Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Функции алгебры логики

В функциях алгебры логики состояние элементов системы кодируется двоичными переменными: 1 (элемент исправный), 0 (элемент в отказовом состоянии). Тогда функционирование системы можно описать с помощью ФАЛ, используя операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Составим ФАЛ, соответствующие работоспособности системы с последовательным соединением элементов. Система находится в работоспособном состоянии при условии, что все ее элементы исправны. Обозначим – исправное состояние i-го элемента системы, – отказовое состояние i-го элемента системы, . Тогда ФАЛ будет иметь вид:

.

Полученная функция работоспособности системы является двоичной функцией двоичных аргументов.

Пример 8.2. Рассмотрим систему с неравнонадежными элементами, структурная схема которой представлена на рис. 8.2.

Рис. 8.2. Структурная схема системы с неравнонадежными

элементами

Система будет в работоспособном состоянии в следующих случаях: все элементы исправны, исправными являются элементы 1 и 2 или 1 и 3. Тогда ФАЛ, соответствующая функции работоспособности, будет иметь вид:

.

Процедура получения ФАЛ может быть формализована. Одним из способов формализации является получение совершенной дизъюнктивной нормальной формы (СДНФ), получаемой из таблицы истинности, соответствующей работоспособному состоянию системы.

Таблица истинности СДНФ для рассматриваемой системы будет иметь вид, представленный в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Таблица истинности

x1 x2 x3 y

 

ФАЛ лежат в основе логико-вероятностного метода анализа надежности. Сущность этого метода состоит в следующем:

− состояние каждого элемента системы кодируется нулем и единицей;

− записывается с помощью ФАЛ условие работоспособности системы через работоспособность ее элементов;

− полученная ФАЛ преобразуется таким образом, чтобы в ней содержались члены, соответствующие благоприятным гипотезам исправной работы системы;

− в ФАЛ вместо двоичных переменных и подставляются вероятности соответственно безотказной работы и вероятности отказа . Знаки конъюнкции и дизъюнкции заменяются алгебраическим умножением и сложением.

Полученное выражение есть вероятность безотказной работы системы .

В примере 8.2 математическая запись вероятности безотказной работы системы имеет вид:

.

Логико-вероятностный метод расчета надежности сложных систем имеет ряд недостатков. Во-первых, для получения ФАЛ необходимо составить таблицу истинности, что требует перебора всех работоспособных состояний системы. Во-вторых, составить ФАЛ и СДНФ невозможно в следующих случаях: если вероятность безотказной работы элементов системы заранее не известна или она является случайной величиной, если интенсивность отказов возрастает в случае отказа одного из параллельно работающих элементов системы. В данных случаях логико-вероятностный метод не позволяет найти вероятность безотказной работы системы.

Наиболее часто при анализе надежности логистических систем используется методы, основанные на применении теорем теории вероятностей:

− метод перебора гипотез;

− метод, основанный на применении классических теорем теории вероятностей;

− метод минимальных путей и минимальных сечений.

Не останавливаясь подробно на описании данных методов, отметим, что эти методы удобно применять для расчета надежности последовательных, параллельных, последовательно-параллельных и других схем в предположении взаимной независимости длительностей безотказной работы элементов системы. В этом случае, основываясь на теоремах сложения и умножения вероятностей, а также на формуле полной вероятности легко найти явные выражения для вероятности безотказной работы системы. Метод, основанный на применении классических теорем теории вероятностей, рассматривается далее в представленных примерах.

Одним из основных способов получения заданных уровней надежности систем является структурное резервирование (см. табл. 8.2). Разнообразные методы резервирования и способы включения резерва могут быть сведены к трем методам: общему, раздельному (поэлементному) и комбинированному (смешанному) резервированию. Общим называется такое резервирование системы, при котором параллельно включаются идентичные системы. Раздельным называется резервирование системы путем использования отдельных резервных устройств. При комбинированном резервировании в одной и той же системе применяется общее и раздельное резервирование [18, c. 27].

Различают также два способа резервирования: постоянно включенный резерв и резервирование замещением. Структурные схемы этих видов резервирования (схемы расчета надежности) приведены на рис. 8.3 – 8.6. На рисунках приняты следующие обозначения: n – число элементов нерезервированной системы (контрагентов цепи поставок), m – число резервных систем (каналов поставок).

Рис. 8.3. Общее резервирование с постоянно включенным резервом

Рис. 8.4. Общее резервирование замещением

Рис. 8.5. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом

Рис. 8.6. Раздельное резервирование замещением

Рассмотрим основные параметры, определяющие надежность систем. Пусть – случайное время до отказа элемента, стоящего в i-м ряду и j-й колонке, т.е. элемента , – случайное время до отказа системы. Получим выражения, связывающие с для различных схем расчета надежности.

При общем резервировании с постоянно включенным резервом (см. рис. 8.3) элементы i-го ряда образуют последовательное соединение элементов, поэтому время до отказа подсистемы, составленной из элементов i-го ряда, равно . Так как вся система представляет собой параллельное соединение этих подсистем, то время до отказа системы равно , отсюда

. (8.1)

При общем резервировании замещением (см. рис. 8.4) элементы i-го ряда образуют последовательное соединение элементов, поэтому время до отказа подсистемы, составленной из элементов i-го ряда, равно . Время до отказа всей системы равно, очевидно, сумме времени до отказа этих подсистем, следовательно, , отсюда

. (8.2)

При раздельном резервировании с постоянно включенным резервом (см. рис. 8.5) элементы j-й колонки образуют параллельное соединение элементов, поэтому время до отказа подсистемы, составленной из элементов j-й колонки, равно . Так как вся система представляет собой последовательное соединение этих подсистем, то время до отказа системы равно , отсюда

. (8.3)

При раздельном резервировании замещением (см. рис. 8.6) время до отказа подсистемы, образованной элементами j-й колонки , равно сумме времени до отказа ее элементов, т.е. . Так как вся система представляет собой последовательное соединение этих подсистем, то время до отказа системы равно , отсюда

. (8.4)

Пусть – вероятность безотказной работы элемента с номером , а – плотность распределения времени до отказа этого элемента, , . Вычислим вероятность безотказной работы системы в зависимости от схемы резервирования, используя формулы сложения и умножения вероятностей:

− общее резервирование с постоянно включенным резервом:

; (8.5)

− общее резервирование замещением:

, (8.6)

где – вероятность безотказной работы элементов i-го ряда; – плотность распределения времени до отказа элементов i-го ряда;

− раздельное резервирование с постоянно включенным резервом:

; (8.7)

− раздельное резервирование замещением:

. (8.8)

Расчет вероятности по формулам (8.5) – (8.8) достаточно трудоемок и требует привлечения соответствующих программных средств, особенно при больших значениях т и п.

Рассмотренная нами методика анализа надежности систем позволяет рассчитать показатели надежности системы сложной струк­туры. Задача при этом формулируется так: дана структурная схема системы (схема расчета надежности) и показатели надежности ее элементов, необхо­димо рассчитать показатели надежности системы.

Рассмотрим методику на примере.

Пример 8.3.На рис. 8.7 представлена функциональная схема, а на рис. 8.8 – эквивалентная ей структурная схема цепи поставок.

В рассматриваемой цепи поставок имеются: ответственный поставщик, формирующий на принципах аутсорсинга сеть поставщиков 2-го уровня; три независимых поставщика 2-го уровня, причем требуемый объем и/или комплектность поставки первый и второй поставщики могут обеспечить только совместно; два перевозчика, один из них являются основным (осуществляющим перевозки грузов на основании договора об организации перевозок), другой – резервным (осуществляющим перевозки конкретного груза по разовым договорам); два склада, один из которых являются основными, другой – резервным (используемым только в случае недостаточной мощности основного склада).

Рис. 8.7. Функциональная схема цепи поставок

Рис. 8.8. Структурная схема цепи поставок

Вероятности безотказной работы ее элементов – контрагентов цепи поставок – (в некоторый фиксированный момент времени) приведены в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Данные о надежности элементов – контрагентов цепи поставок

№ элемента
Вероятность 0,98 0,96 0,95 0,99 0,94 0,95

 

Необходимо вычислить вероятность безотказной работы системы .

Представим нашу систему в виде последовательного соединения ее подсис­тем. Первой подсистемой является совокупность поставщиков 2-го уровня – элементов 1, 2, 3, образую­щих подсистему с неравнонадежными элементами с резервированием методом замещения. Эле­менты 1, 2 соединены в смысле надежности последовательно, поэтому вероятность безотказной работы этих элементов составит , а вероятность их отказа – .

Тогда вероятность безотказной работы первой подсистемы будет равна:

.

Перевозчики – элементы 5 образуют дублированную систему с резервированием методом замещения. Вероятность ее безотказной работы определяется выражением:

.

Склады – элементы 6 образуют общее резервирование с постоянно включенным резер­вом. Вероятность безотказной работы подсистемы имеет вид:

.

Считая отказы подсистем событиями независимыми, на основании теоремы умножения вероятностей получим:

или

.

Подставляя в это выражение значения вероятностей, получим: .

В цепях поставок резервирование замещением практически не используется. Поэтому, рассматриваемые далее структурные схемы цепей поставок являются, как правило, комбинацией последовательно и параллельно соединенных элементов – контрагентов цепи поставок.

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:708

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.