От внешних сил с помощью метода сечений к внут­ренним силам, а от них к напряжениям и условно прочности.

Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутренним силовым факторам, а от них к напряжениям - таков в общих чертах план решения основной задачи сопротивления материалов.

По методу определения (экспериментальный или расчетно-теоретической) и месту, занимаемому в расчетах на прочность, различают следующие виды напряжений:

1) Предельные (опасные) напряжения σ-_пред((τ_пред) или σ_оп(τ_оп), при достижении которых появляются заметные пластические деформации (если материал пластичный) или признаки хрупкого разрушения (если ма­териал хрупкий).

Они определяются при механических испытаниях материала и зави­сят от его свойств и вида деформации (растяжение, сжатие и т.д.).

Для пластических материалов σ_пред = σ_т - предел текучести (т_т).

Для хрупких материалов σ_пред = σ_т - предел прочности или вре­менное сопротивление (т_в)

2) Расчетные (рабочие) напряжения σ(τ), которые возникают в нагруженной конструкции. Они зависят от нагрузок и размеров рассчитываемого элемента конструкции.

3) Допускаемые напряжения [σ] ([τ]) - наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены.

Они зависят от материала, точности методов расчета, однородности материала, степени ответственности рассчитываемого элемента (или конструкции в целом) и ряда других факторов.

Отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному называется коэффициентом запаса прочности. п = σ_пред / σ_max(3.4)

Условие прочности:

Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его фактический (расчетный) коэффициент запаса прочности не меньше требуемого (заданного, допускаемого, нормативного) [п,] т. е.

п >[п]. (3.5)

Величина [п] зависит от степени ответственности конструкции, точ­ности применяемых методов расчета и надежности данных о свойствах ис­пользуемого материала.

При расчетах на прочность по опасной точке используют понятие попускаемого напряжения [σ] = σ_{пред /} [n]

И этом случае условие прочности:

Прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, σ_max < [ σ] (3.7)

При значительной недогрузке (если максимальное рабочее напряже­ние значительно меньше допускаемого), конст­рукция является излишне тяжелой, неэкономичной.

Незначительная перегрузка σ_max > [ σ] прочности конструкции, т.к. даже при наиболее благоприятных условиях работы и высокой точности расчета

[п] = 1,4 ...1,5-для пластичных материалов,

[п] > 3 ... 4- для хрупких материалов.

В связи с этим в практике инженерных расчетов допускается ограни­ченное невыполнение условия прочности (обычно в пределах ±3 ... 5%).

Таким образом, расчет конструкции на прочность выполняется в следующем порядке:

4.2.2. Деформации элемента тела, их характеристика и условие жесткости

Рассмотрим деформирование произвольно нагруженного тела (рис. 3.5). Выделим бесконечно малый элемент тела в окрестности его точ­ки К.

При деформировании тела под действием нагрузки будет искажаться и этот элемент.

Двум видам напряжений соответствуют два вида деформаций эле­мента тела:

- нормальным напряжением σ соответствует линейная деформация (изменение линейных размеров элемента);

- касательным напряжением τ - угловая деформация (искажение углом между гранями элемента), сдвиг материала.

Любая сложная деформация элемента тела может быть представлена в виде совокупности этих двух простых деформаций.

При деформировании произвольно нагруженного тела изменяются все три линейных размера его элемента. Рассмотрим линейную деформа­цию на примере растяжения вдоль оси х (рис. 3.6).

Абсолютная линейная деформация (в м) равна приращениям размеров d x и d y .

Δ(dx) > 0 - абсолютное удлинение,

Δ(dy) < 0 - абсолютное укорочение.

Относительная линейная дефор­мация (обычно в %) определяется по от­ношению к начальным размерам dx и dy:

ε _х =Δ(dx) / dx ε _у =Δ(dу) / dу

Деформирование тела под действием нагрузки вызывает изменение углов между гранями его элемента.

Рассмотрим угловую деформацию на примере сдвига вдоль плоскости xz (рис. 3.7)

Абсолютная угловая деформация (из­меряемая в метрах) равна абсолютному сдви­гу Δхzграней элемента.

Относительная угловая деформация определяется как относительный сдвиг

Δхz / dy =tg γ.

Угол γ_xz называется углом сдвига

С учетом бесконечно малых размеров элемента можно считать -tg γ = γ_xz

Тогда γ_xz = Δхz / dy

Условие жесткости: жесткость конструкции считают обеспеченной, если ее наибольшая деформация не превышает допускаемой, т. е.

ε_max < [ ε] , γ_max < [ γ]

Величины допускаемых деформаций [ε] и [γ] устанавливаются опытным путем при лабораторных и эксплуатационных испытаниях элементов конструкций.

3.2.3. Зависимость между напряжениями и деформациями

Учет физических свойств материала производится зависимостью между напряжениями и деформациями. В результате многочисленных экс­периментов установлено, что в пределах упругих деформаций между де­формацией и соответствующим (действующим в ее направлении) напря­жением существует прямо пропорциональная (или линейная) зависимость с достаточной для практических целей степенью точности в весьма про­стой форме.

При линейной деформации зависимость между напряжением и де­формацией выражается уравнением:

σ = Е*ε, (3.9)

т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительному уд­линению.

Это положение представляет собой закон Гука в общем виде.

При сдвиге, или угловой деформации, зависимость между напряже­нием и деформацией выражается уравнением:

τ = G γ, (3.10)

т.е. касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига.

Это по­ложение представляет собой закон Гука при сдвиге.

Коэффициенты пропорциональности в этих формулах являются фи­зическими постоянными материала, характеризующими его жесткость (в Па):

Е - модуль продольной упругости (модуль Юнга), характеризует спо­собность материала упруго сопротивляться линейной деформации или продольную жесткость материала;

G - модуль сдвига, характеризует спо­собность материала упруго сопротивляться сдвигу, или жесткость мате­риала при сдвиге.

Например, для стали в среднем Е = 2 ■ 105 МПа, G = 8 • 104 МПа.

Для других материалов их значения приводятся в справочниках.

4.3. Растяжение и сжатие

4.3.1. Расчет на прочность

Под действием системы внешних сил стержень находится в равновесии и если система внутренних сил приводится только к равнодействующей N , равной сумме проекции на ось R всех внешних сил , то сила N вызывает растяжение стержня. Деформация в данном случае заключается в увеличении или уменьшении длины стержня, и мы имеем деформацию

растяжения или сжатия стержня.

Рассмотрим прямолинейный брус, жестко закрепленный одним

концом и нагруженный сосредо­точенной силой F (рис. 3.8).

Продольные силы опреде­ляют с помощью метода сечений.

Продольная сила в произ­вольном поперечном сечении бру­са численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось Z бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части. Продольные силы, соответствующие деформации растяжения,

считают положительными, а сжатия - отрицательными.

При растяжении продоль­ная сила направлена от сечения, а при сжатии - к сечению.

В нашем случае при 0<z<l N = +F,const.

Рассмотрим равновесие правой оставленной части бруса

Σ Fz = 0; F = dN

Где dN = σ * dA - элементарная внутренняя сила на бесконечно малой площадке dA,

A – площадь поперечного сечения бруса;

Для решения уравнения проводят эксперимент с моделью бруса, изготовленного из резины, на поверхности которого нанесена система продольных и попе­речных рисок. При растяжении этой моде­ли по характеру искажения сетки устанавливается, что:

1) выполняется гипотеза плоских сечений (R. Бернулли): плоские сечения, перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к его оси при деформации;

2) прямые углы элементов сетки не изменяются, т.е. в поперечных сечениях касательные напряжения отсутствуют (т = 0).

Параллельные перемещения поперечных сечений показывают, что все продольные волокна бруса находятся в одинаковых условиях. Следова­тельно, при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения распреде­лены по его поперечному сечению равномерно, т.е.

σ = const. Тогда σ = N / A (3.12)

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении напряжения считают положи­тельными, а при сжатии - отрицательными.

Условие прочности стержня при растяжении:

σ_max = N / A < [ σ ] (3.13)

С помощью этого условия можно решать три типа задач:

· производить проверочный расчет стержня — N / A < [ σ ]

· проверять несущую способность стержня N < [σ]* А;

· производить расчет стержня A> N / [ σ]