Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Основные определения

Элементы теории экстремальных задач

 

Множество, между элементами которого установлены определенные соотношения, называют пространством.

Множество, элементами которого являются всевозможные наборы из действительных чисел

(1)

причем каждой паре элементов , этого множества поставлено в соответствие действительное число :

, (2)

называется n-мерным вещественным пространством .

Число называется расстоянием между элементами множества и удовлетворяет следующим аксиомам:

1) , тогда и только тогда, когда ;

2) ;

3) .

Число называют размерностью пространства . Элемент называют точкой пространства. Элемент называют нулевым элементом пространства . Множество, в котором введено расстояние, называют метрическим пространством.

Пространство в котором числовая прямая, пространство в котором плоскость, пространство для которого – обычное трехмерное пространство.

Пусть дана точка и число . Множество всех точек , таких, что , называется -окрестностью точки в пространстве и обозначают .

 

Для элементов пространства можно ввести понятия суммы элементов

, (3)

и произведения на действительное число:

, и . (4)

Множество элементов , в котором сумма и произведение на число определены формулами (3), (4) называется линейным векторным пространством, а элементы этого множества (1) называют векторами.

В линейном векторном пространстве можно ввести скалярное произведение , поставив в соответствие каждым двум векторам число

. (5)

Скалярное произведение элементов обладает следующими свойствами

1) ;

2) ;

3) , ;

4) , причем тогда и только тогда, когда .

Число

называют длиной вектора .

Элементы называются ортогональными, если

.

 

Рассмотрим произвольное непустое подмножество множества : . Точка называется внутренней точкой множества , если такое, что (т.е. каждая внутренняя точка содержится во множестве со своей -окрестностью). Множество называется открытым, если все его точки – внутренние.

Точка называется точкой прикосновения множества, если для , т.е. в любой окрестности точки содержится, хотя бы одна точка множества .

Точка называется предельной точкой множества , если для , т.е. в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка множества , отличная от . При этом сама точка может как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему.

Точка называется изолированной точкой множества , если для , т.е. существует окрестность точки , не содержащая никаких других точек множества , кроме самой точки .

Точка называется граничной точкой , если любая её окрестность содержит точку, принадлежащую множеству , и точку, не принадлежащую множеству . В частности, изолированная точка является граничной. Границей множества называется совокупность всех его граничных точек; обозначение – .

Например, . Все точки интервала – внутренние; предельными точками являются точки отрезка ; точки прикосновения – все точки отрезка и ; граничные точки – . Точка также является изолированной точкой.

Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои точки прикосновения. Множество, полученное присоединением к всех его граничных точек называется замыканием множества и обозначается . Множество называется замкнутым, если . Множество называется ограниченным, если : , т.е. ограниченное множество можно заключить в шар радиуса . Ограниченное замкнутое множество называется компактным. Например, отрезок:

(6)

Точки называются концами отрезка, а точки , в случае , называются внутренними точками отрезка.

Примером замкнутого неограниченного множества является множество: , где – фиксированное число, – фиксированный вектор. В случае множество называется прямой ; в случае плоскостью ; в случае гиперплоскостью .

 

Множество называется выпуклым множеством, если отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком содержится в этом множестве:

.

Гиперплоскости, окрестности точки, а также замкнутые полупространства

, где , (7)

являются выпуклыми множествами.

 

Пересечение произвольного числа выпуклых множеств является выпуклым множеством.

 

Пусть на некотором множестве задана функция нескольких переменных или, короче , т.е. задано правило , по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое единственное число ().

Функция переменных имеющая вид

, (8)

называется линейной функцией.

Квадратичной формой называется функция переменных

, (9)

где – некоторая симметричная матрица порядка ().

Квадратичная форма называется положительно определенной (отрицательно определенной), если (соответственно) для любой точки , , и только при , т.е. .

Например, две квадратичные формы

(a) и (b)

являются неотрицательными (никогда не принимают отрицательных значений). Однако первая является положительно определенной, т.к. она обращается в нуль только в точке , а вторая не будет положительно определенной, т.к. она обращается в нуль, например, при .

Квадратичная форма, принимающая как положительные, так и отрицательные значения, называется неопределенной.

 

Графиком функции переменных называется множество точек (+1) мерного пространства . Для графиком функции является некоторая поверхность в . Например, графиком линейной функции (а) является плоскость , графиком функции (б) будет параболоид .

 

Поверхностью (линией) уровня функции называется множество

, где . (10)

Обычно поверхность уровня имеет размерность на единицу меньше, чем переменная . Если , то представляют собой множество линий на плоскости. Например, для линейной функции (а) имеем множество параллельных прямых, для квадратичной функции (б) линии уровня – концентрические окружности.

 

Пусть функция дифференцируема в , тогда градиентом функции в точке называется вектор

. (11)

Свойства градиента:

1. Вектор перпендикулярен к поверхности уровня (линии уровня) в каждой точке.

2. Вектор направлен в сторону возрастания функции ;

Градиентом линейной функции является вектор .

Если функция дважды непрерывно дифференцируема в каждой точке области , то для неё существует симметричная матрица порядка из вторых производных

, (12)

называемая матрицей Гессе.

Второй дифференциал функции

является квадратичной формой с матрицей .

Функция определенная на выпуклом множестве называется выпуклой (вогнутой) функцией, если неравенство

. (13)

выполнено для любых двух точек и любого

Если неравенство строгое (или ), то функция называется строго выпуклой (вогнутой).

Для функции одной переменной графики выпуклых и вогнутых функций обладают геометрическими свойствами:

1. любая точка хорды графика выпуклой (вогнутой) функции расположена не ниже (не выше) самого графика функции.

2. график выпуклой (вогнутой) функции расположен над (под) касательной, проведенной в любой его точке.

Строго выпуклая функция Строго вогнутая функция

 

Если функция дважды непрерывно дифференцируема, то для неё можно сформулировать относительно простой признак, по которому можно вычислить является ли эта функция выпуклой или вогнутой с помощью матрицы Гессе. Функция выпукла (вогнута) на тогда и только тогда, когда её матрица Гессе неотрицательно (неположительно) определена для . Если при этом матрица Гессе положительно (отрицательно) определена для , то строго выпукла (вогнута) на (достаточное условие).

Знакоопределённость симметричной матрицы можно установить с помощью критерия Сильвестра. Будем обозначать через угловой минор порядка матрицы , т.е. минор, расположенный на пересечении первых строк и столбцов

.

 

Будем обозначать через главный минор порядка матрицы , т.е. минор, расположенный на пересечении строк и столбцов с номерами ,

.

Критерий Сильвестра:

Матрица положительно определенная , ;

Матрица отрицательно определенная , ;

Матрица неотрицательно определенная , , ;

Матрица неположительно определенная , , .

 

Пример 1.

Исследуем на выпуклость квадратичную функцию

.

Составим матрицу Гессе

.

Угловые миноры , .

Таким образом, если и , то функция будет строго выпукла в .

 

Пример 2.

Найти области выпуклости и вогнутости функции

.

Составим матрицу Гессе

,

вычислим главные миноры:

, , .

Функция выпукла в области, где матрица Гессе неотрицательно определена, т.е.

и вогнута в области, где матрица Гессе неположительно определена

.

Решаем неравенства и получаем, что функция выпукла в области

и вогнута в области .

 

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:576

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.