Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Расчет на жесткость

Рассмотрим продольную деформацию стержня, изображенного на рис. 3.11. Для этого выделим из стержня бесконечно малый элемент дли­ной d z. Штриховыми линиями он показан в деформированном состоянии: длина элемента увеличилась, а размеры поперечного сечения уменьши­лись. Приращение длины элемента обозначим Δ(d z). Отношение прираще­ния (изменения) длины элемента к его первоначальной длине называется относительным удлинением или продольной деформацией:

εпр= Δ(d z). / dz(3.15)

Это безразмерная величина. В некоторых случаях ее выражают в %. При растяжении продольную деформацию считают положительной, а при сжатии — отрицательной.

Отношение изменения размера по­перечного сечения Δа к его первоначаль­ному значению, называют относитель­ным поперечным сужением (расширени­ем) или поперечной деформацией:

εп= Δа / а (3.16)

 

При растяжении поперечные раз­меры бруса уменьшаются и ε п по при­нятому правилу знаков - величина отри­цательная.

Продольную и поперечную дефор­мацию называют также линейными де­формациями (общее наименование). Опытным путем установлено, что при простом растяжении или сжатии отношение поперечной деформации к продольной - величина постоянная для данного материала. Это отношение, взятое по абсолютному зна­чению, называется коэффициентом поперечной деформации или коэффи­циентом Пуассона : μ=ε п / εпр

Значения коэффициента Пуассона для различных материалов нахо­дятся в пределах от 0 (для пробки) до 0,5 (для каучука). Для большинства металлов и сплавов его значение колеблется в сравнительно узких преде­лах: от 0,23 до 0,35 (в среднем примерно 0,3).

Определим изменение длины (удлинение или укорочение) бруса. Из выражения продольной деформации имеем Δ(d z) = εпр ■ dz - изменение длины бесконечно малого элемента, а из выражения закона Гука при ли­нейной деформации

ε пр= σ/ Е и Δ(dz) np* dZ = εdz/ E.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса σ= N / A получаем:

 

 

(3-18)

Δ (d z)= N*dz / EA

Для определения изменения длины Δl всего бруса (или участка бру­са) следует просуммировать значения Δ(dz) по всей длине.

 

4.4. Кручение стержня круглого сечения

4.4.1 Напряжения и деформации при кручении

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только касательные напряжения τ, перпен­дикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Точка С (рис. 58) поперечного сечения бруса до деформации, лежащая на некото­рой образующей ЕС, проведенной внутри на расстоянии р от его оси, под действием момента т, смещается и положение ЕС1. Сдвиг СС1 характеризуется углом у, поэтому можно записать:

СС1 =l*tgγ.

Однако, в силу незначительности деформаций можно записать, что γ = tg γ, тогда

СС1=lγ.

С другой стороны, дугу СС\ можно выразить как центральную дугу, соответствующую углу поворота φ, т.е.

СС, = рφ.

Приравнивая оба значения дуги ССХ получим

l γ = рφ,

откуда γ = рφ / l, т.е.

угол сдвига в поперечном сечении прямо пропорционален расстоянию от оси кручения.

При р = г угол сдвига принимает максимальное значение и имеет вид γ max = rφ / l

4.5. Изгиб

Основные понятия. Поперечная сила и изгибающий момент

При изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали и элементы конструк­ций.

На практике встречаются поперечный (прямой), косой и чистый виды изгиба.

Поперечным (прямым) (рис. а) называется изгиб, когда

внешние силы, перпен­дикулярные продольной оси балки, действуют в плоскости, проходящей через ось балки и одну из главных центральных осей ее поперечного сечения.

Косой изгиб (рис., б) это изгиб, когда силы действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не про­ходящей ни через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения.

В поперечных сечениях балок при изгибе возникают два вида внут­ренних сил - изгибающий момент М„ и поперечная сила Q. В частном случае, когда поперечная сила равна нулю, а возникает только изгибающий момент, то имеет место чистый изгиб (рис. в). Чистый изгиб возникает при нагружении распределенной нагрузкой или при некоторых нагружениях со­средоточенными силами, например, балка, нагруженная двумя симметрич­ными равными силами.

При изучении деформации изгиба мысленно представляется, что балка состоит из бесконечного количества волокон, параллельных продольной оси. При чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, лежащие на вогнутой стороне — сжи­маются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон (продольная ось), которые только искривляются, не изменяя своей длины; продольные волокна балки не оказывают друг на друга давления и, следова­тельно, испытывают только растяжение и сжатие.

Внутренние силовые факторы в сечениях балок - поперечная сила Q и изгибающий момент Ми (рис. 62) зависят от внешних сил и изменяются по длине балки. Законы изменения поперечных сил и изгибающих моментов представляются некоторыми уравнениями, в которых аргументами

являются координаты z поперечных сечений балок, а функциями - Q и Ми. Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений.

Поперечная сила Q есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки. Следует иметь в виду, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики.

Изгибающий момент Ми есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечения балки. Изгибающий момент также, как и поперечная сила имеет разное направление для левой и правой части балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знаков изгибающего момента.

Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа от сечения, видно, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент Ми и поперечная сила Q. Таким образом, в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соот­ветствующие поперечной силе.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси балки попереч­ных сил Q и изгибающих моментов Ми удобно представлять их в виде эпюр, ординаты которых для любых значений абсциссы z дают соответствующие значения Q и Ми. Эпюры строятся аналогично построению эпюр продольных сил (см. 4.4) и крутящих моментов (см. 4.6.1.).

Так как для установления знаков поперечных сил и изгибающих мо­ментов правила знаков статики неприемлемы, установим для них другие правила знаков, а именно, если внешние силы (рис. а), лежащие по левую сторону от сече­ния, стремятся приподнять левую часть балки или, лежащие по правую сто­рону от сечения, опустить правую часть балки, то поперечная сила Q

положительна;

- если внешние силы (рис. 63, б), ле­жащие по левую сторону от сечения, стремятся опустить левую часть балки или, лежащие по правую сторону от сечения, приподнять правую часть балки, то поперечная сила Q отрицательна;

- если внешняя нагрузка (сила и момент) (рис. 64, а), расположенная слева от сечения, дает момент, направленный по ходу часовой стрелки или, расположенная справа от сечения, направленный против хода часовой стрел­ки, то изгибающий момент Ми считается положительным;

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз (растя­нутые волокна расположены внизу). Изгибающий момент считается отри­цательным, если балка изгибается выпуклостью вверх (растянутые волок­на расположены вверху).

Пользуясь правилами знаков, следует максимально представлять себе сечение балки жестко защемленным, а связи — отброшенными и заме­ненными их реакциями. Для определения реакций пользуются правилами знаков статики.

 

4.6. Сложные виды деформаций

При работе машин и механизмов их детали подвергаются различным видам деформаций: растяжению, сжатию, изгибу, кручению и др. В результа­те в деталях возникают напряжения растяжения (сжатия), изгиба, кручения и т. д. Рассмотрим некоторые наиболее распространенные виды деформаций.

Изгиб и растяжение (сжатие).Пусть на брус длиной / (рис. 75) посто­янного поперечного сечения F, защемленный одним концом в точке В на свободном его конце действует произвольно направленная сила Р, прило­женная в центре тяжести сечения.

Разложив силу Р на составляющие сил Рх, Ру и Рг, получим сочетание деформаций растяжения и поперечного изгиба в двух взаимно перпендику­лярных плоскостях. Касательными напряжениями изгиба в дальнейшем бу­дем пренебрегать.

Максимальные нормальные напряжения в опасном сечении (заделки), применив принцип независимости действия сил, запишутся в следующем виде

σр = Рz / F; σ1п = Ру l / Wx

σ2g = Рx l / Wy

 

Максимальные суммарные напряжения возникают в точке В и будут равны

σmax =( Рz / F)+( Ру l / Wx ) + (Рx l / Wy )

Эпюры нормальных напряжений растяжения и изгиба показаны на рис. 75. Деформации растяжения и изгиба встречаются, например, у крюков грузоподъемных кранов, регулировочных винтов раскосов навесок тракторов.

Гипотезы прочности.До сих пор были рассмотрены случаи сочетания основных деформаций только при нормальных напряжениях, которые в каждой точке можно складывать алгебраически. Однако на практике большое значение имеют случаи сочетания основных деформаций, когда в поперечных сечениях возникают, кроме нормальных, и касательные напряжения, которые распределены неравномерно и по разным законам. В этих случаях опытное определение прочности невозможно и при оценке прочности детали основываются на механических характеристиках материала, полученных из диаграммы растяжения.

Для напряженного состояния при сочетании основных деформаций оп­ределение опасных напряжений опытным путем невозможно из-за трудности постановки опытов. В связи с этим при решении таких задач основываются на некоторых гипотезах о том, какой фактор вызывает появление опасного состояния.

На основании гипотез прочности определяют эквивалентное на­пряжение, которое сопоставляют с напряжением при осевом нагружении. В соответствии с условием прочности эквивалентное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения для материала, т.е.

σэкв = [σ p]

Гипотезы прочности для определения эквивалентных напряжений формулируются следующим образом.

Первая теория прочности основана на гипотезе наибольших нормальных напряжений. Вторая теория прочности основана на ги­потезе наибольших линейных деформаций. Эти теории в настоящее время не применяются.

Третья теория прочности (гипотеза касательных напряжений) гласит так: опасное состояние материала наступает тогда, когда наиболь­шие касательные напряжения достигают предельного значения. По этой теории эквивалентное напряжение определяется по формуле

σэкв = √ σ2 + 4 τ 2

Четвертая теория прочности (энергетическая гипотеза) звучит следующим образом: опасное стояние материала в данной точке наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения для этой точки достигает предельной величины. Формула для определения эквива­лентных напряжений имеет вид σэкв = √ σ2 + 3 τ 2

 

В этих формулах σ и τ есть нормальные и касательные напряжения.

Изгиб и кручение.Сочетание деформаций изгиба и кручения испыты­вает большинство валов под действием передаваемых или вращающих и изгибающих моментов. При этом в поперечном сечении вала возникают нормальные и касательные напряжения. Максимальные нормальные и каса­тельные напряжения для круглых валов рассчитываются по формулам:

 

σ = Мн / W ; τ = Мк / W р , где

W = 0.1 d 3 ; Wр = 0.2 d 3 ;

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:606

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.