Требования к качеству экспериментов для возможности их планирования.

Успешное применение методов планирования экспериментов возможно только тогда, когда опыты являются воспроизводимыми, а выборочные дисперсии однородными. Чтобы в этом убедиться, необходимо :

1. Определить среднее по результатам параллельных измерений

Y =SY_ij/m; i=1,2,..n и j=1,2,..m

2. Определить выборочные дисперсии

S_i² =S(Y_cpij -Y_icp)² /(m-1)

3.Найти сумму выборочных дисперсий S²_сум =SS_i²

4. Составить отношение G=S²_max/S²_сум , в числителе - максимальное значение выборочной дисперсии. G-расчетное значение критерия Кохрена.

Если рассчитанное

G<G_табл. (N,f), (*)

то можно с вероятностью 1-a принять гипотезу о воспроизводимости опытов и об однородности дисперсий.

Обычно берут a=0,05. При m=3 и n=10 G_табл =0,445.

Если условие (*) не выполняется, то, возможно, что опыт, имеющий

максимальную дисперсию, поставлен неправильно и его надо переделать.

5. Если выборочные дисперсии однородны, то рассчитывают оценку

воспроизводимости S_вос² =SS_i /N

6. Находят среднеквадратичную оценку дисперсии

воспроизводимости S=(S_вос² )^1/2 .

Приложение 2. Практические занятия.

Практическое занятие 3

Оценка расхождений между средними значениями

Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n₁ и n₂ взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X₀ и дисперсию s² .

Пусть оценки дисперсии S₁ и S₂ и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность X_cp1 и X_cp2 , дисперсия которой равна

s₁²/n₁+s₂²/n₂ = (n₁ + n₂ )s² /n₁n₂

Так как оценки S₁² и S₂² дисперсии s² имеют вес n₁ -1 и n₂ -1, то полная оценка дисперсии s² будет равна

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp1)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂ )]^0.5

Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n₁+n₂ -2.

В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при n=18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.

Практическое занятие 4

Расчет доверительных границ. Оценка брака.

Рассчитаем по результатам выборки контрольных параметров, какой ожидается процент изделий не соответствующих заданным параметрам – процент брака. В соответствии с техническими условиями показатель качества должен быть x±z (например, 25±5).

Задача формулируется следующим образом: Найти вероятность того, что абсолютное отклонение Δх=Х-Хср не превзойдет заданного числа z (5). Чтобы от естественных значений х перейти к нормализованным Х, нужно использовать табличные значения Ф(Х), требуется провести нормализацию

Х=(х-хср)/Sx..

По результатам 15 испытаний рассчитаем S и Хср.

Вероятность противного события Р(Δх<=5)=2Ф(5/σ)=Y. Поэтому Р(Δх>=5)=1-Y.

2Ф(5/2,36)=2*0,482=0,964 Р=1-0,964=0,036 или Р=3,6%

Практическое занятие 5.

Оценка дисперсий. Критерий Фишера.

Пусть есть две независимых совокупности со средними значениями Х1 и Х2.Оценки дисперсий S1 и S2. Необходимо оценить, являются ли эти совокупности существенно различными или эти данные взяты из общей совокупности с дисперсией σ.

Для этого используют критерий Фишера F=S₁²/S₂². По Таблице критериев F Фишера находим отношение. Eсли рассчитанное значение F меньше табличного, то нет основания считать, что разница в разбросе данных (в совокупностях) существенна.

Первое задание посвящено сравнительному анализу дисперсий. Существенная разница дисперсий говорит о плохих методиках измерений, в результате которых были получены экспериментальные данные, или о плохой квалификации лаборантов, которые эти данные получили, или о несовершенстве технологий получения образцов (либо изделий), с помощью которых эти образцы были получены.

Второе задание посвящено сравнительному анализу самих результатов. Существенная разница между результатами Х указывает на то, что химический состав образцов (изделий) разный, либо говорит о разных технологиях их изготовлений.

Соответствующую оценку проводят, используя критерий Стьюдента t.

Сначала рассчитывают суммарную среднеквадратичную погрешность S²

S² =[(n₁ -1)S₁² +(n₂ -1)S₂²]/[(n₁ -1)+(n₂ -1)] =

= [S(X-X_cp)² +S(X-X_cp)²]/(n₁ +n₂ -2)

а затем рассчитывают значение критерия t.

В результате получаем

t = [(X_ср2 -X_cp1)/S][n₁n₂ /(n₁ +n₂ )]^1/2

Если значение t превышает допустимое табличное, значит расхождение существенное.

Примечание.

Табличное значение F при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет F=2,54.

Табличное значение t при вероятности 5% и при количестве результатов испытаний n1=n2=12 составляет t=2,201.

Пример задания: Два столбца цифр – результаты проведения двух серий испытаний. Следует рассчитать средние значения Хср1 и Хср2, затем среднеквадратичные погрешности S1 и S2 и далее провести расчеты F и t как указано выше.

Практическое занятие 6.

Оценка воспроизводимости. Выявление и исключение грубых ошибок.

Перед тем, как сравнивать серии результатов экспериментов, следует установить, нет ли среди результатов грубых ошибок.

Для этого полезно расположить все результаты в порядке возрастания и выделить результат существенно отличающийся от всех остальных.

Затем для резко выделяющегося результата Хв рассчитывают значение

Q=(Хв-Х)/R гдн Х – соседнее значение и R- размах варьирования R=Хмах-Хмин

Если рассчитанное Q больше табличного для выбранного уровня значимости при числе параллельных наблюдений n, то значение Хв может быть отнесено к анормальному, его следует либо перемерить, либо исключить из ряда экспериментальных данных.

Таблица. Значения Q для оценки резко выделяющихся наблюдений при различных уровнях значимости α

Перед тем, как перейти к планированию экспериментов следует оценить качество методик, по которым будут проводиться эксперименты.

Для этого следует оценить однородность дисперсий результатов. (См. Практическог занятие 5) и провести оценку воспроизводимости.

Для этого следует провести n независимых серий экспериментов, в каждой серии содержится m опытов. Для каждой серии следует рассчитать средние значения

Хср= ΣXi/m

рассчитать выборочные дисперсии

Si²=Σ(Xcp-Xi)²/(m-1)

Рассчитать суммарную величину дисперсий по результатам n серий

Scум²= Σ Si²

Найти отношение максимальной дисперсии из n серий к сумме дисперсий из числа всех серий

G=Simax²/Scум²

И сравнить полученное экспериментальное значение критерия Кохрена G с табличным G при m сериях по n экспериментов в каждой серии.

Если экспериментальное значение G меньше табличного (при вероятности 0,05) Gэксп<Gтаб, то это значит, что эксперименты удовлетворительно воспроизводятся и это заключение верно с вероятностью 95%.

Пример. Имеются три серии экспериментальных результатов