит постепенное перемещение - поиск оптимума.

После введения всех точек до оптимума студент перерисовывает гра-

фик в лабораторный журнал и указывает стрелками направление перемеще-

ния в системе координат.

 

3. Сдача зачета по лабораторной работе.

Для зачета по работе студент должен представить лабораторный жур-

нал с записями и графиком поиска оптимума, а также ответить на вопросы

преподавателя. В ответах на вопросы студент должен продемонстрировать

знание сущности работы и принципы симплекс-метода.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4

"Планирование полного двухфакторного эксперимента".

 

по курсу "Моделирование и оптимизация свойств материалов"

 

Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-

ледовании зависимости целевой функции от двух независимо изменяющихся

факторов X,Y,Z.

 

1.Теоретическая часть.

Полный двухфакторный эксперимент состоит в наборе эксперименталь-

ных данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y

для всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших

расчетов составляется матрица планирования, имеющая вид (справа сим-

вольные представления):

 

N=1 Xmin Ymin 1 -1 -1

" 2 Xmax Ymin 1 1 -1

" 3 Xmin Ymax 1 -1 1

" 4 Xmax Ymax 1 1 1

 

После проведения экспериментов согласно заданному плану

по полученным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:

 

F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2;

где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2;

причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2;

z2:=(Ymax+Ymin)/2;

dz2:=(Ymax-Ymin)/2;

После преобразований получаем более простую зависимость:

F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2);

После расчетов некоторые коэффициенты могут быть равны нулю, нап-


 

- 2 -

ример член а12. Поэтому удобно для последующего анализа еще более уп-

ростить зависимость:

F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;

Если b12,a12,с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно прово-

дить по методу "крутого подъема", изменяя параметры провпорционально

коэффициентам уравнения регрессии b1,b2.

 

2.Порядок выполнения работы

 

1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров

X,Y и составляет матрицу планирования.

2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-

тавленному плану. При этом он получает значения целевой функции

y1..y4.Результаты "эксперимента" следует записать.

3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-

сии.

4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-

дит поочередно значения параметров, при которых он проводил "экспери-

мент", при этом по регрессионному уравнению должны получиться значения

целевой функции в

5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя

параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения

параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-

ножив прирост параметров в k раз.

6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-

ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-

дуемые значения параметров X,Y и записать результаты экспериментов.

Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F

проходило через максимум. В противном случае следует заново провести

прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-

ния желаемого результата.

 

 


 

- 3 -

3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.

Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены

план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-

ментов и полученных результатов.

При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-

щества работы.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5

"Планирование полного трехфакторного эксперимента"

 

по курсу "Моделирование свойств материалов".

 

Работа посвящена рациональному планированию эксперимента при исс-

ледовании зависимости целевой функции от трех независимо изменяющихся

факторов X,Y,Z.

1.Теоретическая часть.

Полный факторный эксперимент состоит в наборе экспериментальных

данных по двум - максимальным и минимальным уровням значений X,Y,Z для

всех возможных сочетаний значений. С целью облегчения дальнейших рас-

четов составляется матрица планирования, имеющая вид:

 

N=1 Xmin Ymin Zmin 1 -1 -1 -1

" 2 Xmax Ymin Zmin 1 1 -1 -1

" 3 Xmin Ymax Zmin 1 -1 1 -1

" 4 Xmax Ymax Zmin 1 1 1 -1

" 5 Xmin Ymin Zmax 1 -1 -1 1

" 6 Xmax Ymin Zmax 1 1 -1 1

" 7 Xmin Ymax Zmax 1 -1 1 1

" 8 Xmax Ymax Zmax 1 1 1 1

 

После проведения экспериментов согласно заданному плану по полу-

ченным результатам составляется уравнение регрессии, имеющее вид:

 

F=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b12*x1*x2+b13*x1*x3+b23*x2*x3+b123*x1*x2*x3;

где x1=(X-z1)/dz1; x2=(Y-z2)/dz2; x3=(Z-z3)/dz3)

причем z1:=(Xmax+Xmin)/2; dz1:=(Xmax-Xmin)/2; z2:=(Ymax+Ymin)/2;

dz2:=(Ymax-Ymin)/2; z3:=(Zmax+Zmin)/2;dz3:=(Zmax-Zmin)/2;

После преобразований получаем более простую зависимость:

F=a0+a1*X+a2*Y+a3*Z+a12(X-z1)(Y-z2)+a13*(X-z1)(Z-z3)+

+a23*(Y-z2)*(Z-z3)+a123*(X-z1)(Y-z2)(Z-z3);


 

- 2 -

После расчетов многие коэффициенты равны нулю, например член а123.

Поэтому удобно для последующего анализа еще более упростить зависимость:

F=c0+c1*X+(c2+c4*X)*Y+(c3+c5*Y+c6*X)*Z;

Если с4,с5,с6=0, то последующие эксперименты можно проводить по методу

"крутого подъема", изменяя параметры провпорционально коэффициентам

уравнения регрессии с1,с2,с3.

 

2. Порядок выполнения работы

1.Студент выбирает максимальные и минимальные значения параметров

X,Y,Z и составляет матрицу планирования.

2.После запуска программы студент проводит "эксперимент" по сос-

тавленному плану - согласно матрице планирования. При этом он получает

значения целевой функции F1..F8.Результаты "эксперимента" следует за-

писать.

3.После этого студент рассчитывает коэффициенты уравнения регрес-

сии. Коэффициенты следует записать.

4.Проводит проверку правильности расчета: для этого студент вво-

дит одно из сочетаний значений параметров, проводит "эксперимент", при

этом по регрессионному уравнению должно получиться значение целевой

функции равное или близкое к "экспериментальному".

5.Затем слудует провести прогнозирование целевой функции,изменяя

параметры методом "крутого подъема".При этом следует изменить значения

параметров пропорционально коэффициентам b в уравнении регрессии - ум-

ножив прирост параметров в k раз.

6.После проведения прогнозирования следует провести дополнитель-

ные эксперименты, проверив прогноз. Для этого следует ввести рекомен-

дуемые значения параметров X,Y,Z и записать результаты экспериментов.

Лучше всего,чтобы при последовательном изменении параметров значение F

проходило через максимум. В противносм случае следует заново прочести

прогноз,изменив значение k и снова провести "эксперимент" для достиже-

ния желаемого результата.

 

 


 

- 3 -

3. Сдача зачета по лаборатoрной работе.

Для зачета следует представить отчет, где должны быть приведены

план - матрица, полученные результаты экспериментов, анализ экспери-

ментов и полученных результатов.

При ответах на вопросы преподавателя следует прoявить знание су-

щества работы.

 

Составитель: проф. Лущейкин Г.А.

 

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:394

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.