Итак, от внешних сил с помощью метода сечений к внутренним силовым факторам, а от них к напряжениям - таков в общих чертах план решения основной задачи сопротивления материалов.
По методу определения (экспериментальный или расчетно-теоретической) и месту, занимаемому в расчетах на прочность, различают следующие виды напряжений:
1) Предельные (опасные) напряжения σ-пред((τпред) или σоп(τоп), при достижении которых появляются заметные пластические деформации (если материал пластичный) или признаки хрупкого разрушения (если материал хрупкий).
Они определяются при механических испытаниях материала и зависят от его свойств и вида деформации (растяжение, сжатие и т.д.).
Для пластических материалов σпред = σт - предел текучести (тт).
Для хрупких материалов σпред = σт - предел прочности или временное сопротивление (тв)
2) Расчетные (рабочие) напряжения σ(τ), которые возникают в нагруженной конструкции. Они зависят от нагрузок и размеров рассчитываемого элемента конструкции.
3) Допускаемые напряжения [σ] ([τ]) - наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены.
Они зависят от материала, точности методов расчета, однородности материала, степени ответственности рассчитываемого элемента (или конструкции в целом) и ряда других факторов.
Отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному называется коэффициентом запаса прочности. п = σпред / σmax(3.4)
Условие прочности:
Прочность элемента конструкции считают обеспеченной, если его фактический (расчетный) коэффициент запаса прочности не меньше требуемого (заданного, допускаемого, нормативного) [п,] т. е.
п >[п]. (3.5)
Величина [п] зависит от степени ответственности конструкции, точности применяемых методов расчета и надежности данных о свойствах используемого материала.
При расчетах на прочность по опасной точке используют понятие попускаемого напряжения [σ] = σпред / [n]
И этом случае условие прочности:
Прочность конструкции обеспечена, если возникающее в ней наибольшее напряжение не превышает допускаемого, σmax < [ σ] (3.7)
При значительной недогрузке (если максимальное рабочее напряжение значительно меньше допускаемого), конструкция является излишне тяжелой, неэкономичной.
Незначительная перегрузка σmax > [ σ] прочности конструкции, т.к. даже при наиболее благоприятных условиях работы и высокой точности расчета
[п] = 1,4 ...1,5-для пластичных материалов,
[п] > 3 ... 4- для хрупких материалов.
В связи с этим в практике инженерных расчетов допускается ограниченное невыполнение условия прочности (обычно в пределах ±3 ... 5%).
Таким образом, расчет конструкции на прочность выполняется в следующем порядке:
4.2.2. Деформации элемента тела, их характеристика и условие жесткости
Рассмотрим деформирование произвольно нагруженного тела (рис. 3.5). Выделим бесконечно малый элемент тела в окрестности его точки К.
При деформировании тела под действием нагрузки будет искажаться и этот элемент.

Двум видам напряжений соответствуют два вида деформаций элемента тела:
- нормальным напряжением σ соответствует линейная деформация (изменение линейных размеров элемента);
- касательным напряжением τ - угловая деформация (искажение углом между гранями элемента), сдвиг материала.
Любая сложная деформация элемента тела может быть представлена в виде совокупности этих двух простых деформаций.
При деформировании произвольно нагруженного тела изменяются все три линейных размера его элемента. Рассмотрим линейную деформацию на примере растяжения вдоль оси х (рис. 3.6).

Абсолютная линейная деформация (в м) равна приращениям размеров d x и d y .
Δ(dx) > 0 - абсолютное удлинение,
Δ(dy) < 0 - абсолютное укорочение.
Относительная линейная деформация (обычно в %) определяется по отношению к начальным размерам dx и dy:
ε х =Δ(dx) / dx ε у =Δ(dу) / dу
Деформирование тела под действием нагрузки вызывает изменение углов между гранями его элемента.
Рассмотрим угловую деформацию на примере сдвига вдоль плоскости xz (рис. 3.7)
Абсолютная угловая деформация (измеряемая в метрах) равна абсолютному сдвигу Δхzграней элемента.
Относительная угловая деформация определяется как относительный сдвиг
Δхz / dy =tg γ.
Угол γxz называется углом сдвига
С учетом бесконечно малых размеров элемента можно считать -tg γ = γxz
Тогда γxz = Δхz / dy
Условие жесткости: жесткость конструкции считают обеспеченной, если ее наибольшая деформация не превышает допускаемой, т. е.
εmax < [ ε] , γmax < [ γ]
Величины допускаемых деформаций [ε] и [γ] устанавливаются опытным путем при лабораторных и эксплуатационных испытаниях элементов конструкций.
3.2.3. Зависимость между напряжениями и деформациями
Учет физических свойств материала производится зависимостью между напряжениями и деформациями. В результате многочисленных экспериментов установлено, что в пределах упругих деформаций между деформацией и соответствующим (действующим в ее направлении) напряжением существует прямо пропорциональная (или линейная) зависимость с достаточной для практических целей степенью точности в весьма простой форме.
При линейной деформации зависимость между напряжением и деформацией выражается уравнением:
σ = Е*ε, (3.9)
т.е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.
Это положение представляет собой закон Гука в общем виде.
При сдвиге, или угловой деформации, зависимость между напряжением и деформацией выражается уравнением:
τ = G γ, (3.10)
т.е. касательное напряжение прямо пропорционально углу сдвига.
Это положение представляет собой закон Гука при сдвиге.
Коэффициенты пропорциональности в этих формулах являются физическими постоянными материала, характеризующими его жесткость (в Па):
Е - модуль продольной упругости (модуль Юнга), характеризует способность материала упруго сопротивляться линейной деформации или продольную жесткость материала;
G - модуль сдвига, характеризует способность материала упруго сопротивляться сдвигу, или жесткость материала при сдвиге.
Например, для стали в среднем Е = 2 ■ 105 МПа, G = 8 • 104 МПа.
Для других материалов их значения приводятся в справочниках.
4.3. Растяжение и сжатие
4.3.1. Расчет на прочность
Под действием системы внешних сил стержень находится в равновесии и если система внутренних сил приводится только к равнодействующей N , равной сумме проекции на ось R всех внешних сил , то сила N вызывает растяжение стержня. Деформация в данном случае заключается в увеличении или уменьшении длины стержня, и мы имеем деформацию
растяжения или сжатия стержня.
Рассмотрим прямолинейный брус, жестко закрепленный одним

концом и нагруженный сосредоточенной силой F (рис. 3.8).
Продольные силы определяют с помощью метода сечений.
Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось Z бруса всех внешних сил, приложенных к его оставленной части. Продольные силы, соответствующие деформации растяжения,
считают положительными, а сжатия - отрицательными.
При растяжении продольная сила направлена от сечения, а при сжатии - к сечению.
В нашем случае при 0<z<l N = +F,const.
Рассмотрим равновесие правой оставленной части бруса

Σ Fz = 0; F = dN
Где dN = σ * dA - элементарная внутренняя сила на бесконечно малой площадке dA,
A – площадь поперечного сечения бруса;
Для решения уравнения проводят эксперимент с моделью бруса, изготовленного из резины, на поверхности которого нанесена система продольных и поперечных рисок. При растяжении этой модели по характеру искажения сетки устанавливается, что:
1) выполняется гипотеза плоских сечений (R. Бернулли): плоские сечения, перпендикулярные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными к его оси при деформации;
2) прямые углы элементов сетки не изменяются, т.е. в поперечных сечениях касательные напряжения отсутствуют (т = 0).
Параллельные перемещения поперечных сечений показывают, что все продольные волокна бруса находятся в одинаковых условиях. Следовательно, при растяжении (сжатии) бруса нормальные напряжения распределены по его поперечному сечению равномерно, т.е.
σ = const. Тогда σ = N / A (3.12)
Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении напряжения считают положительными, а при сжатии - отрицательными.
Условие прочности стержня при растяжении:
σmax = N / A < [ σ ] (3.13)
С помощью этого условия можно решать три типа задач:
· производить проверочный расчет стержня — N / A < [ σ ]
· проверять несущую способность стержня N < [σ]* А;
· производить расчет стержня A> N / [ σ] |