Разделы

Авто
Бизнес
Болезни
Дом
Защита
Здоровье
Интернет
Компьютеры
Медицина
Науки
Обучение
Общество
Питание
Политика
Производство
Промышленность
Спорт
Техника
Экономика

Линейные разностные уравнения второго порядка

Определение 1.3. Линейным разностным уравнением второго порядка называется уравнение вида:

 

(1.7)

где – заданные функции от n. Если , то уравнение называется однородным. В противном случае - не однородным.

Если и постоянные, то (1.7) называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Уравнение (1.7) можно решить методами, аналогичными методам решения уравнений первого порядка. Полагая , можно выразить через и . Полагая , выразим через , а затем через и . Теоретически таким образом можно выразить через и . Однако вычисления при этом оказываются очень громоздкими, и вывести общую формулу для крайне трудно. Случай постоянных коэффициентов поддается решению общими методами.

Рассмотрим линейное однородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

. (1.8)

Будем считать постоянными, причем .

Будем искать решение уравнения (1.8) в виде:

, (1.9)

где – некоторое число. Учитывая, что , из уравнения (1.8) получим:

,

или, (1.10)

Уравнение (1.10) называется характеристическим уравнением для разностного уравнения (1.8). Оно является квадратным и имеет следующие корни:

.

При решении характеристического уравнения следует рассматривать три случая. Два его корня могут быть действительными и различными (когда ); они могут быть действительными и равными между собой () или же комплексными ().

Случай 1. Если , то описанный выше метод дает два решения уравнения (1.8): и . Общее решение имеет вид:

, (1.11)

где – произвольные постоянные.

Постоянные и можно выразить через значения . Полагая в решении (1.11) получаем:

или

Решая систему уравнений, находим:

, . (1.12)

Таким образом, если даны , то этим определено единственное решение уравнения (1.8).

Пример 1.7. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка Выписать общую формулу для , если и . Чему равно ?

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

.

По формуле (1.11) общее решение имеет вид:

.

По формулам (1.12) находим:

.

Таким образом, единственным решением, удовлетворяющим заданным начальным условиям, является

.

При получаем .

Случай 2. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) равны между собой: . Рассмотренный метод порождает лишь одно решение . Однако, другим решением уравнения (1.8) служит .

Тогда общее решение можно записать в виде:

, (1.13)

где и – произвольные постоянные. Чтобы убедиться в этом, подставим (1.13) в (1.8). Получим:

 

Первые два слагаемых обращаются в нуль, т.к. . Третье слагаемое равно нулю, поскольку и .

Итак, получим, что формула (1.13) дает общее решение уравнения (1.8).

Полагая и в (1.13), получим:

 

Отсюда, , . (1.14)

 

Пример 1.8. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если и .

Решение. Характеристическое уравнение имеет единственный корень . Поэтому общее решение уравнения имеет вид:

.

Полагая , , получаем и . Таким образом, . В частности, .

Случай 3. Если , то корни характеристического уравнения (1.10) являются комплексно-сопряженными числами:

, , (1.15)

где – мнимая единица .

Общее решение уравнения (1.8) записывается в виде:

, (1.16)

где , – произвольные постоянные, .

Постоянные , можно выразить, как и прежде, через и .

Решение (1.16) разностного уравнения (1.8) обладает интересными свойствами. Так как и с увеличением колеблются между значениями -1 и 1, решение также колеблется несколько более сложным образом. Свойство этого решения покажем на примере.

Пример 1.9. Найти общее решение разностного уравнения второго порядка . Найти , если , а .

Решение. Характеристическое уравнение имеет комплексные корни , . Так как , , , то . Отсюда общее решение

.

Полагая и , получаем и . Искомое решение есть

.

В частности, , , , и т.д.

Пример 1.10. С целью анализа распространения инфекционных заболеваний в школе ведется запись вспышек кори. Согласно полученным оценкам, вероятность возникновения хотя бы одного нового случая заболевания спустя недель после вспышки удовлетворяет уравнению . Найдите , если и .

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни . Учитывая формулу (1.13), получим:

.

Считая и , имеем:

.

.

Искомое решение есть

. (1.17)

Из (1.17) последовательно находим: , , , , . Отсюда заключаем, что через три недели вероятность нового случая кори становится меньше 50 %.

 

1.3. Метод вариации постоянных для разностных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

, (1.18)

с постоянными (при ).

Для решения уравнения (1.18) применим методы, использованные в
п. 1.2, но для простоты рассмотрим лишь случай действительных и различных корней .

Пусть – корни характеристического уравнения , соответствующего однородному уравнению (1.8). Тогда – общее решение (1.8), причем и – произвольные постоянные.

Идея метода вариации постоянных состоит в том, чтобы считать постоянные и зависящими от таким образом, что получается решение неоднородного уравнения (1.18). Согласно этому, будем искать решение в виде:

, (1.19)

где и могут изменяться вместе с .

Из (1.19) имеем:

.

Прибавив к правой части и отняв от нее величину , получим:

Для упрощения записи будем считать, что

, (1.20)

при любом значении . Тогда получим:

. (1.21)

Из уравнения (1.21) имеем: . Поступая как и выше, получим:

 

(1.22)

Подставив теперь выражения (1.22), (1.21), (1.19) в уравнение (1.18), получим:

Группируя слагаемые и приравнивая правую часть ,имеем:

(1.23)

Т.к. и – корни характеристического уравнения, то первые два выражения в квадратных скобках (1.23) обращаются в нуль и, значит,

 

(1.24)

 

Объединив (1.20) и (1.24), мы получим систему двух уравнений

 

(1.25)

 

относительно двух неизвестных и .

Решив систему, получим:

, (1.26)

. (1.27)

Уравнения (1.26) и (1.27) представляют собой линейные разностные уравнения первого порядка, которые можно решить методами п.1.1.

Решая (1.26), получаем:

,

,

,

(1.28)

Аналогично для уравнения (1.27) имеем общее решение

(1.29)

Т.о., общее решение уравнения (1.18) запишется в виде

, (1.30)

где и выражаются формулами (1.28), (1.29).

Если известны и , то постоянные и находим из уравнений , .

Пример 1.11. Если бы популяция рыб росла, не подвергаясь внешним возмущениям, то ее прирост в -м году был бы вдвое больше прироста в -м году. Однако в исследовательских целях к популяции ежегодно добавлялось по 100 рыб. Найти – численность популяции рыб в -м году, если , .

Решение. Численность рыб удовлетворяет разностному уравнению второго порядка

Или .

Здесь . Характеристическим служит уравнение с корнями . Общее решение уравнения имеет вид:

.

По формулам (1.28), (1.29) находим:

.

.

Таким образом, .

Найдем постоянные и . При и имеем:

Отсюда , , а искомое решение есть

.

В частности, , , . Ясно, что численность рыб продолжает очень быстро возрастать.

 

Дата публикации:2014-01-23

Просмотров:607

Вернуться в оглавление:

Комментария пока нет...


Имя* (по-русски):
Почта* (e-mail):Не публикуется
Ответить (до 1000 символов):







 

2012-2018 lekcion.ru. За поставленную ссылку спасибо.