Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Устойчивость САР

 

Под устойчивостью системы понимают ее способность восстанавливать состояние равновесия после прекращения внешнего воздействия.

Для линейной системы связь между входным воз-действием х(t) и выходной величиной y(t) описывается линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) n-ого порядка

 

a0y(n)(t) + a1y(n-1)(t)+…+ a n-1y′(t)+any(t) =

b0x(m)(t)+b1x(m-1)(t) + … + b m-1x′(t)+bmx(t) (8.4)

 

где a0…an - коэффициенты, характеризующие параметры системы; b0bm – коэффициенты, определяющие параметры входного воздействия, причем m ≤ n.

Решение ЛДУ представляется в виде двух составляющих – свободной yсв(t) и принужденной yпр (t)

y(t)= yсв(t) + yпр (t). (8.5)

 

Свободная составляющая характеризует свободное состо-яние системы, не зависящее от внешнего воздействия и опреде-ляемое только свойствами системы.

Устойчивость системы определяется ее поведением после прекращения входного воздействия, т.е. когда x(t)=0. В этом случае ЛДУ системы будет иметь вид

a0y(n)(t) + a1y(n-1)(t)+…+ a n-1y′(t)+any(t) =0 (8.6)

 

Решение этого уравнения – свободная составляющая, характеризующая переходный процесс. Она будет иметь вид:

 

, (8.7)

 

где Сi – постоянные интегрирования, определяемые пара-метрами системы; рi - корни характеристического уравнения

 

a0 pn+a1 p n-1+…+a n-1 p+an=0, (8.8)

 

в котором оператор р заменяет операцию дифферен-цирования.

Из выражения (8.7) видно, что характер поведения системы, т.е. yс(t) зависит от корней рi уравнения (8.8).

В общем случае корни этого уравнения являются комплексно сопряженными, т.е.

 

рi = αi ± j βi,

 

где αi - действительная часть; βi – мнимая часть.

Если корни рi действительные (βi = 0), тогда

 

. (8.9)

 

При этом, если для всех корней αi < 0, то yс(t) при t→ ∞ будет убывать. Переходный процесс будет затухающим и система будет устойчивой. Если хотя бы для одного из корней

рi > 0, то с течением времени (t → ∞) процесс yс(t) будет нарастать, что свидетельствует о неустойчивости системы. Если хотя бы один корень рi = 0, то система будет находиться на границе устойчивости.

В случае, когда имеются комплексные корни, тогда в решении yс(t) появятся соответствующие им слагаемые вида

 

, (8.10)

 

где - частота колебания; - изменяющаяся во времени амплитуда; - начальная фаза.

Характер этого колебания будет зависеть от ,

при >0 – колебание нарастает во времени;

если <0 – затухающее колебание;

при =0 – незатухающее колебание с амплитудой (рис. 8.4, б, в, г).

Таким образом, линейная САР будет устойчивой, если действительные части всех корней ее характеристического уравнения будут отрицательными.

Однако нахождение корней характеристического уравне-ния для систем высокого порядка (n≥3) чаще всего затрудни-тельно. Существуют другие подходы для определения устойчивости системы, основанные на критериях устойчивости.

Рис. 8.4. Графики поведения системы: а) при =0; б), в), г) – корни комплексно-сопряженные.

 

При этом удобно пользоваться передаточной функцией замкнутой САР, которую получаем на основе ЛДУ , заменив символы производных оператором Лапласа р (см. раздел 6).

 

(8.11)

 

Как видно из (8.11), характеристический полином находится в знаменателе выражения для .

При анализе замкнутых автоматических систем (Рис. 8.5) применяют три вида передаточных функций.

1) Главная или основная передаточная функция Кy(p) по задающему воздействию. По определению

 

. (8.12)

 

При этом полагают, что возмущающее воздействие f = 0.

 

Рис. 8.5. Структурная схема САУ: К1(p)… К4(p) – передаточные функции звеньев; y0 – задающее воздействие; y – выходная величина; y1 – преобразованная выходная величина; ε – рассогласование (ε = y0y1); f – возмущающее воздействие.

 

Выражение для Кy(p) схемы САУ, изображенной на рис.8.5, получим составив в операторной форме уравнение, связывающее величины Y(p) и Y0(p):

 

[Y0(p) – Y(p) К4(p)] К1(p) К2(p) К3(p) = Y(p).

Раскрыв квадратные скобки, получим:

 

Y0(p) К1(p) К2(p) К3(p) = Y(p) + Y(p) К4(p) К1(p) К2(p) К3(p) =

Y(p) [1 + К4(p) К1(p) К2(p) К3(p)].

Откуда получим:

 

=. (8.13)

 

Произведение К1(p) К2(p) К3(p) К4(p) = Кр(p) стоящее в знаменателе (8.13) - передаточная функция разомкнутой системы. Произведение в числителе К1(p) К2(p) К3(p)= Кп(p) функция прямой передачи. Тогда

 

. (8.14)

 

Звено с передаточной функцией К4(p) является звеном обратной связи (см. рис. 8.5).

2) Передаточная функция по возмущающему воздействию Кf(p). Аналогичным образом, при y0 = 0, ее определяют как

 

. (8.15)

 

Операторное уравнение, связывающее величины Y(p) и F(p): [0 – Y(p) К4(p)] К1(p) К2(p) К3(p) + F(p) К3(p) = Y(p). Из него получим

 

= . (8.16)

 

3) Передаточная функция по рассогласованию Кε(p). Приняв f = 0, найдем эту функцию, как

 

Кε(p)=. (8.17)

 

Из рис.8.5 видно, что Y(p)= ε(p) К1(p) К2(p) К3(p). Но ε(p)= Y0(p) - Y(p) К4(p)= Y0(p) - ε(p) К1(p) К2(p) К3(p) К4(p). Из последнего равенства получим, что ε(p)+ ε(p) К1(p) К2(p) К3(p) К4(p)= Y0(p).

Далее: ε(p)[1 + К1(p) К2(p) К3(p) К4(p)] = Y0(p). Выполнив последующие преобразования, получим:

 

Кε(p)=. (8.18)

Сравнив выражения (8.13), (8.16) и (8.18) заметим, что знаменатель у них одинаков.

 

Алгебраический критерий (критерий Гурвица).

Согласно критерию Гурвица САР устойчива, если при > 0 все диагональные миноры определителя Гурвица до n-1-го порядка больше нуля.

Порядок использования алгебраического критерия следу-ющий. Составляется определитель Гурвица. По главной диаго-нали записываются коэффициенты характеристического уравнения от до . В столбцах записываются коэффици-енты, соседствующие с коэффициентом , с нарастанием номера снизу вверх. На месте коэффициентов с номером i < 0 и

i > n записываются нули.

Полученный определитель будет содержать n строк и n столбцов:

 

 

Далее составляются диагональные миноры Гурвица:

 

; ; ; и т. д.

 

Согласно данному критерию, САР устойчива, если

 

>0; >0; >0;… >0.

Частотный критерий (критерий Найквиста).

Данный критерий позволяет определить устойчивость САР используя АФХ разомкнутой САР. Он гласит: замкнутая САР будет устойчива, если годограф АФХ разомкнутой системы на комплексной плоскости не охватывает точку с координатами (-1;j0).

Порядок использования критерия Найквиста следующий.

Выражение для передаточной функции системы Кр(р), заменив р на , представляют в алгебраической форме как

 

(8.19)

Затем на комплексной плоскости, при изменении частоты от 0 до ∞, строится годограф АФХ (Рис. 8.6) и определяют устойчива система или нет.

Рис. 8.6. Годографы для АФХ разомкнутый САР: 1 – неустойчивой; 2 – устойчивой.

 

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:422

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.