Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Основные понятия

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА

Теория ПЭ охватывает все встречающиеся на практике варианты исследования объектов.

типовая задача экспериментального исследования:

поиск значений параметров системы, обеспечивающих достижение оптимального значения показателя качества исследуемого объекта при известных ограничениях на значения этих параметров.

 

Для решения этой задачи применяются

градиентные методы поиска при априорно неизвестной функции, связывающей показатель качества с параметрами системы;

приближенное аналитическое описание функциональной связи показателей качества с параметрами системы по результатам проведенного эксперимента.

 

ТПЭ дает возможность оценить вклад каждого параметра в значение показателя, т.е. приближенно восстановить закон функционирования объекта по экспериментальным данным.

 

Полученное аналитическое описание объекта можно использовать для предварительного исследования вариантов построения системы или в интересах построения модели старшей системы, включающей данный объект на правах элемента; оценки дифференциального влияния уровней параметров системы на показатель качества.

 

Существуют и других задачи, решаемые с помощью ТПЭ, например:

испытания образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при минимальном объеме испытаний;

отсеивающие эксперименты. Предназначены выявить параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы;

адаптивное планирование. Применяется в условиях управления технологическим процессом, когда система управления все время должна приспосабливаться к конкретным условиям функционирования.

 

Решение задач с применением ТПЭ предусматривает использование априорной информации об изучаемом процессе для выбора общей последовательности управления экспериментами, которая уточняется после очередного этапа проведения исследований на основе вновь полученных сведений.

 

В ТПЭ исследуемый объект (реальный объект, модель объекта) рассматривается как "черный ящик", имеющий входы v(управляемые независимые параметры) и выходы y.

Переменные v принято называть факторами.

Примерами факторов являются: интенсивность потока запросов к базе данных, скорость передачи данных по каналу, объем запоминающего устройства.

 

Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными.

Качественные факторы можно квантифицировать или приписать им числовые обозначения, тем самым перейти к количественным значениям.

Предполагается, что все факторы являются количественнымии представлены непрерывными величинами.

 

Переменным v можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства– пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов.

 

Область планирования задается интервалами возможного изменения факторов

vi min < vi < vi max

для i =1, 2, …, k, где k – количество факторов.

 

В теории ПЭ используют нормализацию факторов, т.е. преобразование натуральных значений факторов в безразмерные (кодированные) величины.

Переход к безразмерным значениям xi задается преобразованием

xi = (vi – vi0)/Dvi, (1.1

где vi – натуральное значение фактора,

vi0 – натуральное значение основного уровня фактора, соответствующее нулю в безразмерной шкале,

Dvi – интервал варьирования.

 

Совокупность основных уровней всех факторов представляет собой точку в пространстве параметров, называемую центральной точкой плана или центром эксперимента.

 

С геометрической точки зрения нормализация факторов включает две операции:

перенос начала координат в точку, соответствующую значениям основных уровней факторов;

сжатие – растяжение пространства в направлении координатных осей.

 

План эксперимента задает совокупность данных, определяющих количество, условия и порядок реализации опытов.

Опыт составляет элементарную часть эксперимента и предусматривает воспроизведение исследуемого явления в конкретных условиях с последующей регистрацией результата.

 

Опыт u предполагает задание конкретных значений факторам

v u = v1u, v2u, …, vku,

а совокупность значений факторов во всех N точках плана эксперимента образует матрицу плана

v11, v21, …, vk1 v12, v22, …, vk2 . . . . . v1N, v2N, …, vkN . (1.2)

 

Вектор y называется откликом.

В ТПЭ обычно изучается ситуация, в которой вектор отклика y состоит из одного элемента y.

При наличии нескольких составляющих вектора y, каждую из них можно исследовать отдельно.

 

Зависимость отклика от факторов носит название функции отклика,а геометрическое представление функции отклика– поверхности отклика.

 

Функция отклика рассматривается как показатель качества или эффективности объекта.

Этот показатель является функцией от параметров – факторов.

 

На практике широкое распространение получили простые функции вида

 

М{y'} = bf(v), где

b=(b0, b1, …,bh) – вектор неизвестных параметров модели размерности h+1, f

(v)=(f0(v), f1(v), …, fh(v)) – вектор заданных базисных функций,

М{y'} – математическое ожидание функции отклика.

 

Оценку β= (β0, β1, …, βh)вектора неизвестных параметров b находят по результатам экспериментов, в ходе которых получают значения yu при заданных значениях факторов vu.

 

Эти оценки обычно рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов (МНК) на основе выборок значений факторов и откликов системы на воздействия.

 

В качестве оценки β вектора b выбирается такое значение, которое минимизирует

,

где y'u – вычисленное на модели значение функции отклика в u-й точке факторного пространства.

 

Приравнивая к нулю частные производные от данной квадратичной формы, взятые по переменным b0, b1, …, bh, получим систему равнений

, где i= 0, 1, 2, …, h.

 

Значение β находят путем решения этой системы уравнений.

 

Вывод. Задача заключается в определении общей формы записи функции отклика y'.

Универсальная форма для практического применения имеет вид полинома:

 

y' = b0 + b1x1 + …+ bkxk + b12x1x2 + b13x1x3+… +bk–1,k xk–1xk + +b11x21 + … +bkkx2k + … + e, (1.3)

где e – случайная составляющая функции отклика (величина, характеризующая ошибку опыта).

 

Степень полинома задается исследователем априорно и уточняется в ходе исследования.

На практике наибольшее распространение получили полиномы первого и второго порядка, соответственно линейные и квадратичные модели.

Коэффициенты полинома принято называть эффектами факторов.

 

Применение ТПЭ основано на ряде допущений:

- функция отклика содержит в своем составе неслучайную и случайную составляющую;

-факторы v1, v2, …, vk измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении величины y (учет помех в задании факторов приводит к трудно разрешимым проблемам в оценке коэффициентов функции отклика);

дисперсии среднего значения функции отклика в различных точках равны друг другу (выборочные оценки дисперсии однородны). Это означает, что при многократных повторных наблюдениях над величиной yu при некотором наборе значений v1u, v2u, …, vku, получаемая оценка дисперсии среднего значения не будет отличаться от оценки дисперсии, полученной при многократных наблюдениях для любого другого набора значений независимых переменных v1s, v2s, …, vks.

 

Указанные допущения позволяют использовать для расчетов коэффициентов полинома МНК, который дает эффективные и несмещенные оценки коэффициентов и обеспечивает простоту проведения самих расчетов.

Этот метод дает решение, минимизирующее сумму квадратов отклонений результатов наблюдения от значений функции отклика.

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:475

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.